2014年江苏省苏州市中考数学试卷(含解析).doc

(完整版)2014年江苏省苏州市中考数学试卷(含解析)

2014年江苏省苏州市中考数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2014•苏州）（﹣3)×3的结果是(　　）
A．﹣9B．0C．9D．﹣6
2．（3分）（2014•苏州）已知∠α和∠β是对顶角，若∠α=30°，则∠β的度数为（　　）
A．30°B．60°C．70°D．150°
3．（3分）（2014•苏州）有一组数据：1，3,3，4，5，这组数据的众数为（　　)
A．1B．3C．4D．5
4．（3分)（2014•苏州)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　)
A．x≤﹣4B．x≥﹣4C．x≤4D．x≥4
5．(3分)（2014•苏州)如图，一个圆形转盘被分成6个圆心角都为60°的扇形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是（　　）

A．B．C．D．
6．(3分)（2014•苏州）如图,在△ABC中，点D在BC上,AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为（　　）

A．30°B．40°C．45°D．60°
7．(3分）(2014•苏州）下列关于x的方程有实数根的是(　　）
A．x2﹣x+1=0B．x2+x+1=0C．（x﹣1）(x+2)=0D．（x﹣1)2+1=0
8．（3分)（2014•苏州）二次函数y=ax2+bx﹣1(a≠0）的图象经过点（1,1),则代数式1﹣a﹣b的值为（　　)
A．﹣3B．﹣1C．2D．5
9．（3分)（2014•苏州）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发,沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB的长）为（　　）

A．4kmB．2kmC．2kmD．（+1）km
10．(3分）（2014•苏州）如图，△AOB为等腰三角形,顶点A的坐标（2，），底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B,点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为（　　）

A．（，）B．（，)C．（，)D．（，4）

二、填空题(共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）（2014•苏州）的倒数是　　　　　　．
12．（3分）（2014•苏州）已知地球的表面积约为510000000km2,数510000000用科学记数法可表示为　　　　　　．
13．（3分）（2014•苏州)已知正方形ABCD的对角线AC=,则正方形ABCD的周长为　　　　　　．
14．（3分）(2014•苏州）某学校计划开设A、B、C、D四门校本课程供全体学生选修，规定每人必须并且只能选修其中一门，为了了解各门课程的选修人数．现从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并把调查结果绘制成如图所示的条形统计图．已知该校全体学生人数为1200名，由此可以估计选修C课程的学生有　　　　　　人．

15．（3分)（2014•苏州)如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC=　　　　　　．

16．（3分）(2014•苏州）某地准备对一段长120m的河道进行清淤疏通．若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天;若甲工程队先单独工作8天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天．设甲工程队平均每天疏通河道xm，乙工程队平均每天疏通河道ym,则（x+y）的值为　　　　　　．
17．（3分）(2014•苏州)如图，在矩形ABCD中,=，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AD于点E．若AE•ED=，则矩形ABCD的面积为　　　　　　．

18．（3分）(2014•苏州）如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A,P是⊙O上的一个动点（不与点A重合),过点P作PB⊥l，垂足为B,连接PA．设PA=x，PB=y，则(x﹣y）的最大值是　　　　　　．

三、解答题（共11小题,共76分）
19．(5分）（2014•苏州)计算：22+｜﹣1|﹣．
20．(5分)（2014•苏州)解不等式组:．
21．(5分）（2015•东莞）先化简，再求值：÷（1+)，其中x=﹣1．
22．（6分）（2014•苏州）解分式方程：+=3．
23．(6分)（2014•苏州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．
（1）求证：△BCD≌△FCE;
（2）若EF∥CD,求∠BDC的度数．

24．（7分)（2014•苏州）如图，已知函数y=﹣x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,与函数y=x的图象交于点M，点M的横坐标为2，在x轴上有一点P（a，0)（其中a＞2)，过点P作x轴的垂线,分别交函数y=﹣x+b和y=x的图象于点C、D．
（1）求点A的坐标;
（2)若OB=CD,求a的值．

25．(7分）(2014•苏州)如图,用红、蓝两种颜色随机地对A、B、C三个区域分别进行涂色，每个区域必须涂色并且只能涂一种颜色，请用列举法(画树状图或列表）求A、C两个区域所涂颜色不相同的概率．

