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2021中考数学热点题型专练 锐角三角函数

2021中考数学热点题型专练 锐角三角函数

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热点17 锐角三角函数
【命题趋势】
锐角三函数是中考数学中必考内容之一，所占比例8—15分，题目数量2-3题。一般小题会有一个，一般为填空或计算，考查学生对几个特殊角的三角函数值的记忆情况。大题一般也会有一题，主要是考查锐角三角函数的实际应用，往往会结合仰角和俯角，坡度等概念进行设计问题，当然在其他解答题中也可能会用到三角函数，比如在计算一些线段长度，会与解直角三角形，或者与圆、四边形结合而形成难度中等的解答题。
【满分技巧】
一、 整体把握知识结构

二．重点知识
1.Rt△ABC中
(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sinA＝
(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝
(3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝
(4)∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切，记作cota＝
2.特殊值的三角函数：
a
sina
cosa
tana
cota
30°

45°

1
1
60°

【限时检测】（建议用时：30分钟）
一、 选择题
1.如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，
∴AC＝＝5．
∴sin∠BAC＝＝
故选：D．

2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（　　）

A．10 B．8 C．4 D．2
【答案】D
【解析】∵∠C＝90°，cos∠BDC＝，
设CD＝5x，BD＝7x，
∴BC＝2x，
∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，
∴AD＝BD＝7x，
∴AC＝12x，
∵AC＝12，
∴x＝1，
∴BC＝2；
故选：D．
3.如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（　　）

A．2 B．4 C．5 D．10
【答案】B
【解析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．

∵BE⊥AC，
∴∠ABE＝90°，
∵tanA＝=2，设AE＝a，BE＝2a，
则有：100＝a2+4a2，
∴a2＝20，
∴a＝2或﹣2（舍弃），
∴BE＝2a＝4，
∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AC，
∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））
∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，
∴sin∠DBH＝＝＝，
∴DH＝BD，
∴CD+BD＝CD+DH，
∴CD+DH≥CM，
∴CD+BD≥4，
∴CD+BD的最小值为4．
故选：B．
4.如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（　　）km．

A．30+30 B．30+10 C．10+30 D．30
【答案】B
【解析】根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，
过B作BE⊥AC于E，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝30，
∴AE＝BE＝AB＝30km，
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，
∴CE＝BE＝10km，
∴AC＝AE+CE＝30+10，
∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，
故选：B．
5.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E。若DE=1，则BC的长为

A.2+ B. C.2+ D.3
【答案】A
【解析】

过点D作DF⊥AC于F如图所示，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF=1，在Rt△BED中，∠B=30°，∴BD=2DE=2，在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CD=DF=，∴BC=BD+CD=，
故选A
6. 2sin60°的值等于（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】2sin60°＝2×＝，
故选：C．
7.如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（　　）

A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx
C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx
【答案】D
【解析】作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x，
∴∠EAB＝x，
∴∠FBA＝x，
∵AB＝a，AD＝b，
∴FO＝FB+BO＝a•cosx+b•sinx，
故选：D．

8.如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2cm，BC＝FG＝8cm．把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，tanα等于（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，

∵∠ADC＝∠HDF＝90°
∴∠CDM＝∠NDH，且CD＝DH，∠H＝∠C＝90°
∴△CDM≌△HDN（ASA）
∴MD＝ND，且四边形DNKM是平行四边形
∴四边形DNKM是菱形
∴KM＝DM
∵sinα＝sin∠DMC＝
∴当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，
设MD＝a＝BM，则CM＝8﹣a，
∵MD2＝CD2+MC2，
∴a2＝4+（8﹣a）2，
∴a＝
∴CM＝
∴tanα＝tan∠DMC＝
故选：D．
9.为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为（　　）
（参考数据：sin48°≈，cos48°≈，tan48°≈）

A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【解析】如图，∵＝1：＝，
∴设CF＝5k，AF＝12k，
∴AC＝＝13k＝26，
∴k＝2，
∴AF＝10，CF＝24，
∵AE＝6，
∴EF＝6+24＝30，
∵∠DEF＝48°，
∴tan48°＝＝＝1.11，
∴DF＝，
∴CD＝﹣10＝，
答：古树CD的高度约为米，
故选：C．
10.小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高为1.5米，她先站在处看路灯顶端的仰角为，再往前走3米站在处，看路灯顶端的仰角为，则路灯顶端到地面的距离约为（ ）
（已知，，，，，

A．3.2米 B．3.9米 C．4.7米 D．5.4米
【答案】C
【解析】过点作于点，延长交于点，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．

