山西省2016年中考数学试题及解析.doc

(完整word)山西省2016年中考数学试题及解析
山西省2016年中考数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（2016·山西）的相反数是（ ）
A． B．—6 C．6 D．
答案:A
考点：相反数
解析: 的相反数是
2．(2016·山西）不等式组的解集是（ ）
A．x〉5 B．x<3 C．—5<x〈3 D．x<5
答案：C
考点：解一元一次不等式组
解析：解
由①得x＞ —5
由②得x＜3
所以不等式组的解集是—5＜x＜3

3．（2016·山西）以下问题不适合全面调查的是( )
A．调查某班学生每周课前预习的时间 B．调查某中学在职教师的身体健康状况
C．调查全国中小学生课外阅读情况 D．调查某篮球队员的身高
答案:C
考点：全面调查与抽样调查
解析：解：调查某班学生每周课前预习的时间适合全面调查；
调查某中学在职教师的身体健康状况适合全面调查;
调查全国中小学生课外阅读情况适合抽样调查，不适合全面调查；
调查某校篮球队员的身高适合全面调查

4．(2016·山西）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图,小正方体中的数字表示该位置小正方体的个数,则该几何体的左视图是（ ）

答案：A
考点：三视图
解析:从左面看第一列可看到3个小正方形，第二列有1个小正方形

5．（2016·山西)我国计划在2020年左右发射火星探测卫星．据科学研究，火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学计数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
考点:科学记数法
解析：5500万=5。5×107

6．（2016·山西)下列运算正确的是 （ ）
A． B． C． D．
答案：D
考点：实数的运算，幂的乘方，同底数幂的除法
解析:A．，故A错误
B．,故B错误
C．,故C错误．
D．

7．(2016·山西）甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg，甲搬运5000kg所用的时间与乙搬运8000kg所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg货物．设甲每小时搬运xkg货物,则可列方程为( ）
A． B．
C． D．
答案:B
考点：由实际问题抽象出分式方程
解析:解：设甲种机器人每小时搬运x千克,则乙种机器人每小时搬运（x+600）千克，由题意得：

8．(2016·山西）将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
考点:二次函数图象与几何变换
解析：解：因为y=x2—4x—4=(x—2)2-8,
所以抛物线y=x2—4x—4的顶点坐标为（2，-8），把点(2，—8）向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标为(-1，—3），所以平移后的抛物线的函数表达式为y=(x+1）2—3

9．(2016·山西）如图,在ABCD中,AB为的直径，与DC相切于点E，与AD相交于点F， 已知AB=12，，则的长为（ )
A． B． C． D．
答案：C
考点：切线的性质；平行四边形的性质；弧长的计算
解析：解：如图连接OE、OF，
∵CD是⊙O的切线,
∴OE⊥CD，
∴∠OED=90°,
∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=60°,
∴∠A=∠C=60°，∠D=120°，
∵OA=OF,
∴∠A=∠OFA=60°，
∴∠DFO=120°，
∴∠EOF=360°—∠D-∠DFO-∠DEO=30°,
的长=．

10．（2016·山西)宽与长的比是（约为0．618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD,分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线与点G;作,交AD的延长线于点H．则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
答案:D
考点:黄金分割;矩形的性质；正方形的性质
解析:解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1
在直角三角形DCF中，DF=
∴FG=
∴CG=—1
∴
∴矩形DCGH为黄金矩形

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分,共15分)
11．（2016·山西）如图是利用网格画出的太原市地铁1，2，3号线路部分规划示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示双塔西街点的坐标为（0,—1）,表示桃园路的点的坐标为（—1，0），则表示太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标是 ．
答案：（3,0）
考点：坐标确定位置
解析：解：由双塔西街点的坐标为（0，—1）与桃园路的点的坐标为（—1,0)得:平面直角坐标系，
可知：太原火车站的点的坐标是（3,0）