26．(8分）（2014•苏州)如图,已知函数y=（x＞0）的图象经过点A、B，点A的坐标为(1，2），过点A作AC∥y轴,AC=1（点C位于点A的下方），过点C作CD∥x轴，与函数的图象交于点D，过点B作BE⊥CD，垂足E在线段CD上，连接OC、OD．
（1)求△OCD的面积；
（2)当BE=AC时，求CE的长．

27．（8分）（2014•苏州）如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点，=，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE=AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．
（1）若⊙O的半径为3,∠DAB=120°，求劣弧的长；
（2）求证：BF=BD;
（3)设G是BD的中点,探索:在⊙O上是否存在点P（不同于点B)，使得PG=PF？并说明PB与AE的位置关系．

28．（9分）（2014•苏州)如图,已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm,矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm/s,矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）
（1）如图①，连接OA、AC,则∠OAC的度数为　　　　　　°；
（2)如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1,C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长)；
（3)在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．

29．（10分）（2014•苏州)如图，二次函数y=a(x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧）,与y轴交于C（0，﹣3)，点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．
（1）用含m的代数式表示a；
(2）求证：为定值；
（3）设该二次函数图象的顶点为F,探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形?如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可,并用含m的代数式表示该点的横坐标;如果不存在，请说明理由．

2014年江苏省苏州市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共10小题,每小题3分，共30分）
1．（3分）（2014•苏州）（﹣3）×3的结果是（　　)
A．﹣9B．0C．9D．﹣6
【解答】解:原式=﹣3×3=﹣9，
故选:A．

2．（3分)(2014•苏州)已知∠α和∠β是对顶角，若∠α=30°，则∠β的度数为（　　）
A．30°B．60°C．70°D．150°
【解答】解：∵∠α和∠β是对顶角，∠α=30°，
∴根据对顶角相等可得∠β=∠α=30°．
故选：A．

3．(3分）（2014•苏州）有一组数据：1，3，3，4，5,这组数据的众数为(　　）
A．1B．3C．4D．5
【解答】解：这组数据中3出现的次数最多,
故众数为3．
故选：B

4．（3分）(2014•苏州）若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是（　　）
A．x≤﹣4B．x≥﹣4C．x≤4D．x≥4
【解答】解：依题意知，x﹣4≥0，
解得x≥4．
故选：D．

5．（3分）（2014•苏州）如图，一个圆形转盘被分成6个圆心角都为60°的扇形,任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是（　　）

A．B．C．D．
【解答】解：设圆的面积为6,
∵圆被分成6个相同扇形，
∴每个扇形的面积为1,
∴阴影区域的面积为4,
∴指针指向阴影区域的概率==．
故选：D．

6．（3分）（2014•苏州）如图,在△ABC中，点D在BC上,AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为（　　）

A．30°B．40°C．45°D．60°
【解答】解：∵△ABD中,AB=AD,∠B=80°，
∴∠B=∠ADB=80°，
∴∠ADC=180°﹣∠ADB=100°，
∵AD=CD，
∴∠C===40°．
故选：B．

7．（3分）（2014•苏州）下列关于x的方程有实数根的是（　　）
A．x2﹣x+1=0B．x2+x+1=0C．（x﹣1)(x+2）=0D．（x﹣1）2+1=0
【解答】解：A、△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以A选项错误；
B、△=12﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以B选项错误；
C、x﹣1=0或x+2=0，则x1=1，x2=﹣2，所以C选项正确;
D、(x﹣1）2=﹣1，方程左边为非负数，方程右边为0，所以方程没有实数根，所以D选项错误．
故选：C．

8．（3分)（2014•苏州）二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1﹣a﹣b的值为（　　）
A．﹣3B．﹣1C．2D．5
【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx﹣1(a≠0)的图象经过点（1，1)，
∴a+b﹣1=1，
∴a+b=2，
∴1﹣a﹣b=1﹣(a+b）=1﹣2=﹣1．
故选：B．

9．（3分）（2014•苏州）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（　　）

A．4kmB．2kmC．2kmD．（+1）km
【解答】解:如图,过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°,∠AOD=30°，OA=4，
∴AD=OA=2．
在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°，
∴BD=AD=2，
∴AB=AD=2．
即该船航行的距离(即AB的长）为2km．
故选：C．

10．（3分）(2014•苏州）如图,△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，），底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B,点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为(　　)

A．（,）B．（，）C．（，）D．（,4）
【解答】解：如图，过点A作AC⊥OB于C,过点O′作O′D⊥A′B于D,
∵A（2,），
∴OC=2，AC=,
由勾股定理得，OA===3，
∵△AOB为等腰三角形，OB是底边，
∴OB=2OC=2×2=4，
由旋转的性质得，BO′=OB=4，∠A′BO′=∠ABO，
∴O′D=4×=，
BD=4×=,
∴OD=OB+BD=4+=,
∴点O′的坐标为(,）．
故选：C．

