2018年湖北省襄阳市中考数学试卷及答案解析.doc

2018年湖北省襄阳市中考数学试卷

一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）﹣2的相反数为（　　）
A．2 B． C．﹣2 D．
2．（3分）近几年，襄阳市经济呈现稳中有进，稳中向好的态势，2017年GDP突破4000亿元大关，4000亿这个数用科学记数法表示为（　　）
A．4×1012 B．4×1011 C．0.4×1012 D．40×1011
3．（3分）如图，把一块三角板的直角顶点放在一直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2的度数为（　　）

A．55° B．50° C．45° D．40°
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a2+a2=2a4 B．a6÷a2=a3 C．（﹣a3）2=a6 D．（ab）2=ab2
5．（3分）不等式组的解集为（　　）
A．x＞ B．x＞1 C．＜x＜1 D．空集
6．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（　　）

A． B．
C． D．
7．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（　　）

A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm
8．（3分）下列语句所描述的事件是随机事件的是（　　）
A．任意画一个四边形，其内角和为180°
B．经过任意点画一条直线
C．任意画一个菱形，是屮心对称图形
D．过平面内任意三点画一个圆
9．（3分）已知二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（　　）
A．m≤5 B．m≥2 C．m＜5 D．m＞2
10．（3分）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（　　）

A．4 B．2 C． D．2

二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
11．（3分）计算：|1﹣|=　 　．
12．（3分）计算﹣的结果是　 　．
13．（3分）我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文为：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问这个物品的价格是多少元？”该物品的价格是　 　元．
14．（3分）一组数据3，2，3，4，x的平均数是3，则它的方差是　 　．
15．（3分）已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，则BC的长为　 　．
16．（3分）如图，将面积为32的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E．若BE=，则AP的长为　 　．

三、解答题（本题共9题，72分）
17．（6分）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）+y（x+2y）﹣（x﹣y）2，其中x=2+，y=2﹣．
18．（6分）为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B处时，测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图所示，求建筑物P到赛道AB的距离（结果保留根号）．

19．（6分）“品中华诗词，寻文化基因”．某校举办了第二届“中华诗词大赛”，将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制了如下不完整的频数分布统计表与频数分布直方图．
频数分布统计表
组别
成绩x（分）
人数
百分比
A
60≤x＜70
8
20%
B
70≤x＜80
16
m%
C
80≤x＜90
a
30%
D
90≤＜x≤100
4
10%
请观察图表，解答下列问题：
（1）表中a=　 　，m=　 　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）D组的4名学生中，有1名男生和3名女生．现从中随机抽取2名学生参加市级竞赛，则抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为　 　．

20．（6分）正在建设的“汉十高铁”竣工通车后，若襄阳至武汉段路程与当前动车行驶的路程相等，约为325千米，且高铁行驶的速度是当前动车行驶速度的2.5倍，则从襄阳到武汉乘坐高铁比动车所用时间少1.5小时．求高铁的速度．
21．（7分）如图，已知双曲线y1=与直线y2=ax+b交于点A（﹣4，1）和点B（m，﹣4）．
（1）求双曲线和直线的解析式；
（2）直接写出线段AB的长和y1＞y2时x的取值范围．

22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB=CE．
（1）求证：DA=DE；
（2）若AB=6，CD=4，求图中阴影部分的面积．

23．（10分）襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成木是18元/千克，每天的利润是W元（利润=销售收入﹣成本）．
（1）m=　 　，n=　 　；
（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？
（3）在销售蓝莓的30天中，当大利润不低于870元的共有多少天？
24．（10分）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：的值为　 　：
（2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：
（3）拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2，则BC=　 　．

25．（13分）直线y=﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，顶点为D的抛物线y=﹣x2+2mx﹣3m经过点A，交x轴于另一点C，连接BD，AD，CD，如图所示．
（1）直接写出抛物线的解析式和点A，C，D的坐标；
（2）动点P在BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动，同时动点Q在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．PQ交线段AD于点E．
①当∠DPE=∠CAD时，求t的值；
②过点E作EM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N，当PN=EM时，求t的值．

2018年湖北省襄阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）﹣2的相反数为（　　）
A．2 B． C．﹣2 D．
【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，﹣2的相反数为2．
【解答】解：与﹣2符号相反的数是2，
所以，数﹣2的相反数为2．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．