12．（2016·山西)已知点（m—1，)，(m-3，）是反比例函数图象上的两点,则 （填“〉”或“=”或“<”)
答案：＞
考点:反比例函数图象上点的坐标特征;反比例函数的性质
解析：解：∵在反比例函数(m＜0）中,k=m＜0，
∴该反比例函数在第二象限内y随x的增大而增大，
∵m-3＜m—1＜0，
∴y1＞y2
13．（2016·山西)如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有 个涂有阴影的小正方形（ 用含有n的代数式表示）．

答案：4n+1
考点：规律型：图形的变化类
解析：解：由图可得，第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为5，
第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为5×2-1=9，
第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为5×3—2=13,
…，
第n个图案涂有阴影的小正方形的个数为5n—（n—1）=4n+1．
故答案为：4n+1
14．（2016·山西)如图是一个能自由转动的正六边形转盘，这个转盘被三条分割线分成形状相同,面积相等的三部分，且分别标有“1”“2”“3”三个数字,指针的位置固定不动．让转盘自动转动两次,当指针指向的数都是奇数的概率为
答案:
考点：列表法与树状图法
解析：解:列表得如下：

1
2
3
1
（1，1）
(1，2)
(1，3）
2
(2，1)
（2，2）
(2，3）
3
（3，1）
(3,2）
（3,3)
∵由表可知共有9种等可能结果,其中两次指针指向的数都是奇数的有4种结果，
∴两次指针指向的数都是奇数的概率为
15．（2016·山西)如图,已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD=AB=4，连接AD,BE⊥AB，AE是的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则HG的长为
答案:
考点：勾股定理，相似，平行线的性质，角平分线
解析:解：如图（1）由勾股定理可得
DA=
由 AE是的平分线可知∠1=∠2，
由CD⊥AB,BE⊥AB，EH⊥DC可知四边形GEBC为矩
形,∴HE∥AB，∴∠2=∠3,
∴∠1=∠3，
故EH=HA，
设EH=HA=x
则GH=x—2,DH=
∵HE∥AC ∴△DGH∽△DCA
∴即
解得x= 故HG=EH-EG=—2=

三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．(2016·山西）(本题共2个小题，每小题5分，共10分)
（1)计算：
（2)先化简,在求值：，其中x=-2．
考点:实数的运算，负指数幂,零次幂，分式的化简求值
解析:（1）解：原式=9-5-4+1 =1
(2)解:原式=
=
=
当x=—2时,原式=
17．（2016·山西)（本题7分）解方程：
考点：解一元二次方程
解析:解:原方程可化为2（x—3）2=（x+3）（x—3）
2（x-3）2—（x+3）(x—3）=0
（x-3）[2（x-3）-(x+3）]=0
（x—3）(x—9)=0
∴x—3=0或x—9=0，
∴x1=3，x2=9

18．（2016·山西）（本题8分)每年5月的第二周为:“职业教育活动周"，今年我省展开了以“弘扬工匠精神，打造技能强国”为主题的系列活动，活动期间某职业中学组织全校师生并邀请学生家长和社区居民参加“职教体验观摩”活动，相关职业技术人员进行了现场演示，活动后该校随机抽取了部分学生进行调查：“你最感兴趣的一种职业技能是什么？”并对此进行了统计，绘制了统计图（均不完整）．
(1)补全条形统计图和扇形统计图；
（2）若该校共有1800名学生，请估计该校对“工业设计"最感兴趣的学生有多少人？
（3）要从这些被调查的 学生中随机抽取一人进 行访谈，那么正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率是

考点:条形统计图；用样本估计总体;扇形统计图；概率公式
解析:解：(1）调查的总人数是18÷9%=200（人），
则喜欢工业设计的人数是200—16—26—80-18=60（人）．
喜欢工业设计的所占的百分比是=30%；
喜欢机电维修的所占的百分比是=13%．
（2）估计该校对“工业设计"最感兴趣的学生数是：1800×30％=540（人）；
(3）正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率是0.13

