2019年全国中考数学真题分类汇编3：代数几何综合压轴题.doc

代数几何综合压轴题
一、选择题
1. （2019年四川省达州市）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B（2，
2），点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，
过点P作PD⊥PC，交x轴于点D．下列结论：
①OA＝BC＝2；②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2＝7；③在运动过程中，∠CDP是一个定值；④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（，0）．其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】矩形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质
【解答】解：①∵四边形OABC是矩形，B（2，2），
∴OA＝BC＝2；故①正确；
②∵点D为OA的中点，
∴OD＝OA＝，
∴PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2＝22+（）2＝7，故②正确；
③如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，
∴PE⊥BC，四边形OFEC是矩形，
∴EF＝OC＝2，
设PE＝a，则PF＝EF﹣PE＝2﹣a，
在Rt△BEP中，tan∠CBO＝＝＝，
∴BE＝PE＝a，
∴CE＝BC﹣BE＝2﹣a＝（2﹣a），
∵PD⊥PC，
∴∠CPE+∠FPD＝90°，
∵∠CPE+∠PCE＝90°，
∴∠FPD＝∠ECP，
∵∠CEP＝∠PFD＝90°，
∴△CEP∽△PFD，
∴＝，
∴＝，
∴FD＝，
∴tan∠PDC＝＝＝，
∴∠PDC＝60°，故③正确；
④∵B（2，2），四边形OABC是矩形，
∴OA＝2，AB＝2，
∵tan∠AOB＝＝，
∴∠AOB＝30°，
当△ODP为等腰三角形时，
Ⅰ、OD＝PD，
∴∠DOP＝∠DPO＝30°，
∴∠ODP＝60°，
∴∠ODC＝60°，
∴OD＝OC＝，
Ⅱ、OP＝OD，
∴∠ODP＝∠OPD＝75°，
∵∠COD＝∠CPD＝90°，
∴∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去；
Ⅲ、OP＝PD，
∴∠POD＝∠PDO＝30°，
∴∠OCP＝150°＞90°故不合题意舍去，
∴当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（，0）．故④正确，
故选：D．
二、解答题
1. （2019年四川省攀枝花市）已知抛物线的对称轴为直线x=1，其图像与轴相交于、两点，与轴交于点。
（1）求，的值；
（2）直线l与轴交于点。
①如图1，若l∥轴，且与线段及抛物线分别相交于点、，点关于直线
的对称点为，求四边形面积的最大值；
②如图2，若直线l与线段相交于点，当△PCQ∽△ CAP时，求直线l的表达式。

【考点】二次函数极值问题、三角函数、相似三角形
【解答】解：（1）由题可知
解得
（2）①由题可知，
∴
由（1）可知，
∴：
设，则
∴
∴
∴当时，四边形的面积最大，最大值为
②由（1）可知
由∽可得
∴ ∴
由，可得
∴
作于点，设，则
∴，
∴
即 解得
∴ ∴l：
2.（2019年山东省滨州市）如图①，抛物线y＝﹣x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将直线AB绕点A逆时针旋转90°，所得直线与x轴交于点D．
（1）求直线AD的函数解析式；
（2）如图②，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点
①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；
②当点P到直线AD的距离为时，求sin∠PAD的值．

