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2021年中考数学压轴题提升训练-圆中证明及计算问题.docx
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1、2021年中考数学压轴题提升训练 圆中证明及计算问题2021年中考数学压轴题提升训练 圆中证明及计算问题年级:姓名:圆中证明及计算问题【例1】如图,O是ABC的外接圆,点O在BC边上,BAC的平分线交O于点D,连接BD、CD,过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P(1)求证:PD是O的切线;(2)求证:ABCPBDCD;(3)当AB5 cm,AC12 cm时,求线段PC的长【答案】见解析.【解析】(1)证明:连接ODBADCAD,弧BD=弧CD,BODCOD90,BCPA,ODPBOD90,即ODPA,PD是O的切线(2)证明:BCPD,PDCBCDBCDBAD,BADPDC,ABD+A
2、CD180,ACD+PCD180,ABDPCD,BADCDP,ABCPBDCD(3)BC是直径,BACBDC90,AB5,AC12,由勾股定理得:BC13,由(1)知,BCD是等腰直角三角形,BDCD,ABCPBDCDPC【变式1-1】如图,ABC内接于O,且AB=AC,延长BC到点D,使CD=CA,连接AD交O于点E(1)求证:ABECDE;(2)填空:当ABC的度数为 时,四边形AOCE是菱形;若AE=6,BE=8,则EF的长为 【答案】(1)见解析;(2)60;.【解析】(1)证明:连接CE,AB=AC,CD=CA,ABC=ACB,AB=CD,四边形ABCE是圆内接四边形,ECD+BCE
3、=BAE +BCE=180,ECD=BAE,同理,CED=ABC,ABC=ACB=AEB,CED=AEB,ABECDE;(2)60;连接AO、OC,四边形ABCE是圆内接四边形,ABC+AEC=180,ABC=60,AEC=AOC=120,OA=OC,OAC=OCA=30,AB=AC,ABC是等边三角形,ACB=60,ACB=CAD+D,AC=CD,CAD=D=30,ACE=30,OAE=OCE=60,即四边形AOCE是平行四边形,OA=OC,四边形AOCE是菱形;由(1)得:ABECDE,BE=DE=8,AE=CE=6,D=EBC,由CED=ABC=ACB,得ECDCFB,=,AFE=BFC
4、,AEB=FCB,AEFBCF,即,EF=【例2】如图,AB为O的直径,点C为AB上方的圆上一动点,过点C作O的切线l,过点A作直线l的垂线AD,交O于点D,连接OC,CD,BC,BD,且BD与OC交于点E(1)求证:CDECBE;(2)若AB4,填空:当弧CD的长度是 时,OBE是等腰三角形;当BC 时,四边形OADC为菱形【答案】(1)见解析;(2);2【解析】(1)证明:延长AD交直线l于点F,AD垂直于直线l,AFC90,直线l为O切线,OCF90,AFCOCF90,ADOC,AB为O直径,ADB90,OEB90,OCDB,DEBE,DECBEC90,CECE,CDECBE;(2)如图
5、2,连接OD,由(1)知OEB90,当OBE是等腰三角形时,则OEB为等腰直角三角形,BOEOBE=45,ODOB,OEBD,DOCBOE45,AB4,OD2,弧CD的长=;当四边形OADC为菱形时,则ADDCOCAO2,由(1)知,BCDC,BC2.【变式2-1】(2019河南南阳一模)如图,四边形ABCD是O的内接四边形,O的半径为2,B=135,则弧AC的长为()A. 2B. C. D. 【分析】根据弧长公式,需先确定弧AC所对的圆心角AOC的度数,再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得到AOC=2D,根据圆内接四边形对角互补,求出D=180B=45,再代入弧长公式求解即可.【解析】解:
6、四边形ABCD是O的内接四边形,D=180B=45,弧AC所对圆心角的度数为:245=90,O的半径为2,弧AC的长为:=,故选B.1.如图,在RtABC中,ACB=90,以AC为直径的O,与斜边AB交于点D,E为BC边的中点,连接DE.(1)求证:DE是O的切线;(2)填空:若B=30,AC=,则BD=当B=时,以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形.【答案】见解析.【解析】解:(1)连接OD,AC为直径,ADC=90,CDB=90,E是BC的中点,DE=CE=BE,DCE=EDC,OD=OC,OCD=ODC,ODC+CDE=OCD+DCE=90,即ODE=90,DE是O的切线;(2)3;4
7、5,理由如下:B=30,AC=,BCA=90,BC= ACtan30=6,DE=3,由B=A=45,OA=OD,得ADO=AOD=45,AOD=90,DOC=90,又ODE=90,四边形ODEC是矩形,OD=OC,四边形ODEC是正方形.2.已知ABC内接于以AB为直径的O,过点C作O的切线交BA的延长线于点D,且DAAB=12(1)求CDB的度数;(2)在切线DC上截取CE=CD,连接EB,判断直线EB与O的位置关系,并证明【答案】见解析.【解析】解:(1)如图,连接OC,CD是O的切线,OCD=90DA:AB=1:2,DA=OC,DO=2OC在RtDOC中,sinCDO=,CDO=30,即
8、CDB=30(2)直线EB与O相切证明:连接OC,由(1)可知CDO=30,COD=60,OC=OB,OBC=OCB=30,CBD=CDB,CD=CB,CD是O的切线,OCE=90,ECB=60, 又CD=CE,CB=CE,CBE为等边三角形,EBA=EBC+CBD=90,EB是O的切线3.如图,在RtABC 中,ACB=90,以 AC 为直径的O与斜边AB交于点D,E为BC边上一点,且DE是O的切线(1)求证:BE=EC;(2)填空:若B=30,AC=2则DE=;当B=时,以O,D,E,C为顶点的四边形是正方形【答案】(1)见解析;(2)3;45.【解析】解:(1)证明:如图,连接OD,AC
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