二、填空题(共8小题,每小题3分，共24分）
11．(3分）（2014•苏州）的倒数是　　．
【解答】解：的倒数是，
故答案为:．

12．（3分）（2014•苏州）已知地球的表面积约为510000000km2，数510000000用科学记数法可表示为　5。1×108　．
【解答】解：510 000 000=5。1×108．
故答案为:5.1×108．

13．（3分）（2014•苏州）已知正方形ABCD的对角线AC=，则正方形ABCD的周长为　4　．
【解答】解：∵正方形ABCD的对角线AC=，
∴边长AB=÷=1，
∴正方形ABCD的周长=4×1=4．
故答案为：4．

14．（3分）(2014•苏州)某学校计划开设A、B、C、D四门校本课程供全体学生选修，规定每人必须并且只能选修其中一门，为了了解各门课程的选修人数．现从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查,并把调查结果绘制成如图所示的条形统计图．已知该校全体学生人数为1200名，由此可以估计选修C课程的学生有　240　人．

【解答】解：C占样本的比例,
C占总体的比例是，
选修C课程的学生有1200×=240（人），
故答案为：240．

15．（3分)（2014•苏州）如图,在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC=　　．

【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，

∵AB=AC=5，
∴BE=BC=×8=4，∠BAE=∠BAC，
∵∠BPC=∠BAC，
∴∠BPC=∠BAE．
在Rt△BAE中，由勾股定理得
AE=,
∴tan∠BPC=tan∠BAE=．
故答案为：．

16．（3分）（2014•苏州）某地准备对一段长120m的河道进行清淤疏通．若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天；若甲工程队先单独工作8天,则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天．设甲工程队平均每天疏通河道xm，乙工程队平均每天疏通河道ym，则（x+y)的值为　20　．
【解答】解:设甲工程队平均每天疏通河道xm，乙工程队平均每天疏通河道ym，由题意，得
,
解得:．
∴x+y=20．
故答案为：20．

17．（3分）(2014•苏州）如图,在矩形ABCD中,=，以点B为圆心,BC长为半径画弧,交边AD于点E．若AE•ED=，则矩形ABCD的面积为　5　．

【解答】解：如图，连接BE,则BE=BC．

设AB=3x，BC=5x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3x，AD=BC=5x,∠A=90°，
由勾股定理得:AE=4x，
则DE=5x﹣4x=x，
∵AE•ED=，
∴4x•x=，
解得：x=（负数舍去)，
则AB=3x=,BC=5x=，
∴矩形ABCD的面积是AB×BC=×=5，
故答案为:5．

18．(3分）（2014•苏州）如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合）,过点P作PB⊥l，垂足为B,连接PA．设PA=x，PB=y，则（x﹣y）的最大值是　2　．

【解答】解：如图,作直径AC，连接CP，

∴∠CPA=90°，
∵AB是切线,
∴CA⊥AB，
∵PB⊥l，
∴AC∥PB，
∴∠CAP=∠APB，
∴△APC∽△PBA，
∴,
∵PA=x,PB=y，半径为4，
∴=，
∴y=x2,
∴x﹣y=x﹣x2=﹣x2+x=﹣（x﹣4）2+2，
当x=4时，x﹣y有最大值是2，
故答案为:2．

三、解答题（共11小题，共76分）
19．（5分）（2014•苏州）计算:22+|﹣1｜﹣．
【解答】解：原式=4+1﹣2=3．

20．（5分)(2014•苏州)解不等式组:．
【解答】解:，
由①得：x＞3；由②得：x≤4,
则不等式组的解集为3＜x≤4．

21．（5分）（2015•东莞）先化简,再求值：÷（1+）,其中x=﹣1．
【解答】解:
=÷（+）
=÷
=×
=，
把，代入原式====．

22．（6分)（2014•苏州）解分式方程：+=3．
【解答】解：去分母得：x﹣2=3x﹣3，
解得:x=,
经检验x=是分式方程的解．

23．（6分）(2014•苏州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上,CF=CB，连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE,连接EF．
（1）求证：△BCD≌△FCE；
（2)若EF∥CD，求∠BDC的度数．