【考点】待定系数法、二次函数极值问题、三角函数、分类讨论思想
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，则点A的坐标为（0，4），
当y＝0时，0＝﹣x2+x+4，解得，x1＝﹣4，x2＝8，则点B的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（8，0），
∴OA＝OB＝4，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°，
∵将直线AB绕点A逆时针旋转90°得到直线AD，
∴∠BAD＝90°，
∴OAD＝45°，
∴∠ODA＝45°，
∴OA＝OD，
∴点D的坐标为（4，0），
设直线AD的函数解析式为y＝kx+b，
，得，
即直线AD的函数解析式为y＝﹣x+4；
（2）作PN⊥x轴交直线AD于点N，如右图①所示，
设点P的坐标为（t，﹣t2+t+4），则点N的坐标为（t，﹣t+4），
∴PN＝（﹣t2+t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+t，
∴PN⊥x轴，
∴PN∥y轴，
∴∠OAD＝∠PNH＝45°，
作PH⊥AD于点H，则∠PHN＝90°，
∴PH＝＝（﹣t2+t）＝t＝﹣（t﹣6）2+，
∴当t＝6时，PH取得最大值，此时点P的坐标为（6，），
即当点P到直线AD的距离最大时，点P的坐标是（6，），最大距离是；
②当点P到直线AD的距离为时，如右图②所示，
则t＝，
解得，t1＝2，t2＝10，
则P1的坐标为（2，），P2的坐标为（10，﹣），
当P1的坐标为（2，），则P1A＝＝，
∴sin∠P1AD＝＝；
当P2的坐标为（10，﹣），则P2A＝＝，
∴sin∠P2AD＝＝；
由上可得，sin∠PAD的值是或．
3. （2019年山东省菏泽市）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在第二象限内，且PE＝OD，求△PBE的面积．
（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】待定系数法、面积问题、三角函数、探究等腰三角形问题
【解答】解：（1）点A的坐标是（2，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，则点B（﹣4，0），
则函数的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+4）＝a（x2+2x﹣8），
即：﹣8a＝﹣2，解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣2；
（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：
直线BC的表达式为：y＝﹣x﹣2，则tan∠ABC＝，则sin∠ABC＝，
设点D（x，0），则点P（x，x2+x﹣2），点E（x，x﹣2），
∵PE＝OD，
∴PE＝（x2+x﹣2﹣x+2）＝（﹣x），
解得：x＝0或﹣5（舍去x＝0），
即点D（﹣5，0）
S△PBE＝×PE×BD＝（x2+x﹣2﹣x+2）（﹣4﹣x）＝；
（3）由题意得：△BDM是以BD为腰的等腰三角形，只存在：BD＝BM的情况，
BD＝1＝BM，
则yM＝﹣BMsin∠ABC＝﹣1×＝﹣，
则xM＝﹣，
故点M（﹣，﹣）．
4. （2019年山东省枣庄市）已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；
（2）如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求点M的坐标．
【考点】待定系数法、二次函数极值问题、点的存在性问题、一元二次方程、分类讨论
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x＝3，
∴﹣＝3，解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4．
当y＝0时，﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝8，
∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．
答：抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．
（2）当x＝0时，y＝﹣x2+x+4＝4，
∴点C的坐标为（0，4）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（8，0），C（0，4）代入y＝kx+b得
，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．
假设存在点P，使四边形PBOC的面积最大，
设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4），如图所示，过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4），
则PD＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x，
∴S四边形PBOC＝S△BOC+S△PBC
＝×8×4+PD•OB
＝16+×8（﹣x2+2x）
＝﹣x2+8x+16
＝﹣（x﹣4）2+32
∴当x＝4时，四边形PBOC的面积最大，最大值是32
∵0＜x＜8，
∴存在点P（4，6），使得四边形PBOC的面积最大．
答：存在点P，使四边形PBOC的面积最大；点P的坐标为（4，6），四边形PBOC面积的最大值为32．
（3）设点M的坐标为（m，﹣++4）则点N的坐标为（m，﹣），
∴MN＝|﹣++4﹣（﹣）|＝|﹣+2m|，
又∵MN＝3，
∴|﹣+2m|＝3，
当0＜m＜8时，﹣+2m﹣3＝0，解得m1＝2，m2＝6，
∴点M的坐标为（2，6）或（6，4）；
当m＜0或m＞8时，﹣+2m+3＝0，解得m3＝4﹣2，m4＝4+2，
∴点M的坐标为（4﹣2，﹣1）或（4+2，﹣﹣1）．
答：点M的坐标为（2，6）、（6，4）、（4﹣2，﹣1）或（4+2，﹣﹣1）．
5.（2019年四川省达州市）如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0）．
（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；
（2）设点D是x轴上一点，当tan（∠CAO+∠CDO）＝4时，求点D的坐标；
（3）如图2．抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m﹣n的最大值．