二、填空题
11.在△ABC中∠C＝90°，tanA＝，则cosB＝　 　．
【答案】
【解析】利用三角函数的定义及勾股定理求解．
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，
设a＝x，b＝3x，则c＝2x，
∴cosB＝＝．
故答案为：．
12.如图：正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD边的中点，连接AE，BF交于点P，连接PD，则tan∠APD＝　 　．

【答案】2
【解析】连接AF，
∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，
∴CF＝BE，，
在△ABE和△BCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
又∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴∠BPE＝∠APF＝90°，
∵∠ADF＝90°，
∴∠ADF+∠APF＝180°，
∴A、P、F、D四点共圆，
∴∠AFD＝∠APD，
∴tan∠APD＝tan∠AFD＝＝2，
故答案为：2．

13.如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB＝　 　．

【答案】
【解析】连接OB，作OD⊥BC于D，
∵⊙O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，
∴∠OBC＝∠OBA＝∠ABC＝30°，
∴tan∠OBC＝，
∴BD＝＝＝3，
∴CD＝BC﹣BD＝8﹣3＝5，
∴tan∠OCB＝＝．
故答案为．

14.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则tan∠HAP＝　 　．

【答案】
【解析】如图，连接PB，交CH于E，
由折叠可得，CH垂直平分BP，BH＝PH，
又∵H为AB的中点，
∴AH＝BH，
∴AH＝PH＝BH，
∴∠HAP＝∠HPA，∠HBP＝∠HPB，
又∵∠HAP+∠HPA+∠HBP+∠HPB＝180°，
∴∠APB＝90°，
∴∠APB＝∠HEB＝90°，
∴AP∥HE，
∴∠BAP＝∠BHE，
又∵Rt△BCH中，tan∠BHC＝＝，
∴tan∠HAP＝，
故答案为：．

15.如图，一块含有角的直角三角板，外框的一条直角边长为，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为，则图中阴影部分的面积为_______（结果保留根号）

【答案】14+16
【解析】如右图：过顶点A作AB⊥大直角三角形底边
由题意：
∴
=
∴
=
16.计算：×﹣tan45°＝　 　．
【答案】
【解析】×﹣tan45°＝﹣1＝﹣1，
故答案为：﹣1
17.如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上，则tan∠BAO的值为　 　．

【答案】
【解析】过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，
则∠BDO＝∠ACO＝90°，
∵顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上，
∴S△BDO＝，S△AOC＝，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD+∠DBO＝∠BOD+∠AOC＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC，
∴△BDO∽△OCA，
∴＝（）2＝＝5，
∴＝，
∴tan∠BAO＝＝，
故答案为：．

18. (2019 四川省自贡市)如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos（α+β）＝　 　．

【答案】
【解析】给图中各点标上字母，连接DE，如图所示．
在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝BC，
∴∠α＝30°．
同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α．
又∵∠AEC＝60°，
∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝90°．
设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝2×sin60°•a＝a，
∴AD＝＝a，
∴cos（α+β）＝＝．
故答案为：．

19.在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cosC＝　 　．
【答案】或
【解析】若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cosC＝＝＝；
若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cosC＝＝＝；
综上所述，cosC的值为或．
故答案为或．
20.四边形具有不稳定性．如图，矩形按箭头方向变形成平行四边形，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则　　．

【答案】30°
【解析】，
平行四边形的底边AD边上的高等于AD的一半，
．
故答案为：30°
三、解答题
21. (2019 天津市)如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行30m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果取整数）．
参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．

【解析】在Rt△CAD中，tan∠CAD＝，
则AD＝≈CD，
在Rt△CBD中，∠CBD＝45°，
∴BD＝CD，
∵AD＝AB+BD，
∴CD＝CD+30，
解得，CD＝45，
答：这座灯塔的高度CD约为45m．
22.如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度BG＝2米，货厢底面距地面的高度BH＝0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH＝α，木箱的长（FC）为2米，高（EF）和宽都是1.6米．通过计算判断：当sinα＝，木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E会不会触碰到汽车货厢顶部．

【解析】∵BH＝0.6米，sinα＝
∴AB＝＝1米，
∴AH＝0.8米，
∵AF＝FC＝2米，
∴BF＝1米，
作FJ⊥BG于点J，作EK⊥FJ于点K，
∵EF＝FB＝AB＝1米，∠EKF＝∠FJB＝∠AHB＝90°，∠EFK＝∠FBJ＝∠ABH，
∴△EFK≌△FBJ≌△ABH，
∴EK＝FJ＝AH，BJ＝BH，
∴BJ+EK＝0.6+0.8＝1.4＜2，
∴木箱上部顶点E不会触碰到汽车货厢顶部．