2．（3分）近几年，襄阳市经济呈现稳中有进，稳中向好的态势，2017年GDP突破4000亿元大关，4000亿这个数用科学记数法表示为（　　）
A．4×1012 B．4×1011 C．0.4×1012 D．40×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：4000亿=4×1011，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．（3分）如图，把一块三角板的直角顶点放在一直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2的度数为（　　）

A．55° B．50° C．45° D．40°
【分析】利用平行线的性质求出∠3即可解决问题；
【解答】解：

∵∠1=∠3=50°，∠2+∠3=90°，
∴∠2=90°﹣∠3=40°，
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质，三角板的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a2+a2=2a4 B．a6÷a2=a3 C．（﹣a3）2=a6 D．（ab）2=ab2
【分析】根据合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂相除，底数不变指数相减；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a2+a2=2a2，故A错误；
B、a6÷a2=a4，故B错误；
C、（﹣a3）2=a6，故C正确；
D、（ab）2=a2b2，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．

5．（3分）不等式组的解集为（　　）
A．x＞ B．x＞1 C．＜x＜1 D．空集
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x＞1﹣x，得：x＞，
解不等式x+2＜4x﹣1，得：x＞1，
则不等式组的解集为x＞1，
故选：B．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

6．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．
故选：C．
【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体．主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体，俯视图为几边形就是几棱柱．

7．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（　　）

A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm
【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
【解答】解：∵DE垂直平分线段AC，
∴DA=DC，AE=EC=6cm，
∵AB+AD+BD=13cm，
∴AB+BD+DC=13cm，
∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．

8．（3分）下列语句所描述的事件是随机事件的是（　　）
A．任意画一个四边形，其内角和为180°
B．经过任意点画一条直线
C．任意画一个菱形，是屮心对称图形
D．过平面内任意三点画一个圆
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：A、任意画一个四边形，其内角和为180°是不可能事件；
B、经过任意点画一条直线是必然事件；
C、任意画一个菱形，是屮心对称图形是必然事件；
D、过平面内任意三点画一个圆是随机事件；
故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

9．（3分）已知二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（　　）
A．m≤5 B．m≥2 C．m＜5 D．m＞2
【分析】根据已知抛物线与x轴有交点得出不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，
∴△=（﹣1）2﹣4×1×（m﹣1）≥0，
解得：m≤5，
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，能根据题意得出关于m的不等式是解此题的关键．

10．（3分）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（　　）

A．4 B．2 C． D．2
【分析】根据垂径定理得到CH=BH，=，根据圆周角定理求出∠AOB，根据正弦的定义求出BH，计算即可．
【解答】解：∵OA⊥BC，
∴CH=BH，=，
∴∠AOB=2∠CDA=60°，
∴BH=OB•sin∠AOB=，
∴BC=2BH=2，
故选：D．

【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．

二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
11．（3分）计算：|1﹣|=　﹣1　．
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】解：|﹣|=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了实数的性质，是基础题，主要利用了绝对值的性质．

12．（3分）计算﹣的结果是　　．
【分析】根据同分母分式加减运算法则计算即可，最后要注意将结果化为最简分式．
【解答】解：原式=
=
=，
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的加减，归纳提炼：分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．

13．（3分）我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文为：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问这个物品的价格是多少元？”该物品的价格是　53　元．
【分析】设该商品的价格是x元，共同购买该物品的有y人，根据“每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设该商品的价格是x元，共同购买该物品的有y人，
根据题意得：，
解得：．
故答案为：53．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

14．（3分）一组数据3，2，3，4，x的平均数是3，则它的方差是　0.4　．
【分析】由于数据2、3、3、4、x的平均数是3，由此利用平均数的计算公式可以求出x，然后利用方差的计算公式即可求解．
【解答】解：∵数据2、3、3、4、x的平均数是3，
∴2+3+3+4+x=3×5，
∴x=3，
∴S2=[（3﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（3﹣3）2]=0.4．
故答案为：0.4．
【点评】此题主要考查了平均数和方差的计算，解题的关键是熟练掌握平均数和方差的计算公式．

15．（3分）已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，则BC的长为　2或2　．
【分析】分两种情况：
①当△ABC是锐角三角形，如图1，
②当△ABC是钝角三角形，如图2，
分别根据勾股定理计算AC和BC即可．
【解答】解：分两种情况：
①当△ABC是锐角三角形，如图1，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∵CD=，AD=1，
∴AC=2，
∵AB=2AC，
∴AB=4，
∴BD=4﹣1=3，
∴BC===2；
②当△ABC是钝角三角形，如图2，
同理得：AC=2，AB=4，
∴BC===2；
综上所述，BC的长为2或2．
故答案为：2或2．

