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2021中考数学热点题型专练 不等式与不等式组

2021中考数学热点题型专练 不等式与不等式组

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热点06 不等式与不等式组
【命题趋势】
1．解不等式（组）并在数轴上表示解集．试题难度一般不大，选择题、填空题和解答题中都会出现．
2．联系生活实际，用不等式（组）解决实际问题，常与函数、方程结合考查．
【满分技巧】
一、不等式的性质
不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a>b，b>c，则a>c．
二、一元一次不等式及其解法
（1）已知一元一次不等式（组）的解集，确定其中字母的取值范围的方法是：①逆用不等式（组）的解集确定；②分类讨论确定；③从反面求解确定；④借助于数轴确定．
（2）根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
三、一元一次不等式组及其解法
解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
四、一元一次不等式（组）的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”“最多”“不超过”“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
【限时检测】（建议用时：30分钟）
一、选择题
1．如果，那么下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵，∴，
∵，∴，
故选D．
2．不等式2x﹣1>3﹣x的解集是
A．x< B．x> C．x> D．x<
【答案】C
【解析】移项得2x+x>3+1，
合并同类项得3x>4，
系数化为1得x>．
故选C．
3．不等式3（x+1）>2x+1的解集在数轴上表示为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】去括号得，3x+3>2x+1，
移项得，3x﹣2x>1﹣3，
合并同类项得，x>﹣2，
在数轴上表示为：
．
故选A．
4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，
由①得，x>﹣2，
由②得，x≤3，
故此不等式组的解集为：﹣2<x≤3．
在数轴上表示为：

故选B．
5．关于x的不等式组有三个整数解，则m的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由①得：x>3，
由②得：x<m，
则不等式组的解集是：3<x<m．
不等式组有三个整数解，则整数解是4，5，6．
则6<m≤7．
故选A．
6．已知关于x的不等式（a﹣2）x>1的解集为x<，则a的取值范围
A．a>2 B．a≥2 C．a<2 D．a≤2
【答案】C
【解析】∵不等式（a﹣2）x>1的解集为x<，∴a﹣2<0，∴a的取值范围为：a<2．故选C．
7．若关于x的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】解不等式2x-6+m<0，得：x，
解不等式4x-m>0，得：x，
∵不等式组有解，
∴，
解得m<4，
如果m=2，则不等式组的解集为m<2，整数解为x=1，有1个；
如果m=0，则不等式组的解集为0<m<3，整数解为x=1，2，有2个；
如果m=-1，则不等式组的解集为m，整数解为x=0，1，2，3，有4个，
故选C．
8．我们用[a]表示不大于a的最大整数，例如：[2．5]=2，[3]=3，[–2．5]=–3；已知满足方程组则可能的值有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】解方程组可得
又∵[a]表示不大于a的最大整数，
∴1≤x<2，3≤y<4，
∴4≤x2＋y<8，
∴[x2＋y]可能的值有4，5，6，7，
故选C．
9．团体购买某公园门票，票价如表，某单位现要组织其市场部和生产部的员工游览该公园．如果按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；如果两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元．那么该公司这两个部门的人数之差为