【解答】（1）证明：∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，
∴CD=CE，∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°﹣∠ACD=∠FCE，
在△BCD和△FCE中,
,
∴△BCD≌△FCE(SAS）．

（2）解：由(1）可知△BCD≌△FCE,
∴∠BDC=∠E，∠BCD=∠FCE，
∴∠DCE=∠DCA+∠FCE=∠DCA+∠BCD=∠ACB=90°，
∵EF∥CD，
∴∠E=180°﹣∠DCE=90°，
∴∠BDC=90°．

24．（7分）（2014•苏州）如图,已知函数y=﹣x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,与函数y=x的图象交于点M，点M的横坐标为2，在x轴上有一点P（a,0）(其中a＞2),过点P作x轴的垂线，分别交函数y=﹣x+b和y=x的图象于点C、D．
(1）求点A的坐标；
（2）若OB=CD，求a的值．

【解答】解：（1）∵点M在直线y=x的图象上，且点M的横坐标为2，
∴点M的坐标为（2，2），
把M（2，2)代入y=﹣x+b得﹣1+b=2,解得b=3，
∴一次函数的解析式为y=﹣x+3,
把y=0代入y=﹣x+3得﹣x+3=0,解得x=6，
∴A点坐标为（6，0）;

（2）把x=0代入y=﹣x+3得y=3,
∴B点坐标为（0,3），
∵CD=OB，
∴CD=3，
∵PC⊥x轴,
∴C点坐标为（a，﹣a+3）,D点坐标为（a，a）
∴a﹣(﹣a+3）=3，
∴a=4．

25．（7分)(2014•苏州)如图,用红、蓝两种颜色随机地对A、B、C三个区域分别进行涂色，每个区域必须涂色并且只能涂一种颜色，请用列举法(画树状图或列表）求A、C两个区域所涂颜色不相同的概率．

【解答】解：画树状图，如图所示:

所有等可能的情况8种，其中A、C两个区域所涂颜色不相同的有4种，
则P=．

26．(8分)（2014•苏州)如图,已知函数y=（x＞0）的图象经过点A、B，点A的坐标为（1，2），过点A作AC∥y轴，AC=1(点C位于点A的下方），过点C作CD∥x轴，与函数的图象交于点D，过点B作BE⊥CD，垂足E在线段CD上，连接OC、OD．
(1）求△OCD的面积；
（2)当BE=AC时,求CE的长．

【解答】解;（1）y=（x＞0）的图象经过点A（1，2），
∴k=2．
∵AC∥y轴，AC=1，
∴点C的坐标为（1,1）．
∵CD∥x轴,点D在函数图象上，
∴点D的坐标为（2,1）．
∴．

（2)∵BE=，
∴．
∵BE⊥CD，
点B的纵坐标=2﹣=，
由反比例函数y=，
点B的横坐标x=2÷=，
∴点B的横坐标是，纵坐标是．
∴CE=．

27．（8分）（2014•苏州）如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点，=，连接AB、AD、BD,弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE=AB,连接EC,F是EC的中点,连接BF．
（1)若⊙O的半径为3，∠DAB=120°，求劣弧的长；
（2）求证：BF=BD；
（3）设G是BD的中点，探索:在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG=PF？并说明PB与AE的位置关系．

【解答】(1）解：连接OB，OD,
∵∠DAB=120°，∴所对圆心角的度数为240°,
∴∠BOD=360°﹣240°=120°，
∵⊙O的半径为3，
∴劣弧的长为:×π×3=2π；

（2）证明：连接AC,
∵AB=BE，∴点B为AE的中点，
∵F是EC的中点，∴BF为△EAC的中位线,
∴BF=AC，
∵=，
∴+=+，
∴=，
∴BD=AC，
∴BF=BD；

（3）解：过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P,
∵BF为△EAC的中位线,
∴BF∥AC，
∴∠FBE=∠CAE，
∵=，
∴∠CAB=∠DBA，
∵由作法可知BP⊥AE，
∴∠GBP=∠FBP，
∵G为BD的中点,
∴BG=BD,
∴BG=BF,
在△PBG和△PBF中，
，
∴△PBG≌△PBF(SAS),
∴PG=PF．

28．（9分）（2014•苏州）如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1,l2重合，AB=4cm,AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动,⊙O的移动速度为3cm/s，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s)
（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为　105　°；
（2)如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置,此时点O1,A1，C1恰好在同一直线上,求圆心O移动的距离(即OO1的长);
（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm）,当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．