【考点】待定系数法、二次函数极值问题、相似三角形、分类讨论
【解答】解：（1）由题意把点（1，0），（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，，
解得b＝﹣2，c＝3，
∴y＝﹣x2﹣2x+3
＝﹣（x+1）2+4，
∴此抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，顶点C的坐标为（﹣1，4）；
（2）∵抛物线顶点C（﹣1，4），
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
设抛物线对称轴与x轴交于点H，
则H（﹣1，0），
在Rt△CHO中，CH＝4，OH＝1，
∴tan∠COH＝＝4，
∵∠COH＝∠CAO+∠ACO，
∴当∠ACO＝∠CDO时，
tan（∠CAO+∠CDO）＝tan∠COH＝4，
如图1，当点D在对称轴左侧时，
∵∠ACO＝∠CDO，∠CAO＝∠CAO，
∴△AOC∽△ACD，
∴＝，
∵AC＝＝2，AO＝1，
∴＝，
∴AD＝20，
∴OD＝19，
∴D（﹣19，0）；
当点D在对称轴右侧时，点D关于直线x＝1的对称点D'的坐标为（17，0），
∴点D的坐标为（﹣19，0）或（17，0）；
（3）设P（a，﹣a2﹣2a+3），
将P（a，﹣a2﹣2a+3），A（1，0）代入y＝kx+b，
得，，
解得，k＝﹣a﹣3，b＝a+3，
∴yPA＝（﹣a﹣3）x+a+3，
当x＝0时，y＝a+3，
∴N（0，a+3），
如图2，
∵S△BPM＝S△BPA﹣S四边形BMNO﹣S△AON，S△EMN＝S△EBO﹣S四边形BMNO，
∴S△BPM﹣S△EMN
＝S△BPA﹣S△EBO﹣S△AON
＝×4×（﹣a2﹣2a+3）﹣×3×3﹣×1×（a+3）
＝﹣2a2﹣a
＝﹣2（a+）2+，
由二次函数的性质知，当a＝﹣时，S△BPM﹣S△EMN有最大值，
∵△BMP和△EMN的面积分别为m、n，
∴m﹣n的最大值为．
6. （2019年四川省资阳市）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；
（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】待定系数法、二次函数极值问题、距离和最短问题、探究特殊角问题
【解答】解：（1）将点B的坐标为（4，m）代入y＝﹣x+，
m＝﹣4+＝﹣，
∴B的坐标为（4，﹣），
将A（3，2），B（4，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c，

解得b＝1，c＝，
∴抛物线的解析式y＝；
（2）设D（m，），则E（m，﹣m+），
DE＝（）﹣（﹣m+）＝＝﹣（m﹣2）2+2，
∴当m＝2时，DE有最大值为2，
此时D（2，），
作点A关于对称轴的对称点A'，连接A'D，与对称轴交于点P．
PD+PA＝PD+PA'＝A'D，此时PD+PA最小，
∵A（3，2），
∴A'（﹣1，2），
A'D＝＝，
即PD+PA的最小值为；
（3）作AH⊥y轴于点H，连接AM、AQ、MQ、HA、HQ，
∵抛物线的解析式y＝，
∴M（1，4），
∵A（3，2），
∴AH＝MH＝2，H（1，2）
∵∠AQM＝45°，
∠AHM＝90°，
∴∠AQM＝∠AHM，
可知△AQM外接圆的圆心为H，
∴QH＝HA＝HM＝2
设Q（0，t），
则＝2，
t＝2+或2﹣
∴符合题意的点Q的坐标：Q1（0，2﹣）、Q2（0，2）．
7.（2019年江苏省苏州市）如图①，抛物线与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，已知的面积为6.
（1）求的值；
（2）求外接圆圆心的坐标；
（3）如图②，P是抛物线上一点，点Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，的面积为，且，求点Q的坐标.

