2017全国各地中考数学压轴题汇编之1.doc
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1、44 2017全国各地中考数学压轴题汇编之一1(2017江苏淮安,28,14分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图像与坐标轴交于A、B、C三点,其中点A的坐标为(3,0),点B的坐标为(4,0),连接AC,BC动点P从点A出发,在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动;同时,动点Q从点O出发,在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,设运动时间为秒连接PQ(1)填空:_,_;(2)在点P、Q运动过程中,APQ可能是直角三角形吗?请说明理由;(3)在轴下方,该二次函数的图像上是否存在点M,使PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三
2、角形?若存在,请求出运动时间;若不存在,请说明理由;(4)如图,点N的坐标为(,0),线段PQ的中点为H,连接NH,当点Q关于直线NH的对称点Q恰好落在线段BC上时,请直接写出点Q的坐标图图备用图【分析】(1)将A(3,0)、B(4,0)代入即可求解;(2)若APQ为直角三角形,则APQ90(PAQ与PQA不可能为直角)连接QC,则AQ2AP2QC2PC2PQ2,据此列出关于的方程求解,若的值满足04,则APQ可能是直角三角形,否则不可能;(3)过点P作DE轴,分别过点M、Q作MDDE,QEDE,垂足分别为D、E,构成“一线三直角”全等模型,用含的式子表示点M的坐标;将点M的坐标代入二次函数的
3、表达式求解;(4)分别求直线BC、直线NQ的函数表达式;解直线BC、NQ的函数达式组成的方程组【解析】(1),4(2)在点P、Q运动过程中,APQ不可能是直角三角形理由如下:若APQ是直角三角形,因为在点P、Q运动过程中,PAQ、PQA始终为锐角,所以APQ90AQ2AP2QC2PC2PQ2连接QC由(1)知抛物线的函数表达式为,当0时,4C(0,4)OC4A(3,0),OA3由题意,得APOQAQOAOQ在RtAOC中,由勾股定理得AC5PC在RtOCQ中,QC2OQ2OC2APQ90,AQ2AP2QC2PC2PQ2解得4.5由题意知044.5不符合题意,舍去在点P、Q运动过程中,APQ不可
4、能是直角三角形(3)如图,过点P作DE轴,分别过点M、Q作MDDE、QEDE,垂足分别为点D、E,MD交轴于点F,过点P作PG轴,垂足为点G,则PG轴,DE90APGACO,即PG,AGPEGQGOOQAOAGOQ,DFEQMPQ90,D90,DMPDPMEPQDPM90DMPEPQ又DE,PMPQ,MDPPEQPDEQ,MDPEAMMDDF,OFFGGOPDOAAGM(,)点M在轴下方的抛物线上,解得04,(4)Q(,)提示:连接OP,取OP中点R,连接RH、NR,延长NR交线段BC于点Q点H为PQ的中点,点R为OP的中点,RHOQ,RHOQA(3,0)、N(,0),点N为OA的中点又点R为
5、OP的中点,NRAP,RNACRHNRRNHRHNRHOQ,RHNHNORNHHNO,即NH是QNQ的平分线设直线AC的函数表达式为,把A(3,0)、C(0,4)代入,得解得,4直线AC的函数表达式为同理可求,直线BC的函数表达式为设直线NR的函数表达式为,把N(,0)代入,得0解得2直线NR的函数表达式为解方程组得Q(,)2(2017江苏南京,27,11分)折纸的思考【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形第一步,对折矩形纸片ABCD(ABBC)(图),使AB与DC重合,得到折痕EF,把纸片展平(图)第二步,如图,再一次折叠纸片,使点C落在EF上的P处,并使折痕经过点B,得到折痕BG,折出PB
6、,PC,得到PBC(1)说明PBC是等边三角形【数学思考】(2)如图小明画出了图的矩形ABCD和等边三角形PBC他发现,在矩形ABCD中把PBC经过图形变化,可以得到图中的更大的等边三角形请描述图形变化的过程(3)已知矩形一边长为3cm,另一边长为acm对于每一个确定的a的值,在矩形中都能画出最大的等边三角形请画出不同情形的示意图,并写出对应的a的取值范围【问题解决】(4)用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片,所需正方形铁片的边长的最小值为 cm【分析】(1)由折叠的性质,线段垂直平分线的性质可判断;(2)根据旋转的性质和位似变换直接作图,写出过程即可;(3)根据