【点评】本题考查了三角形的高、勾股定理的应用，在直角三角形中常利用勾股定理计算线段的长，要熟练掌握．

16．（3分）如图，将面积为32的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E．若BE=，则AP的长为　　．

【分析】设AB=a，AD=b，则ab=32，构建方程组求出a、b即可解决问题；
【解答】解：设AB=a，AD=b，则ab=32，
由△ABE∽△DAB可得：=，
∴b=a2，
∴a3=64，
∴a=4，b=8，
设PA交BD于O．

在Rt△ABD中，BD==12，
∴OP=OA==，
∴AP=．
故答案为．
【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

三、解答题（本题共9题，72分）
17．（6分）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）+y（x+2y）﹣（x﹣y）2，其中x=2+，y=2﹣．
【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式和完全平方公式可以化简题目中的式子，再将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（x+y）（x﹣y）+y（x+2y）﹣（x﹣y）2
=x2﹣y2+xy+2y2﹣x2+2xy﹣y2
=3xy，
当x=2+，y=2﹣时，原式=3×（2+）（2﹣）=3．
【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的计算方法．

18．（6分）为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B处时，测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图所示，求建筑物P到赛道AB的距离（结果保留根号）．

【分析】作PC⊥AB于C，构造出Rt△PAC与Rt△PBC，求出AB的长度，利用特殊角的三角函数值求解．
【解答】解：过P点作PC⊥AB于C，由题意可知：∠PAC=60°，∠PBC=30°，
在Rt△PAC中，，∴AC=PC，
在Rt△PBC中，，∴BC=PC，
∵AB=AC+BC=，
∴PC=100，
答：建筑物P到赛道AB的距离为100米．
【点评】此题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三角形，再利用特殊角的三角函数值解答．

19．（6分）“品中华诗词，寻文化基因”．某校举办了第二届“中华诗词大赛”，将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制了如下不完整的频数分布统计表与频数分布直方图．
频数分布统计表
组别
成绩x（分）
人数
百分比
A
60≤x＜70
8
20%
B
70≤x＜80
16
m%
C
80≤x＜90
a
30%
D
90≤＜x≤100
4
10%
请观察图表，解答下列问题：
（1）表中a=　12　，m=　40　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）D组的4名学生中，有1名男生和3名女生．现从中随机抽取2名学生参加市级竞赛，则抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为　　．

【分析】（1）先由A组人数及其百分比求得总人数，总人数乘以C的百分比可得a的值，用B组人数除以总人数可得m的值；
（2）根据（1）中所求结果可补全图形；
（3）列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数为8÷20%=40人，
∴a=40×30%=12，m%=×100%=40%，即m=40，
故答案为：12、40；

（2）补全图形如下：

（3）列表如下：

男
女1
女2
女3
男
﹣﹣﹣
（女，男）
（女，男）
（女，男）
女1
（男，女）
﹣﹣﹣
（女，女）
（女，女）
女2
（男，女）
（女，女）
﹣﹣﹣
（女，女）
女3
（男，女）
（女，女）
（女，女）
﹣﹣﹣
∵共有12种等可能的结果，选中1名男生和1名女生结果的有6种．
∴抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为=，
故答案为：．
【点评】本题考查了频数分布表、频数分布直方图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了列表法和画树状图求概率．

20．（6分）正在建设的“汉十高铁”竣工通车后，若襄阳至武汉段路程与当前动车行驶的路程相等，约为325千米，且高铁行驶的速度是当前动车行驶速度的2.5倍，则从襄阳到武汉乘坐高铁比动车所用时间少1.5小时．求高铁的速度．
【分析】设高铁的速度为x千米/小时，则动车速度为0.4x千米/小时，根据题意列出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：设高铁的速度为x千米/小时，则动车速度为0.4x千米/小时，
根据题意得：﹣=1.5，
解得：x=325，
经检验x=325是分式方程的解，且符合题意，
则高铁的速度是325千米/小时．
【点评】此题考查了分式方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．