（图①） （图②）
【考点】待定系数法、二次函数嵌圆类问题
【解答】（1）解：由题意得
由图知：
所以A()，,
=6

∴
（2）由（1）得A()，,
∴直线AC得解析式为：
AC中点坐标为
∴AC的垂直平分线为：
又∵AB的垂直平分线为：
∴ 得
外接圆圆心的坐标（-1，1）.
（3）解：过点P做PD⊥x轴
由题意得：PD=d，
∴
=2d
∵的面积为
∴，即A、D两点到PB得距离相等
∴
设PB直线解析式为;过点
∴
∴易得
所以P(-4,-5),
由题意及
易得：
∴BQ=AP=
设Q（m，-1）()
∴

∴Q
8.（2019年湖北省十堰市）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（2，0）和C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
（3）若点P在抛物线上，且＝m，试确定满足条件的点P的个数．

【考点】待定系数法、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、分类讨论思想
【解答】解：（1）由题意：，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3，
∴顶点D坐标（2，3）．
（2）可能．如图1，
∵A（﹣2，0），D（2，3），B（6，0），
∴AB＝8，AD＝BD＝5，
①当DE＝DF时，∠DFE＝∠DEF＝∠ABD，
∴EF∥AB，此时E与B重合，与条件矛盾，不成立．
②当DE＝EF时，
又∵△BEF∽△AED，
∴△BEF≌△AED，
∴BE＝AD＝5
③当DF＝EF时，∠EDF＝∠DEF＝∠DAB＝∠DBA，
△FDE∽△DAB，
∴＝，
∴＝＝，
∵△AEF∽△BCE
∴＝＝，
∴EB＝AD＝，
答：当BE的长为5或时，△CFE为等腰三角形．
（3）如图2中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DH⊥AB于H，连接PD，PH，PB．设P[n，﹣（n﹣2）2+3]，
则S△PBD＝S△PBH+S△PDH﹣S△BDH＝×4×[﹣（n﹣2）2+3]+×3×（n﹣2）﹣×4×3＝﹣（n﹣4）2+，
∵﹣＜0，
∴n＝4时，△PBD的面积的最大值为，
∵＝m， ∴当点P在BD的右侧时，m的最大值＝＝，
观察图象可知：当0＜m＜时，满足条件的点P的个数有4个，
当m＝时，满足条件的点P的个数有3个，
当m＞时，满足条件的点P的个数有2个（此时点P在BD的左侧）．
9.（2019年甘肃省天水市）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，
0）和C（0，4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是
该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．
（1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；
（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；
（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．

【考点】待定系数法、相似三角形的判定和性质、探究面积问题、分类讨论思想
【解答】解：（1）∵抛抛线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），
∴抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣9），
∵点C（0，4）在抛物线上，
∴4＝﹣27a，
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+3）（x﹣9）＝﹣x2+x+4，
∵CD垂直于y轴，C（0，4），
令﹣x2+x+4＝4，
解得，x＝0或x＝6，
∴点D的坐标为（6，4）；
（2）如图1所示，设A1F交CD于点G，O1F交CD于点H，
∵点F是抛物线y＝﹣x2+x+4的顶点，
∴F（3，），
∴FH＝﹣4＝，
∵GH∥A1O1，
∴△FGH∽△FA1O1，
∴，
∴，
解得，GH＝1，
∵Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形A1O1HG，
∴S重叠部分＝﹣S△FGH
＝A1O1•O1F﹣GH•FH
＝
＝；
（3）①当0＜t≤3时，如图2所示，设O2C2交OD于点M，
∵C2O2∥DE，
∴△OO2M∽△OED，
∴，
∴，
∴O2M＝t，
∴S＝＝OO2×O2M＝t×t＝t2；
②当3＜t≤6时，如图3所示，设A2C2交OD于点M，O2C2交OD于点N，
将点D（6，4）代入y＝kx，
得，k＝，
∴yOD＝x，
将点（t﹣3，0），（t，4）代入y＝kx+b，
得，，
解得，k＝，b＝﹣t+4，
∴直线A2C2的解析式为：y＝x﹣t+4，
联立yOD＝x与y＝x﹣t+4，
得，x＝x﹣t+4，
解得，x＝﹣6+2t，
∴两直线交点M坐标为（﹣6+2t，﹣4+t），
故点M到O2C2的距离为6﹣t，
∵C2N∥OC，
∴△DC2N∽△DCO，
∴，
∴，
∴C2N＝（6﹣t），
∴S＝＝﹣
＝OA•OC﹣C2N（6﹣t）
＝×3×4﹣×（6﹣t）（6﹣t）
＝﹣t2+4t﹣6；
∴S与t的函数关系式为：S＝．
9. （2019年甘肃省）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．