A．20 B．35 C．30 D．40
【答案】C
【解析】∵990不能被13整除，∴两个部门人数之和：a+b≥51，
（1）若51≤a+b≤100，则11（a+b）=990得：a+b=90，①
由共需支付门票费为1290元可知，11a+13b=1290②
解①②得：b=150，a=–60，不符合题意．
（2）若a+b≥100，则9（a+b）=990，得a+b=110③
由共需支付门票费为1290元可知，1≤a≤50，51≤b≤100，
得11a+13b=1290④，
解③④得：a=70人，b=40人
故两个部门的人数之差为70–40=30人，
故选C．
10．为了美化校园，学校决定利用现有的2660盆甲种花卉和3000盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在校园内，已知搭配一个A种造型需甲种花卉70盆，乙种花卉30盆，搭配一个B种造型需甲种花卉40盆，乙种花卉80盆．则符合要求的搭配方案有几种
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】设搭配A种造型x个，则B种造型为（50﹣x）个．
依题意，得：
，
解得：20≤x≤22，
∵x是整数，∴x可取20、21、22，
∴可设计三种搭配方案：
①A种园艺造型20个B种园艺造型30个．
②A种园艺造型21个B种园艺造型29个．
③A种园艺造型22个B种园艺造型28个．
故选B．
二、填空题
11．不等式2x－3≤3的正整数解是___________．
【答案】1、2、3
【解析】解不等式2x－3≤3得x≤3，
∴正整数解是1、2、3，
故答案为：1、2、3．
12．不等式组的解集为___________．
【答案】﹣1<x≤4
【解析】解不等式3x+1>﹣2，得：x>﹣1，
解不等式12﹣3x≥0，得：x≤4，
则不等式组的解集为﹣1<x≤4，
故答案为：﹣1<x≤4．
13．解不等式组，
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得__________；
（Ⅱ）解不等式②，得__________；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为__________．
【答案】；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析；（Ⅳ）
【解析】（Ⅰ）不等式①移项，得x+x>1–6；合并同类项，得x>–5；化系数为1，得x>–3故答案为x>–3．
（Ⅱ）不等式②移项，得x–x–3–1；合并同类项，得–2x；化系数为1，得x故答案为x．
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）根据数轴上的公共部分可得原不等式组的解集为–3<x．
14．不等式﹣4x﹣k≤0的负整数解是﹣1，﹣2，那么k的取值范围是__________．
【答案】8≤k<12
【解析】﹣4x﹣k≤0，
﹣4x≤k，
x≥，
∵不等式﹣4x﹣k≤0的负整数解是﹣1，﹣2，
∴﹣3<≤﹣2，
解得：8≤k<12，
故答案为：8≤k<12．
15．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x），即当n为非负整数时，若n-0.5≤x<n+0.5，则（x）=n．如（1.34）=1，（4.86）=5．若（0.5x-1）=6，则实数x的取值范围是__________．
【答案】13≤x<15
【解析】依题意得：6-0.5≤0.5x-1<6+0.5，解得13≤x<15．故答案为：13≤x<15．
三、解答题
16．解不等式．
【解析】将不等式，
两边同乘以2得，x-5+2>2x-6，
解得x<3．
17．解不等式组： ．
【解析】，
解①得：x<2，
解②得x<，
则不等式组的解集为2<x<．
18．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

【解析】，解不等式①，得x>﹣1，
解不等式②，得x≤3，
所以，原不等式组的解集为﹣1<x≤3，
在数轴上表示为：

19．某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，购买两种树苗的总金额为9000元．
（1）求购买甲、乙两种树苗各多少棵？
（2）为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵，总费用不超过230元，求可能的购买方案？
【解析】（1）设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗棵，
由题意可得，，
，
，
∴购买甲种树苗196棵，乙种树苗352棵．
（2）设购买甲树苗y棵，乙树苗棵，
根据题意可得，，
，∴，
∵y为自然数，
∴y=3、2、1、0，有四种购买方案，
购买方案1：购买甲树苗3棵，乙树苗7棵；
购买方案2：购买甲树苗2棵，乙树苗8棵；
购买方案3：购买甲树苗1棵，乙树苗9棵；
购买方案4：购买甲树苗0棵，乙树苗10棵．
20．某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区，已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售额相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售额多1500元．
（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？
（2）若甲、乙两种商品的销售总额不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？
【解析】（1）设甲种商品的销售单价是x元，乙种商品的单价为y元．
根据题意得：．
解得：．
答：甲种商品的销售单价是900元，乙种商品的单价为600元．
（2）设销售甲产品a万件，则销售乙产品万件．
根据题意得：．
解得：．
答：至少销售甲产品2万件．
21．某商店计划购进甲、乙两种商品，乙种商品的进价是甲种商品进价的九折，用3600元购买乙种商品要比购买甲种商品多买10件．
（1）求甲、乙两种商品的进价各是多少元？
（2）该商店计划购进甲、乙两种商品共80件，且乙种商品的数量不低于甲种商品数量的3倍．甲种商品的售价定为每件80元，乙种商品的售价定为每件70元，若甲、乙两种商品都能卖完，求该商店能获得的最大利润．
【解析】（1）设甲种商品的进价为x元/件，则乙种商品的进价为0.9x元/件，
，
解得，x=40，
经检验，x=40是原分式方程的解，
∴0.9x=36，
答：甲、乙两种商品的进价各是40元/件、36元/件．
（2）设甲种商品购进m件，则乙种商品购进（80﹣m）件，总利润为w元，
w=（80﹣40）m+（70﹣36）（80﹣m）=6m+2720，
∵80﹣m≥3m，
∴m≤20，
∴当m=20时，w取得最大值，此时w=2840，
答：该商店获得的最大利润是2840元．