21．（7分）如图，已知双曲线y1=与直线y2=ax+b交于点A（﹣4，1）和点B（m，﹣4）．
（1）求双曲线和直线的解析式；
（2）直接写出线段AB的长和y1＞y2时x的取值范围．

【分析】（1）先把A点坐标代入y1=中求出k得到反比例函数的解析式为y1=﹣，再把B（m，﹣4）代入y1=﹣中求出m得到B（1，﹣4），然后利用待定系数法求直线解析式；
（2）利用两点间的距离公式计算AB的长；利用函数图象，写出反比例函数图象在直线上方所对应的自变量的范围得到y1＞y2时x的取值范围．
【解答】解：（1）把A（﹣4，1）代入y1=得k=﹣4×1=﹣4，
∴反比例函数的解析式为y1=﹣，
把B（m，﹣4）代入y1=﹣得﹣4m=﹣4，解得m=1，则B（1，﹣4），
把A（﹣4，1），B（1，﹣4）代入y2=ax+b得，解得，
∴直线解析式为y2=﹣x﹣3；
（2）AB==5，
当﹣4＜x＜0或x＞1时，y1＞y2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．

22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB=CE．
（1）求证：DA=DE；
（2）若AB=6，CD=4，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OE．推知CD为⊙O的切线，即可证明DA=DE；
（2）利用分割法求得阴影部分的面积．
【解答】解：（1）证明：连接OE、OC．
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB．
∵BC=EC，
∴∠CBE=∠CEB，
∴∠OBC=∠OEC．
∵BC为⊙O的切线，
∴∠OEC=∠OBC=90°；
∵OE为半径，
∴CD为⊙O的切线，
∵AD切⊙O于点A，
∴DA=DE；

（2）如图，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，
∴AD=BF，DF=AB=6，
∴DC=BC+AD=4．
∵BC==2，
∴BC﹣AD=2，
∴BC=3．
在直角△OBC中，tan∠BOE==，
∴∠BOC=60°．
在△OEC与△OBC中，
，
∴△OEC≌△OBC（SSS），
∴∠BOE=2∠BOC=120°．
∴S阴影部分=S四边形BCEO﹣S扇形OBE=2×BC•OB﹣=9﹣3π．

【点评】本题考查了切线的判定与性质：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，运用全等三角形的判定与性质进行计算．

23．（10分）襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成木是18元/千克，每天的利润是W元（利润=销售收入﹣成本）．
（1）m=　﹣　，n=　25　；
（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？
（3）在销售蓝莓的30天中，当大利润不低于870元的共有多少天？
【分析】（1）根据题意将相关数值代入即可；
（2）在（1）的基础上分段表示利润，讨论最值；
（3）分别在（2）中的两个函数取值范围内讨论利润不低于870的天数，注意天数为正整数．
【解答】解：（1）当第12天的售价为32元/件，代入y=mx﹣76m得
32=12m﹣76m
解得m=﹣
当第26天的售价为25元/千克时，代入y=n
则n=25
故答案为：m=﹣，n=25
（2）由（1）第x天的销售量为20+4（x﹣1）=4x+16
当1≤x＜20时
W=（4x+16）（﹣x+38﹣18）=﹣2x2+72x+320=﹣2（x﹣18）2+968
∴当x=18时，W最大=968
当20≤x≤30时，W=（4x+16）（25﹣18）=28x+112
∵28＞0
∴W随x的增大而增大
∴当x=30时，W最大=952
∵968＞952
∴当x=18时，W最大=968
（3）当1≤x＜20时，令﹣2x2+72x+320=870
解得x1=25，x2=11
∵抛物线W=﹣2x2+72x+320的开口向下
∴11≤x≤25时，W≥870
∴11≤x＜20
∵x为正整数
∴有9天利润不低于870元
当20≤x≤30时，令28x+112≥870
解得x≥27
∴27≤x≤30
∵x为正整数
∴有3天利润不低于870元
∴综上所述，当天利润不低于870元的天数共有12天．
【点评】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，应用了分类讨论的数学思想．

24．（10分）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：的值为　　：
（2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：
（3）拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2，则BC=　3　．

