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2021中考数学热点题型专练 一次函数

2021中考数学热点题型专练 一次函数

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热点07 一次函数
【命题趋势】
在全国各地的中考题中，涉及正比例函数、一次函数的知识较多，尤其是求函数的解析式的题目，利用函数的图象及其性质解题等经常出现，另外也有创新题、探究题等出现，综合题也屡屡出现．常见的考点有：（1）利用待定系数法确定函数关系式及求函数值；（2）根据函数图象收集相关信息；（3）利用一次函数的图象和性质解决实际问题．
【满分技巧】
一、一次函数的图象及性质
1．一条直线与x轴交点坐标令y=0，求出对应的x值；
2．一条直线与y轴交点坐标令x=0，求出对应的y值；
3．一条直线与其他一次函数图象的交点坐标解由两个函数表达式组成的二元一次方程组，方程组的解即为两函数图象的交点坐标；
4．一条直线与坐标轴围成的三角形的面积直线y＝kx＋b(k≠0)与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为（0，b），与坐标轴围成的三角形面积为．
二、一次函数的应用
1．分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2．函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3．概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
4．求最值的本质为求最优方案，解法有两种：
（1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
（2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
【限时检测】（建议用时：30分钟）
一、选择题
1．已知正比例函数y=kx（k≠0）过点（5，3），（m，4），则m的值为
A． B．–
C． D．
【答案】D
【解析】∵正比例函数y=kx（k≠0）过点（5，3），
∴3=5k，
解得：k=，故y=x，
把（m，4）代入得：4=，
解得：m=．
故选D．
2．一次函数y=﹣kx﹣k的图象可能是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当k>0时，﹣k<0，此时函数图象经过二、三、四象限，B选项符合条件；
当k<0时，﹣k>0，此时函数图象经过一、二、三象限，无选项符合条件．故选B．
3．若点A（x1，﹣3）、B（x2，﹣2）、C（x3，1）在反比例函数的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是
A．x1<x2<x3 B．x3<x1<x2
C．x2<x1<x3 D．x3<x2<x1
【答案】C
【解析】∵点A（x1，﹣3）、B（x2，﹣2）、C（x3，1）在反比例函数的图象上，
∴x1=–2，x2=–3，x3=6，∴x2<x1<x3，故选C．
4．如果一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，那么k、b应满足的条件是
A．k>0且b>0 B．k>0且b<0
C．k<0且b>0 D．k<0且b<0
【答案】A
【解析】∵一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，∴k>0，b>0，故选A．
5．若直线y=kx+k﹣1经过点（m，n+3）和（m+1，2n﹣1），且0<k<2，则n的取值范围是
A．0<n<2 B．0<n<4
C．2<n<6 D．4<n<6
【答案】D
【解析】∵直线y=kx+k﹣1经过点（m，n+3）和（m+1，2n﹣1），
∴n+3=km+k﹣1，2n﹣1=k（m+1）+k﹣1，∴n=k+4．
又∵0<k<2，
∴4<k+4<6，即4<n<6．故选D．
6．如图，直线y1=k1x+a与y2=k2x+b的交点坐标为（1，2），则使y2<y1的取值范围为

A．x>1 B．x>2
C．x<1 D．x<2
【答案】A
【解析】根据题意得当x>1时，y2<y1．故选A．
7．如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图，过点分别作轴，轴，垂足分别为、，

设点坐标为，
∵点在第一象限，∴，，
∵矩形的周长为8，
∴，∴，
即该直线的函数表达式是，
故选A．
8．在平面直角坐标系中，将直线y1：y=2x﹣2平移后，得到直线y2：y=2x+4，则下列平移作法正确的是
A．将y1向上平移2个单位长度 B．将y1向上平移4个单位长度
C．将y1向左平移3个单位长度 D．将y2向右平移6个单位长度
【答案】C
【解析】∵将直线y1：y=2x﹣2平移后，得到直线y2：y=2x+4，
∴2（x+a）﹣2=2x+4，
解得：a=﹣3，
故将y1向左平移3个单位长度．
故选C．
9．甲、乙两人在笔直的公路上问起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地体息已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时向t（分）之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是

A．甲步行的速度为8米/分
B．乙走完全程用了34分钟
C．乙用16分钟追上甲
D．乙到达终点时，甲离终点还有360米
【答案】D
【解析】由图可得，
甲步行的速度为：240÷4=60米/分，故选项A不合题意，
乙走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）=30（分钟），故选项B不合题意，
乙追上甲用的时间为：16﹣4=12（分钟），故选项C不合题意，
乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣（4+30）×60=360米，故选项D符合题意，
故选D．
10．如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x+1的图象上，阴影图形的面积从左向右依次记为S1，S2，S3，…，Sn，则Sn的值为