【考点】待定系数法、探究特殊四边形问题、分类讨论思想、二次函数极值问题
【解答】解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；
故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，
则AB＝PE＝2，
则点P坐标为（4，3），
当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，
故：点P（4，3）或（0，3）；
②当AB是四边形的对角线时，如图2，
AB中点坐标为（2，0）
设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点横坐标为，
即：＝2，解得：m＝2，
故点P（2，﹣1）；
故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；
（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），
S四边形AEBD＝AB（yD﹣yE）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，
∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，
当x＝，其最大值为，此时点E（，﹣）．
10. （2019年湖北省鄂州市）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB＝4，交y轴于点C，对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x＝1的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标；
（3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒．
①若△AOC与△BMN相似，请直接写出t的值；
②△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

【考点】待定系数法、探究相似三角形问题、分类讨论思想、探究等腰三角形问题
【解答】解：（1））∵点A、B关于直线x＝1对称，AB＝4，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
代入y＝﹣x2+bx+c中，得：，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∴C点坐标为（0，3）；
（2）设直线BC的解析式为y＝mx+n，
则有：，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵点E、F关于直线x＝1对称，
又E到对称轴的距离为1，
∴EF＝2，
∴F点的横坐标为2，将x＝2代入y＝﹣x+3中，
得：y＝﹣2+3＝1，
∴F（2，1）；
（3）①如下图，
MN＝﹣4t2+4t+3，MB＝3﹣2t，
△AOC与△BMN相似，则，
即：，
解得：t＝或﹣或3或1（舍去、﹣、3），
故：t＝1；
②∵M（2t，0），MN⊥x轴，∴Q（2t，3﹣2t），
∵△BOQ为等腰三角形，∴分三种情况讨论，
第一种，当OQ＝BQ时，
∵QM⊥OB
∴OM＝MB
∴2t＝3﹣2t
∴t＝；
第二种，当BO＝BQ时，在Rt△BMQ中
∵∠OBQ＝45°，
∴BQ＝，
∴BO＝，
即3＝，
∴t＝；
第三种，当OQ＝OB时，
则点Q、C重合，此时t＝0
而t＞0，故不符合题意
综上述，当t＝或秒时，△BOQ为等腰三角形．
11. （2019年湖北省荆州市）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，
C的坐标分别为（6，0），（4，3），经过B，C两点的抛物线与x轴的一个交点D的坐标
为（1，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若∠AOC的平分线交BC于点E，交抛物线的对称轴于点F，点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点A作OE的垂线交BC于点H，点M，N分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．