【分析】（1）①由GE⊥BC、GF⊥CD结合∠BCD=90°可得四边形CEGF是矩形，再由∠ECG=45°即可得证；②由正方形性质知∠CEG=∠B=90°、∠ECG=45°，据此可得=、GE∥AB，利用平行线分线段成比例定理可得；
（2）连接CG，只需证△ACG∽△BCE即可得；
（3）证△AHG∽△CHA得==，设BC=CD=AD=a，知AC=a，由=得AH=a、DH=a、CH=a，由=可得a的值．
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，
∵GE⊥BC、GF⊥CD，
∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，
∴四边形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，
∴EG=EC，
∴四边形CEGF是正方形；
②由①知四边形CEGF是正方形，
∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，
∴=，GE∥AB，
∴==，
故答案为：；

（2）连接CG，

由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α，
在Rt△CEG和Rt△CBA中，
=cos45°=、=cos45°=，
∴==，
∴△ACG∽△BCE，
∴==，
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE；

（3）∵∠CEF=45°，点B、E、F三点共线，
∴∠BEC=135°，
∵△ACG∽△BCE，
∴∠AGC=∠BEC=135°，
∴∠AGH=∠CAH=45°，
∵∠CHA=∠AHG，
∴△AHG∽△CHA，
∴==，
设BC=CD=AD=a，则AC=a，
则由=得=，
∴AH=a，
则DH=AD﹣AH=a，CH==a，
∴=得=，
解得：a=3，即BC=3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查相似形的综合题，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点．

25．（13分）直线y=﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，顶点为D的抛物线y=﹣x2+2mx﹣3m经过点A，交x轴于另一点C，连接BD，AD，CD，如图所示．
（1）直接写出抛物线的解析式和点A，C，D的坐标；
（2）动点P在BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动，同时动点Q在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．PQ交线段AD于点E．
①当∠DPE=∠CAD时，求t的值；
②过点E作EM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N，当PN=EM时，求t的值．

【分析】（1）先由直线解析式求得点A、B坐标，将点A坐标代入抛物线解析式求得m的值，从而得出答案；
（2）①由（1）知BD=AC、BD∥OC，根据AB=AD=证四边形ABPQ是平行四边形得AQ=BP，即2t=4﹣3t，解之即可；②分点N在AB上和点N在AD上两种情况分别求解．
【解答】解：（1）在y=﹣x+3中，令x=0得y=3，令y=0得x=2，
∴点A（2，0）、点B（0，3），
将点A（2，0）代入抛物线解析式，得：﹣×4+4m﹣3m=0，
解得：m=3，
所以抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣9，
∵y=﹣x2+6x﹣9=﹣（x﹣4）2+3，
∴点D（4，3），对称轴为x=4，
∴点C坐标为（6，0）；

（2）如图1，

由（1）知BD=AC=4，
根据0≤3t≤4，得：0≤t≤，
①∵B（0，3）、D（4，3），
∴BD∥OC，
∴∠CAD=∠ADB，
∵∠DPE=∠CAD，
∴∠DPE=∠ADB，
∵AB==、AD==，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠DPE=∠ABD，
∴PQ∥AB，
∴四边形ABPQ是平行四边形，
∴AQ=BP，即2t=4﹣3t，
解得：t=，
即当∠DPE=∠CAD时，t=秒；
②（Ⅰ）当点N在AB上时，0≤2t≤2，即0≤t≤1，
连接NE，延长PN交x轴于点F，延长ME交x轴于点H，

∵PN⊥BD、EM⊥BD，BD∥OC，PN=EM，
∴OF=BP=2t，PF=OB=3，NE=FH、NF=EH，NE∥FQ，
∴FQ=OC﹣OF﹣QC=6﹣5t，
∵点N在直线y=﹣x+3上，
∴点N的坐标为（2t，﹣3t+3），
∴PN=PF﹣NF=3﹣（﹣3t+3）=3t，
∵NE∥FQ，
∴△PNE∽△PFQ，
∴=，
∴FH=NE=•FQ=×（6﹣5t）=6t﹣5t2，
∵A（2，0）、D（4，3），
∴直线AD解析式为y=x﹣3，
∵点E在直线y=x﹣3上，
∴点E的坐标为（4﹣2t，﹣3t+3），
∵OH=OF+FH，
∴4﹣2t=2t+6t﹣5t2，
解得：t=1+＞1（舍）或t=1﹣；
（Ⅱ）当点N在AD上时，2＜2t≤4，即1＜t≤，
∵PN=EM，
∴点E、N重合，此时PQ⊥BD，
∴BP=OQ，
∴2t=6﹣3t，
解得：t=，
综上所述，当PN=EM时，t=（1﹣）秒或t=秒．
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点．

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