7、图形,由勾股定理和等边三角形的性质求解;(4)由勾股定理和正方形的性质的性质直接求解【解析】(1)由折叠,PBPC,EF是BC的垂直平分线,PBPC,PBPCBC ,PBC是等边三角形(2)本题答案不惟一例如,如图,以点B为中心,在矩形ABCD中把PBC逆时针方向旋转适当的角度,得到P1B1C1;再以点B为位似中心,将P1B1C1放大,使C1的对应点C2落在CD上,得到P2BC2(3)当等边三角形的边长为3cm,acm为高时,则a332,当等边三角形的边长为acm,3cm为高时,则a23,然后分0a332,332a23,a23画出示意图 (4)165当以4cm的直角边与正方形的边重合时,边长为
8、4cm,正方形的面积为16cm2;当直角三角形的一个顶点与正方形的顶点重合,两外两个顶点在边上时,如图,四边形ABCD是正方形,BCCD,CD90BFE90,BFCEFD90,BFCCBF90,EFDCBF,BCFFDE,BCDFBFEF设BCa,由BF4,得CF16-a2,则DFa16-a2,可知a( a16-a2)41解得a165正方形得面积为25625因为2562516,所以a1653(2017江苏连云港,27,14分)问题呈现:如图1,点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上,AEDG,求证:2S四边形EFGHS矩形ABCD(S表示面积)实验探究:某数学实验小组发
9、现:若图1中AHBF,点G在CD上移动时,上述结论会发生变化,分别过点E、G作BC边的平行线,再分别过点F、H作AB边的平行线,四条平行线分别相交于点A1、B1、C1、D1,得到矩形A1B1C1D1如图2,当AHBF时,若将点G向点C靠近(DGAE),经过探索,发现:2S四边形EFGHS矩形ABCD如图3,当AHBF时,若将点G向点D靠近(DGAE),请探索S四边形EFGH、S矩形ABCD与之间的数量关系,并说明理由迁移应用:请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题:(1)如图4,点E、F、G、H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点,已知AHBF,AEDG,S四边形EFGH11,H
10、F,求EG的长(2)如图5,在矩形ABCD中,AB3,AD5,点E、H分别在边AB、AD上,BE1,DH2,点F、G分别是边BC、CD上的动点,且FG,连接EF、HG,请直接写出四边形EFGH面积的最大值【分析】问题呈现:根据矩形的性质,通过割补法利用三角形的面积和矩形的面积可得到结论;实验探究:由题意得当将点G向点D靠近()时,通过割补法利用三角形的面积和矩形的面积可得到结论;迁移应用:(1)由上面的结论,结合图形,通过割补法利用三角形的面积和矩形的面积可得到结论;(2)直接根据规律写出结果即可.【解析】问题呈现:证明:如图1中,四边形ABCD是矩形,ABCD,A90,AEDG,四边形AEG
11、D是矩形,SHGES矩形AEGD,同理SEGFS矩形BEGC,S四边形EFGHSHGESEFGS矩形BEGC实验探究:结论:2S四边形EFGHS矩形ABCD理由:,S四边形EFGH,2S四边形EFGH22222,2S四边形EFGHS矩形ABCD迁移应用:解:(1)如图4中,2S四边形EFGHS矩形ABCD252113A1B1A1D1,正方形的面积为25,边长为5,A1D12HF25229254,A1D12,A1B1,EG2A1B1252,EG(2)2S四边形EFGHS矩形ABCD四边形A1B1C1D1面积最大时,矩形EFGH的面积最大如图51中,当G与C重合时,四边形A1B1C1D1面积最大时
12、,矩形EFGH的面积最大此时矩形A1B1C1D1面积1(2)如图52中,当G与D重合时,四边形A1B1C1D1面积最大时,矩形EFGH的面积最大此时矩形A1B1C1D1面积212,22,矩形EFGH的面积最大值4(2017江苏南通,28,13分)已知直线ykxb与抛物线yax2(a0)相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴正半轴相交于点C,过点A作ADx轴,垂足为D(1)若AOB60,ABx轴,AB2,求a的值;(2)若AOB90,点A的横坐标为4,AC4BC,求点B的坐标;(3)延长AD、BO相交于点E,求证:DECO【分析】(1)如图1,由条件可知AOB为等边三角形,则可求得OA的长
13、,在RtAOD中可求得AD和OD的长,可求得A点坐标,代入抛物线解析式可得a的值;(2)如图2,作辅助线,构建平行线和相似三角形,根据CFBG,由A的横坐标为4,得B的横坐标为1,所以A(4,16a),B(1,a),证明ADOOEB,则,得a的值及B的坐标;(3)如图3,设ACnBC由(2)同理可知:A的横坐标是B的横坐标的n倍,则设B(m,am2),则A(mn,am2n2),分别根据两三角形相似计算DE和CO的长即可得出结论【解析】解:(1)如图1,抛物线yax2的对称轴是y轴,且ABx轴,A与B是对称点,O是抛物线的顶点,OAOB,AOB60,AOB是等边三角形,AB2,ABOC,ACBC