【考点】待定系数法、探究矩离和最短问题、分类讨论思想、探究特殊四边形问题
【解答】解：（1）∵平行四边形OABC中，A（6，0），C（4，3）
∴BC＝OA＝6，BC∥x轴
∴xB＝xC+6＝10，yB＝yC＝3，即B（10，3）
设抛物线y＝ax2+bx+c经过点B、C、D（1，0）
∴ 解得：
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x﹣
（2）如图1，作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P
∵C（4，3）
∴OC＝
∵BC∥OA
∴∠OEC＝∠AOE
∵OE平分∠AOC
∴∠AOE＝∠COE
∴∠OEC＝∠COE
∴CE＝OC＝5
∴xE＝xC+5＝9，即E（9，3）
∴直线OE解析式为y＝x
∵直线OE交抛物线对称轴于点F，对称轴为直线：x＝﹣7
∴F（7，）
∵点E与点E'关于x轴对称，点P在x轴上
∴E'（9，﹣3），PE＝PE'
∴当点F、P、E'在同一直线上时，PE+PF＝PE'+PF＝FE'最小
设直线E'F解析式为y＝kx+h
∴ 解得：
∴直线E'F：y＝﹣x+21
当﹣x+21＝0时，解得：x＝
∴当PE+PF的值最小时，点P坐标为（，0）．
（3）存在满足条件的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形．
设AH与OE相交于点G（t，t），如图2
∵AH⊥OE于点G，A（6，0）
∴∠AGO＝90°
∴AG2+OG2＝OA2
∴（6﹣t）2+（t）2+t2+（t）2＝62
∴解得：t1＝0（舍去），t2＝
∴G（，）
设直线AG解析式为y＝dx+e
∴ 解得：
∴直线AG：y＝﹣3x+18
当y＝3时，﹣3x+18＝3，解得：x＝5
∴H（5，3）
∴HE＝9﹣5＝4，点H、E关于直线x＝7对称
①当HE为以点M，N，H，E为顶点的平行四边形的边时，如图2
则HE∥MN，MN＝HE＝4
∵点N在抛物线对称轴：直线x＝7上
∴xM＝7+4或7﹣4，即xM＝11或3
当x＝3时，yM＝﹣×9+×9﹣＝
∴M（3，）或（11，）
②当HE为以点M，N，H，E为顶点的平行四边形的对角线时，如图3
则HE、MN互相平分
∵直线x＝7平分HE，点F在直线x＝7上
∴点M在直线x＝7上，即M为抛物线顶点
∴yM＝﹣×49+×7﹣＝4
∴M（7，4）
综上所述，点M坐标为（3，）、（11，）或（7，4）．
12. （2019年湖北省随州市）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（-2，0），C（6，0）．
（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；
（2）如图2，连接AB，AC，设点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点P作PD⊥AC于点E，交x轴于点D，过点P作PG∥AB交AC于点F，交x轴于点G．设线段DG的长为d，求d与m的函数关系式，并注明m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若△PDG的面积为4912，
①求点P的坐标；
②设M为直线AP上一动点，连接OM交直线AC于点S，则点M在运动过程中，在抛物线上是否存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M及其对应的点R的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法，一次函数的图象与性质，二元一次方程组的解法
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点B（-2，0），C（6，0）
∴设交点式y=a（x+2）（x-6）
∵抛物线过点A（0，6）
∴-12a=6
∴a=-12
∴抛物线解析式为y=-12（x+2）（x-6）=-12x2+2x+6=-12（x-2）2+8
∴抛物线对称轴为直线x=2．
（2）过点P作PH⊥x轴于点H，如图1
∴∠PHD=90°
∵点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点且在对称轴右侧
∴2＜m＜6，PH=n=-12m2+2m+6，n＞0
∵OA=OC=6，∠AOC=90°
∴∠ACO=45°
∵PD⊥AC于点E
∴∠CED=90°
∴∠CDE=90°-∠ACO=45°
∴DH=PH=n
∵PG∥AB
∴∠PGH=∠ABO
∴△PGH∽△ABO
∴PHAO=GHBO
∴GH=BO⋅PHAO=2PH6=13n
∴d=DH-GH=n-13n=23n=23（-12m2+2m+6）=-13m2+43m+4（2＜m＜6）
（3）①∵S△PDG=12DG•PH=4912
∴12⋅23n•n=4912
解得：n1=72，n2=-72（舍去）
∴-12m2+2m+6=72
解得：m1=-1（舍去），m2=5
∴点P坐标为（5，72）
②在抛物线上存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形．
设直线AP解析式为y=kx+6
把点P代入得：5k+6=72
∴k=-12
∴直线AP：y=-12x+6
i）若∠RAS=90°，如图2
∵直线AC解析式为y=-x+6
∴直线AR解析式为y=x+6
y=x+6y=-12x2+2x+6  解得：x1=0y1=6（即点A）x2=2y2=8
∴R（2，8）
∵∠ASR=∠OAC=45°
∴RS∥y轴
∴xS=xR=2
∴S（2，4）
∴直线OM：y=2x
∵y=2xy=-12x+6  解得：x=125y=245
∴M（125，245）
ii）若∠ASR=90°，如图3
∴∠SAR=∠ACO=45°
∴AR∥x轴
∴R（4，6）
∵S在AR的垂直平分线上
∴S（2，4）
∴M（125，245）
iii）若∠ARS=90°，如图4，
∴∠SAR=∠ACO=45°，RS∥y轴
∴AR∥x轴
∴R（4，6）
∴S（4，2）
∴直线OM：y=12x
∵y=12xy=12x+6  解得：x=6y=3
∴M（6，3）
综上所述，M1（125，245），R1（2，8）；M2（125，245），R2（4，6）；M3（6，3），R3（4，6）．
13. （2019年湖北省襄阳市）如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为x＝1的抛物线过B，C两点，且交x轴于另一点A，连接AC．
（1）直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式；
（2）已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；
（3）抛物线上是否存在一点Q（点C除外），使以点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数的图象与性质、二次函数极值问题、相似三角形的判定和性质，锐角三角函数、分类讨论与数形结合思想
【解答】解：（1）y＝﹣x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝6，
故点B、C的坐标分别为（6，0）、（0，3），
抛物线的对称轴为x＝1，则点A（﹣4，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣6）（x+4）＝a（x2﹣2x﹣24），
即﹣24a＝3，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3…①；
（2）过点P作y轴的平行线交BC于点G，作PH⊥BC于点H，
将点B、C坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
则∠HPG＝∠CBA＝α，tan∠CAB＝＝＝tanα，则cosα＝，
设点P（x，﹣x2+x+3），则点G（x，﹣x+3），
则PH＝PGcosα＝（﹣x2+x+3+x﹣3）＝﹣x2+x，
∵＜0，故PH有最小值，此时x＝3，
则点P（3，）；
（3）①当点Q在x轴上方时，
则点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC全等，此时点Q与点C关于函数对称轴对称，
则点Q（2，3）；
②当点Q在x轴下方时，
Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似，则∠ACB＝∠Q′AB，
当∠ABC＝∠ABQ′时，
直线BC表达式的k值为﹣，则直线BQ′表达式的k值为，
设直线BQ′表达式为：y＝x+b，将点B的坐标代入上式并解得：
直线BQ′的表达式为：y＝x﹣3…②，
联立①②并解得：x＝6或﹣8（舍去6），
故点Q（Q′）坐标为（﹣8，﹣7）（舍去）；
当∠ABC＝∠ABQ′时，
同理可得：直线BQ′的表达式为：y＝x﹣…③，
联立①③并解得：x＝6或﹣10（舍去6），
故点Q（Q′）坐标为（﹣10，﹣12），
由点的对称性，另外一个点Q的坐标为（12，﹣12）；
综上，点Q的坐标为：（2，3）或（12，﹣12）或（﹣10，﹣12）．
14. （2019年甘肃省武威市）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？