A．Sn=3×22n+1 B．Sn=3×22n+3
C．Sn=3×22n﹣3 D．Sn=3×22n
【答案】C
【解析】∵函数y=x与x轴的夹角为45°，
∴直线y=x+1与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，
∴A1（0，1），A2（1，2），A3（3，4），
∴第1个正方形的边长为1，
第2个正方形的边长为2，
第3个正方形的边长为4，
第4个正方形的边长为8，
……，
第n个正方形的边长为2n﹣1，
由图可知，S1=×1×1+×2×2﹣×2×1=，
S2=×4×4+×2×2﹣×4×2=6，
……，
第n个正方形的边长为2n﹣1，第n+1个正方形的边长为2n，
Sn=·2n﹣1·2n﹣1+·2n·2n﹣·2·2n﹣1=3×22n﹣3．
故选C．
二、填空题
11．若一次函数（为常数，），随的增大而减小，则的值可以是__________（写出一个即可）．
【答案】–1（答案不唯一）
【解析】根据一次函数一次项系数k的意义，若随的增大而减小，则只需k<0，
∴取k=–1（答案不唯一）．
故答案为：–1（答案不唯一）．
12．（天津市五区2019届中考一模数学试题）若一次函数的图象与直线平行，且经过点，则一次函数的表达式为__________．
【答案】
【解析】设一次函数的表达式为y=kx+b（k≠0）．
∵一次函数的图象与直线y=–3x平行，
∴k=–3，
∴y=–3x+b．
把（1，2）代入，得–3+b=2，
∴b=5，
∴y=–3x+5．
故答案为：y=–3x+5．
13．某商店今年6月初销售纯净水的数量如下表所示：
日期
1
2
3
4
数量（瓶）
120
125
130
135
观察此表，利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为__________瓶．
【答案】150
【解析】这是一个一次函数模型，设y=kx+b，则有，解得，
∴y=5x+115，当x=7时，y=150，
∴预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为150瓶，故答案为：150．
14．当m，n是正实数，且满足mn=m+2n时，就称点P（m，）为“新时代点”．如图，已知点A（0，10）与点M都在直线y=﹣x+b上，点B，C是“新时代点”，且点B在线段AM上．若MC=3，AM=8，则△MBC的面积为__________．

【答案】
【解析】∵m+2n=mn且m，n是正实数，
∴+2=m，即=m﹣2，
∴P（m，m﹣2），
即“新时代点”B在直线y=x﹣2上，
∵点A（0，10）在直线y=﹣x+b上，
∴b=10，
∴直线AB：y=﹣x+10，
∵“新时代点”B在直线AB上，
∴由，解得，
∴B（6，4），
∵一、三象限的角平分线y=x垂直于二、四象限的角平分线y=﹣x，而直线y=x﹣2与直线y=x平行，直线y=﹣x+10与直线y=﹣x平行，
∴直线AB与直线y=x﹣2垂直，
∵点B是直线y=x﹣2与直线AB的交点，
∴垂足是点B，
∵点C是“新时代点”，
∴点C在直线y=x﹣2上，
∴△MBC是直角三角形，
∵B（6，4），A（0，10），
∴AB=6，
∵AM=8，
∴BM=2，
又∵MC=3，∴BC=1，
∴S△MBC=BM·BC=，故答案为：．
15．正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2、…按如图所示的方式放置．点A1、A2、A3、…和点C1、C2、C3、…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B7的坐标是__________．

【答案】（127，64）
【解析】当x=0时，y=x+1=1，∴点A1的坐标为（0，1）．
∵四边形A1B1C1O为正方形，
∴点B1的坐标为（1，1），点C1的坐标为（1，0）．
当x=1时，y=x+1=2，
∴点A1的坐标为（1，2）．
∵A2B2C2C1为正方形，
∴点B2的坐标为（3，2），点C2的坐标为（3，0）．
同理，可知：点B3的坐标为（7，4），点B4的坐标为（15，8），点B5的坐标为（31，16），…，
∴点Bn的坐标为（2n﹣1，2n﹣1）（n为正整数），
∴点B7的坐标为（27﹣1，26），即（127，64）．
故答案为：（127，64）．
三、解答题
16．已知一次函数（k为常数，k≠0）和．
（1）当k=﹣2时，若>，求x的取值范围；
（2）当x<1时，>．结合图象，直接写出k的取值范围．
【解析】（1）当时，，
根据题意，得，解得．
（2）当x=1时，y=x−3=−2，
把（1，−2）代入y1=kx+2得k+2=−2，解得k=−4，
当−4≤k<0时，y1>y2；
当0<k≤1时，y1>y2．
∴k的取值范围是：且．
17．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数的图象平行于直线，且经过点A（2，3），与x轴交于点B．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）设点C在y轴上，当AC=BC时，求点C的坐标．