19．(2016·山西）（本题7分）请阅读下列材料,并完成相应的任务:
阿基米德折弦定理
阿基米德（Archimedes，公元前287～公元212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al-Biruni（973年～1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al—Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦）,BC〉AB,M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点,即CD=AB+BD．
下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．
证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA,MB，MC和MG．
∵M是的中点，[来源：学科网ZXXK］
∴MA=MC
．．．

任务：(1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分;[来源:Zxxk.Com］
（2）填空:如图(3），已知等边△ABC内接于，AB=2，D为
上 一点， ，AE⊥BD与点E，则△BDC的长是 ．

考点：三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质
解析：(1）证明:如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA,MB，MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA=MC．
在△MBA和△MGC中
∵ BA＝GC
∠A＝∠C ，
MA＝MC
∴△MBA≌△MGC(SAS），
∴MB=MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD=GD，
∴DC=GC+GD=AB+BD；

（2）解：如图3，截取BF=CD，连接AF，AD,CD，
由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，
在△ABF和△ACD中
∵ AB＝AC
∠ABF＝∠ACD ，
BF＝DC
∴△ABF≌ACD（SAS），
∴AF=AD，
∵AE⊥BD，
∴FE=DE,则CD+DE=BE,
∵∠ABD=45°,
∴BE=，
则△BDC的周长是2+2．
故答案为:2+2

20．（2016·山西）(本题7分）我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货，且购买量在2000kg~5000kg(含2000kg和5000kg)的客户有两种
销售方案（客户只能选择其中一种方案）：
方案A：每千克5．8元，由基地免费送货．
方案B：每千克5元,客户需支付运费2000元．
（1）请分别写出按方案A，方案B购买这种苹果的应付款y（元）与购买量x（kg)之间的函数表达式；
（2）求购买量x在什么范围时，选用方案A比方案B付款少;
(3）某水果批发商计划用20000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案．

考点:一次函数的应用
解析：解:(1）方案A：函数表达式为y=5.8x；
方案B：函数表达式为y=5x+2000;
（2）由题意得：5。8x＜5x+2000，
解得:x＜2500,
则当购买量x的范围是2000≤x＜2500时，选用方案A比方案B付款少；
（3）他应选择方案B,理由为:
方案A：苹果数量为20000÷5。8≈3448（kg）；
方案B：苹果数量为（20000—2000）÷5=3600(kg)，
∵3600＞3448，
∴方案B买的苹果多．

21．（2016·山西）(本题10分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业，如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300cm，AB的倾斜角为，BE=CA=50cm,支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D，F，CD垂直于地面，于点E．两个底座地基高度相同（即点D，F到地面的垂直距离相同)，均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少cm(结果保留根号）

考点：解直角三角形的应用—坡度坡角问题
解析：解：过A作AG⊥CD于G，则∠CAG=30°，
在Rt△ACG中,CG=ACsin30°=50×=25,
∵GD=50—30=20,∴CD=CG+GD=25+20=45，
连接FD并延长与BA的延长线交于H，则∠H=30°，
在Rt△CDH中,CH==2CD=90，
∴EH=EC+CH=AB-BE—AC+CH=300-50—50+90=290,
在Rt△EFH中，EF=EH•tan30°=290×,
答:支撑角钢CD和EF的长度各是45cm，cm

22．（2016·山西）(本题12分）综合与实践［来源:学§科§网Z§X§X§K］
问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动,如图1,将一张菱形纸片ABCD（）沿对角线AC剪开，得到和．
操作发现
（1)将图1中的以A为旋转中心，逆时针方向旋转角，使 ，
得到如图2所示的，分别延长 BC和交于点E，则四边形的状是 ；……………（2分）
（2）创新小组将图1中的以A为
旋转中心，按逆时针方向旋转角，使,得到如图3所示的，连接DB，，得到四边形,发现它是矩形．请你证明这个结论；
实践探究
（3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC=13cm，AC=10cm，然后提出一个问题：将沿着射线DB方向平移acm，得到，连接，，使四边形恰好为正方形，求a的值．请你解答此问题;
（4)请你参照以上操作，将图1中的在同一平面内进行一次平移,得到，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．
考点：几何变换综合题
解析：解:（1）如图2，由题意可得：∠1=∠2，∠2=∠3，∠1=∠4，AC=AC′，
故AC′∥EC，AC∥C′E,
则四边形ACEC′是平行四边形,
故四边形ACEC′的形状是菱形；
故答案为：菱形;