【考点】二次函数的图象与性质、二次函数极值问题、探究等腰三角形问题、分类讨论与数形结合思想
【解答】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12），
即：﹣12a＝4，解得：a＝﹣，
则抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；
（2）存在，理由：
点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），
则AC＝5，AB＝7，BC＝4，∠OAB＝∠OBA＝45°，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：y＝﹣x+4…①，
同理可得直线AC的表达式为：y＝x+4，
设直线AC的中点为M（﹣，4），过点M与CA垂直直线的表达式中的k值为﹣，
同理可得过点M与直线AC垂直直线的表达式为：y＝﹣x+…②，
①当AC＝AQ时，如图1，
则AC＝AQ＝5，
设：QM＝MB＝n，则AM＝7﹣n，
由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4），
故点Q（1，3）；
②当AC＝CQ时，如图1，
CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝4﹣5，
则QM＝MB＝，
故点Q（，）；
③当CQ＝AQ时，
联立①②并解得：x＝（舍去）；
故点Q的坐标为：Q（1，3）或（，）；
（3）设点P（m，﹣m2+m+4），则点Q（m，﹣m+4），
∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，
PN＝PQsin∠PQN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）＝﹣m2+m，
∵﹣＜0，∴PN有最大值，
当m＝时，PN的最大值为：．
15. （2019年辽宁省本溪市）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C，D重合）．过点C作直线PB的垂线交PB于点E，交x轴于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△PCF的面积为5时，求点P的坐标；
（3）当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．

【考点】二次函数的图象与性质、二次函面积问题、探究等腰三角形问题、分类讨论与数形结合思想
【解答】解：（1）函数的