【解答】解:（1)∵l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，
∴∠OAD=45°，
∵AB=4cm，AD=4cm,
∴CD=4cm，
∴tan∠DAC===，
∴∠DAC=60°,
∴∠OAC的度数为：∠OAD+∠DAC=105°，
故答案为：105；

(2)如图位置二，当O1，A1，C1恰好在同一直线上时,设⊙O1与l1的切点为E，
连接O1E，可得O1E=2,O1E⊥l1，
在Rt△A1D1C1中，∵A1D1=4，C1D1=4，
∴tan∠C1A1D1=，∴∠C1A1D1=60°,
在Rt△A1O1E中，∠O1A1E=∠C1A1D1=60°，
∴A1E==，
∵A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，
∴t﹣2=，
∴t=+2,
∴OO1=3t=2+6；

（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，
如图位置一,此时⊙O移动到⊙O2的位置,矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置，
设⊙O2与直线l1，A2C2分别相切于点F,G，连接O2F，O2G，O2A2，
∴O2F⊥l1，O2G⊥A2C2，
由（2)得，∠C2A2D2=60°，∴∠GA2F=120°,
∴∠O2A2F=60°,
在Rt△A2O2F中,O2F=2，∴A2F=，
∵OO2=3t1，AF=AA2+A2F=4t1+,
∴4t1+﹣3t1=2，
∴t1=2﹣,
②当直线AC与⊙O第二次相切时,设移动时间为t2，
记第一次相切时为位置一，点O1，A1，C1共线时位置二，第二次相切时为位置三，
由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，
∴+2﹣（2﹣）=t2﹣（+2)，
解得：t2=2+2,
综上所述，当d＜2时，t的取值范围是：2﹣＜t＜2+2．

29．(10分）（2014•苏州）如图,二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常数,且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧）,与y轴交于C（0，﹣3)，点D在二次函数的图象上，CD∥AB,连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．
（1)用含m的代数式表示a;
（2）求证：为定值；
(3）设该二次函数图象的顶点为F,探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形?如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．

【解答】（1）解:将C（0，﹣3）代入二次函数y=a(x2﹣2mx﹣3m2），
则﹣3=a（0﹣0﹣3m2），
解得 a=．

（2）方法一：
证明：如图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N．

由a（x2﹣2mx﹣3m2）=0，
解得 x1=﹣m，x2=3m，
则 A（﹣m，0），B(3m，0）．
∵CD∥AB,
∴D点的纵坐标为﹣3，
又∵D点在抛物线上,
∴将D点纵坐标代入抛物线方程得D点的坐标为（2m,﹣3)．
∵AB平分∠DAE，
∴∠DAM=∠EAN,
∵∠DMA=∠ENA=90°，
∴△ADM∽△AEN．
∴==．
设E坐标为（x，），
∴=，
∴x=4m,
∴E（4m，5），
∵AM=AO+OM=m+2m=3m，AN=AO+ON=m+4m=5m,
∴==，即为定值．

方法二：
过点D、E分别作x轴的垂线,垂足为M、N，
∵a（x2﹣2mx﹣3m2）=0，
∴x1=﹣m,x2=3m,
则A（﹣m，0)，B（3m，0)，
∵CD∥AB,∴D点的纵坐标为﹣3,∴D(2m,﹣3）,
∵AB平分∠DAE,∴KAD+KAE=0,
∵A（﹣m,0）,D（2m，﹣3），
∴KAD==﹣，∴KAE=,
∴⇒x2﹣3mx﹣4m2=0，
∴x1=﹣m（舍），x2=4m，∴E（4m，5），
∵∠DAM=∠EAN=90°
∴△ADM∽△AEN,
∴,
∵DM=3，EN=5，
∴．

（3）解：如图2,记二次函数图象顶点为F,则F的坐标为（m，﹣4),过点F作FH⊥x轴于点H．
连接FC并延长，与x轴负半轴交于一点,此点即为所求的点G．

∵tan∠CGO=,tan∠FGH=，
∴=，
∴，
∵OC=3，HF=4，OH=m,
∴OG=3m．
∵GF===4，
AD===3，
∴=．
∵=，
∴AD：GF：AE=3：4：5,
∴以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时G点的横坐标为﹣3m．

参与本试卷答题和审题的老师有：2300680618;wdzyzlhx；caicl；dbz1018；sjzx；CJX；gsls；星期八;HJJ；hdq123；zjx111；wkd；sks;gbl210；wd1899；sd2011;SPIDER(排名不分先后)
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2016年7月19日
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