【解析】（1）设一次函数解析式为y=kx+b（k=0）．
一次函数的图象平行于直线，∴
又∵一次函数的图象经过点A（2，3），
∴，解得b=2．
所以，所求一次函数的解析式是．
（2）由y=，令y=0，得号=0，解得x=-4．
∴一次函数的图象与x轴的交点为B（-4，0）．
∵点C在y轴上，．设点C的坐标为（0，y）．
由AC=BC，得，解得y=，
经检验：y=是原方程的根．
∴点C的坐标是（0，）．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣6，0）的直线l1与直线l2：y=2x相交于点B（m，6）．
（1）求直线l1的表达式；
（2）直线l1与y轴交于点M，求△BOM的面积；
（3）过动点P（m，0）且垂于x轴的直线与l1，l2的交点分别为C，D，当点C位于点D下方时，写出n的取值范围．

【解析】（1）将点B（m，6）代入y=2x，
∴m=3，
∴B（3，6），
设直线l1的表达式为y=kx+b，
将点A与B代入，得，
∴，
∴．
（2）M（0，4），
∴S△BOM=×4×3=6；
（3）当点C位于点D下方时，即y1<y2，
∴m>3．
19．某电器城经销A型号彩电，今年四月份每台彩电售价与去年同期相比降价500元，结果卖出彩电的数量相同，但去年销售额为5万元，今年销售额为4万元．
（1）问去年四月份每台A型号彩电售价是多少元？
（2）为了改善经营，电器城决定再经销B型号彩电．已知A型号彩电每台进货价为1800元，B型号彩电每台进货价为1500元，电器城预计用不多于3.3万元且不少于3.2万元的资金购进这两种彩电共20台，问有哪几种进货方案？
（3）电器城准备把A型号彩电继续以原价出售，B型号彩电以每台1800元的价格出售，在这批彩电全部卖出的前提下，如何进货才能使电器城获利最大？最大利润是多少？
【解析】（1）设去年四月份每台A型号彩电售价是x元，
，
解得，x=2500，
经检验，x=2500是原分式方程的解，
答：去年四月份每台A型号彩电售价是2500元．
（2）设电器城购进A种型号的彩电a台，
，
解得，≤a≤10，
∵a为整数，
∴a=7，8，9，10，
即共有4种进货方案，
方案一：购进A种型号的彩电7台，B种型号彩电13台，
方案二：购进A种型号的彩电8台，B种型号彩电12台，
方案三：购进A种型号的彩电9台，B种型号彩电11台，
方案四：购进A种型号的彩电10台，B种型号彩电10台．
（3）设获得利润为w元，
w=（2500﹣500﹣1800）a+（1800﹣1500）（20﹣a）=﹣100a+6000，
∵a=7，8，9，10，
∴当a=7时，w取得最大值，此时w=5300，
答：在这批彩电全部卖出的前提下，购进A种型号的彩电7台，B种型号彩电13台才能使电器城获利最大，最大利润是5300元．
20．为了美化环境，建设宜居衡阳，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉．经市场调查，甲种花卉的种植费用y（元）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1000 m 2，若甲种花卉的种植面积不少于200 m 2，且不超过乙种花卉种植面积的3倍，那么应该怎忙分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植费用最少？最少总费用为多少元？

【解析】（1）当0≤x≤300时，设y=k1x，根据题意得300k1=39000，解得k1=130，即y=130x；
当x>300时，设y=k2x+b，根据题意得，
解得，即y=80x+15000，
∴．
（2）设甲种花卉种植为a m2，则乙种花卉种植（1000﹣a）m 2．
∴，∴200≤a≤750，
当200≤a≤300时，W=130a+100（1000﹣a）=30a+100000．
∵30>0，W随a的增大而增大，∴当a=200时．Wmin=106000元，
当300<a≤750时，W=80a+15000+100（1000﹣a）=115000﹣20A．
∵﹣20<0，W随a的增大而减小，当a=750时，Wmin=100000元，
∵100000<106000，
∴当a=750时，总费用最少，最少总费用为100000元．
此时乙种花卉种植面积为1000﹣750=250 m 2．
答：应该分配甲、乙两种花卉的种植面积分别是750 m 2和250 m 2，才能使种植总费用最少，最少总费用为100000元．