（2)证明：如图3，作AE⊥CC′于点E，
由旋转得:AC′=AC，
则∠CAE=∠C′AE=α=∠BAC，
∵四边形ABCD是菱形,
∴BA=BC,
∴∠BCA=∠BAC，
∴∠CAE=∠BCA，
∴AE∥BC，同理可得：AE∥DC′，
∴BC∥DC′，则∠BCC′=90°,
又∵BC=DC′,
∴四边形BCC′D是平行四边形，
∵∠BCC′=90°，
∴四边形BCC′D是矩形；

（3）如图3,过点B作BF⊥AC，垂足为F，
∵BA=BC，
∴CF=AF=AC=×10=5，
在Rt△BCF中，BF==12，
在△ACE和△CBF中,
∵∠CAE=∠BCF,∠CEA=∠BFC=90°，
∴△ACE∽△CBF，
∴,即，
解得:EC=，
∵AC=AC′，AE⊥CC′，
∴CC′=2CE=2×，
当四边形BCC′D′恰好为正方形时，分两种情况：
①点C″在边C′C上,a=C′C-13=，
②点C″在C′C的延长线上，a=C′C+13=，
综上所述：a的值为:或；

（4)将△ACD沿着射线CA方向平移，平移距离为AC的长度，
得到△A′C′D′，连接A′B，D′C,
结论：∵BC=A′D′，BC∥A′D′，
∴四边形A′BCD′是平行四边形．

23。如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE,已知点A,D的坐标分别为(－2，0），(6，－8)．
（1） 求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；
（2） 试探究抛物线上是否存在点F，使≌，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3） 若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0，m)，直线PB与直线l交于点Q．试探究：当m为何值时，是等腰三角形．
考点：二次函数综合题
解析:解：（1）∵抛物线y=ax2+bx-8经过点A（—2，0),D（6，-8），
解得，
抛物线的函数表达式为，
，
抛物线的对称轴为直线x=3．
又抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为(－2，0）,
点B的坐标为（8，0），
设直线l的函数表达式为y=kx．
∵经过点D(6，-8），
∴6k=-8，
∴，
∴直线l的解析式为,
∵点E为直线l与抛物线的交点，
∴点E的横坐标为3，纵坐标为×3=—4,
∴点E坐标（3,-4）．
(2）抛物线上存在点F使得△FOE≌△FCE，
此时点F纵坐标为-4，
∴x2-3x-8=—4，
∴x2-6x-8=0，
x=3±，
∴点F坐标（3+，—4)或（3-，—4）．
（3）①如图1中，当OP=OQ时，△OPQ是等腰三角形．

∵点E坐标(3，—4），
∴OE==5，过点E作直线ME∥PB,交y轴于点M，交x轴于点H．则,
∴OM=OE=5，
∴点M坐标（0，—5)．
设直线ME的解析式为y=k1x—5，
∴3k1-5=-4，
∴k1=,
∴直线ME解析式为y=x—5，
令y=0，得x—5=0，解得x=15，
∴点H坐标（15，0），
∵MH∥PB，
∴,即，
∴m=．

②如图2中，当QO=QP时，△POQ是等腰三角形．

∵当x=0时，y=x2—3x-8=—8，
∴点C坐标（0，—8），
∴CE==5,
∴OE=CE，
∴∠1=∠2，
∵QO=QP,
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴CE∥PB，
设直线CE交x轴于N，解析式为y=k2x-8，
∴3k2-8=-4，
∴k2=,
∴直线CE解析式为y=x-8，
令y=0，得x-8=0，
∴x=6，
∴点N坐标（6，0），
∵CN∥PB，
∴，
∴,
∴m=．
综上所述，当m=或时，△OPQ是等腰三角形．