14、1,BOC30,OC,A(1,),把A(1,)代入抛物线yax2(a0)中得:a;(2)如图2,过B作BEx轴于E,过A作AGBE,交BE延长线于点G,交y轴于F,CFBG,AC4BC,4,AF4FG,A的横坐标为4,B的横坐标为1,A(4,16a),B(1,a),AOB90,AODBOE90,AODDAO90,BOEDAO,ADOOEB90,ADOOEB,16a24,a,a0,a;B(1,);(3)如图3,设ACnBC,由(2)同理可知:A的横坐标是B的横坐标的n倍,则设B(m,am2),则A(mn,am2n2),ADam2n2,过B作BFx轴于F,DEBF,BOFEOD,DEam2n,OC
15、AE,BCOBAE,COam2n,DECO5(2017江苏苏州,28,10分)如图,二次函数yx2bxc的图象与x轴交于 A、B两点,与y轴交于点C,OBOC点D在函数图象上,CDx轴,且CD2,直线l是抛物线的对称轴,E是抛物线的顶点(1)求b、c的值;(2)如图,连接BE,线段OC上的点F关于直线l的对称点F恰好在线段BE上,求点F的坐标;(3)如图,动点P在线段OB上,过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M,与抛物线交于点N试问:抛物线上是否存在点Q,使得PQN与APM的面积相等,且线段NQ的长度最小?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,说明理由【分析】(1)由条件可求得抛物线对称轴,则
16、可求得b的值;由OBOC,可用c表示出B点坐标,代入抛物线解析式可求得c的值;(2)可设F(0,m),则可表示出F的坐标,由B、E的坐标可求得直线BE的解析式,把F坐标代入直线BE解析式可得到关于m的方程,可求得F点的坐标;(3)设点P坐标为(n,0),可表示出PA、PB、PN的长,作QRPN,垂足为R,则可求得QR的长,用n可表示出Q、R、N的坐标,在RtQRN中,由勾股定理可得到关于n的二次函数,利用二次函数的性质可知其取得最小值时n的值,则可求得Q点的坐标,【解析】解:(1)CDx轴,CD2,抛物线对称轴为x1-2,b-2OBOC,C(0,c),B点的坐标为(c,0),0c22cc,解得
17、c3或c0(舍去),c3;(2)设点F的坐标为(0,m)对称轴为直线x1,点F关于直线l的对称点F的坐标为(2,m)由(1)可知抛物线解析式为yx22x3(x1)24,E(1,4),直线BE经过点B(3,0),E(1,4),利用待定系数法可得直线BE的表达式为y2x6点F在BE上,m2262,即点F的坐标为(0,2);(3)存在点Q满足题意设点P坐标为(n,0),则PAn1,PBPM3n,PNn22n3作QRPN,垂足为R,SPQNSAPM,(n1)(3-n)(-n22n3) QR,QR1点Q在直线PN的左侧时,Q点的坐标为(n1,n24n),R点的坐标为(n,n24n),N点的坐标为(n,n
18、22n3)在RtQRN中,NQ21(2n3)2,n时,NQ取最小值1此时Q点的坐标为(,-); 点Q在直线PN的右侧时,Q点的坐标为(n11,n24)同理,NQ21(2n1)2,n时,NQ取最小值1此时Q点的坐标为(,-)综上可知存在满足题意的点Q,其坐标为(,-)或(,-)6(2017江苏泰州,26,14分)平面直角坐标系xOy中,点A、B的横坐标分别为a、a+2,二次函数y=x2+(m2)x+2m的图象经过点A、B,且a、m满足2am=d(d为常数)(1)若一次函数y1=kx+b的图象经过A、B两点当a=1、d=1时,求k的值;若y1随x的增大而减小,求d的取值范围;(2)当d=4且a2、
19、a4时,判断直线AB与x轴的位置关系,并说明理由;(3)点A、B的位置随着a的变化而变化,设点A、B运动的路线与y轴分别相交于点C、D,线段CD的长度会发生变化吗?如果不变,求出CD的长;如果变化,请说明理由【分析】(1)当a=1、d=1时,m=2ad=3,于是得到抛物线的解析式,然后求得点A和点B的坐标,最后将点A和点B的坐标代入直线AB的解析式求得k的值即可;将x=a,x=a+2代入抛物线的解析式可求得点A和点B的纵坐标,然后依据y1随着x的增大而减小,可得到(am)(a+2)(a+2m)(a+4),结合已知条件2am=d,可求得d的取值范围;(2)由d=4可得到m=2a+4,则抛物线的解
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