2018年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷.doc
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2018年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷 一.选择题(将正确选项填在相应的位置上,每小题3分,满分36分) 1.(3分)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )个. A.0 B.1 C.2 D.3 2.(3分)下列运算正确的是( ) A.2a﹣3•a4=2a﹣12 B.(﹣3a2)3=﹣9a6 C.a2÷a×=a2 D.a•a3+a2•a2=2a4 3.(3分)由5个完全相同的小长方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示,则这个几何体的俯视图是( ) A. B. C. D. 4.(3分)在函数y=中,自变量x的取值范围是( ) A.x≤﹣3 B.x≥﹣3 C.x<﹣3 D.x>﹣3 5.(3分)一组数据4,2,x,3,9的平均数为4,则这组数据的众数和中位数分别是( ) A.3,2 B.2,2 C.2,3 D.2,4 6.(3分)如图,在长为15,宽为12的矩形中,有形状、大小完全相同的5个小矩形,则图中阴影部分的面积为( ) A.35 B.45 C.55 D.65 7.(3分)如图,△ABC内接于⊙O,若sin∠BAC=,BC=2,则⊙O的半径为( ) A.3 B.6 C.4 D.2 8.(3分)如图,△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,﹣1),B(2,﹣2),C(4,﹣1),将△ABC绕着原点O旋转75°,得到△A1B1C1,则点B1的坐标为( ) A.(,)或(﹣,﹣) B.(,)或(﹣,﹣) C.(﹣,﹣)或(,) D.(﹣,﹣)或(,) 9.(3分)将抛物线y=x2+2x+3向下平移3个单位长度后,所得到的抛物线与直线y=3的交点坐标是( ) A.(0,3)或(﹣2,3) B.(﹣3,0)或(1,0) C.(3,3)或(﹣1,3) D.(﹣3,3)或(1,3) 10.(3分)如图,E为矩形ABCD的边AB上一点,将矩形沿CE折叠,使点B恰好落在ED上的点F处,若BE=1,BC=3,则CD的长为( ) A.6 B.5 C.4 D.3 11.(3分)如图,直线y=kx﹣3(k≠0)与坐标轴分别交于点C,B,与双曲线y=﹣(x<0)交于点A(m,1),则AB的长是( ) A.2 B. C.2 D. 12.(3分)如图,正方形ABCD中,E为CD的中点,AE的垂直平分线分别交AD,BC及AB的延长线于点F,G,H,连接HE,HC,OD,连接CO并延长交AD于点M.则下列结论中: ①FG=2AO;②OD∥HE;③=;④2OE2=AH•DE;⑤GO+BH=HC 正确结论的个数有( ) A.2 B.3 C.4 D.5 二.填空题(将正确的答案填在相应的横线上,每小题3分,满分24分) 13.(3分)从党的“十八大”到“十九大”经历43800小时,我国的“天宫、蛟龙、天眼、悟空、墨子、大飞机”等各项科技创新成果“井喷”式发展,这些记录下了党的极不平凡的壮阔进程,请将数43800用科学记数法表示为 14.(3分)如图,AC=BC,请你添加一对边或一对角相等的条件,使AD=BE.你所添加的条件是 . 15.(3分)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,一枚硬币正面向上,一枚硬币反面向上的概率是 . 16.(3分)一列数1,4,7,10,13,……按此规律排列,第n个数是 17.(3分)小明按标价的八折购买了一双鞋,比按标价购买节省了40元,这双鞋的实际售价为 元. 18.(3分)用一个圆心角为240°,半径为3的扇形作一个圆锥的侧面,这个圆锥的底面圆的半径为 . 19.(3分)矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点M在对角线AC上,且AM:MC=2:3,过点M作EF⊥AC交AD于点E,交BC于点F.在AC上取一点P,使∠MEP=∠EAC,则AP的长为 . 20.(3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,下列结论中: ①abc<0;②9a﹣3b+c<0;③b2﹣4ac>0;④a>b, 正确的结论是 (只填序号) 三.解答题(满分60分) 21.(4分)先化简,再求值:•﹣,其中x=2. 22.(4分)如图,在⊙O中,=2,AD⊥OC于D.求证:AB=2AD. 23.(6分)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(﹣1,0),B(3,0)两点,交y轴于点C,点D为抛物线的顶点,连接BD,点H为BD的中点.请解答下列问题: (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标; (2)在y轴上找一点P,使PD+PH的值最小,则PD+PH的最小值为 . (注:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=﹣,顶点坐标为(﹣,) 24.(6分)在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=3,BC=4,CD=1.以AD为腰作等腰△ADE,使∠ADE=90°,过点E作EF⊥DC交直线CD于点F.请画出图形,并直接写出AF的长. 25.(6分)某校在一次社会实践活动中,组织学生参观了虎园、烈士陵园、博物馆和植物园,为了解本次社会实践活动的效果,学校随机抽取了部分学生,对“最喜欢的景点”进行了问卷调查,并根据统计结果绘制了如下不完整的统计图.其中最喜欢烈士陵园的学生人数与最喜欢博物馆的学生人数之比为2:1,请结合统计图解答下列问题: (1)本次活动抽查了 名学生; (2)请补全条形统计图; (3)在扇形统计图中,最喜欢植物园的学生人数所对应扇形的圆心角是 度; (4)该校此次参加社会实践活动的学生有720人,请求出最喜欢烈士陵园的人数约有多少人? 26.(8分)在一条笔直的公路上依次有A,C,B三地,甲、乙两人同时出发,甲从A地骑自行车去B地,途经C地休息1分钟,继续按原速骑行至B地,甲到达B地后,立即按原路原速返回A地;乙步行从B地前往A地.甲、乙两人距A地的路程y(米)与时间x(分)之间的函数关系如图所示,请结合图象解答下列问题: (1)请写出甲的骑行速度为 米/分,点M的坐标为 ; (2)求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式(不需要写出自变量的取值范围); (3)请直接写出两人出发后,在甲返回A地之前,经过多长时间两人距C地的路程相等. 27.(8分)在等腰△ABC中,∠B=90°,AM是△ABC的角平分线,过点M作MN⊥AC于点N,∠EMF=135°.将∠EMF绕点M旋转,使∠EMF的两边交直线AB于点E,交直线AC于点F,请解答下列问题: (1)当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时,求证:BE+CF=BM; (2)当∠EMF绕点M旋转到如图②,图③的位置时,请分别写出线段BE,CF,BM之间的数量关系,不需要证明; (3)在(1)和(2)的条件下,tan∠BEM=,AN=+1,则BM= ,CF= . 28.(9分)某书店现有资金7700元,计划全部用于购进甲、乙、丙三种图书共20套,其中甲种图书每套500元,乙种图书每套400元,丙种图书每套250元.书店将甲、乙、丙三种图书的售价分别定为每套550元,430元,310元.设书店购进甲种图书x套,乙种图书y套,请解答下列问题: (1)请求出y与x的函数关系式(不需要写出自变量的取值范围); (2)若书店购进甲、乙两种图书均不少于1套,则该书店有几种进货方案? (3)在(1)和(2)的条件下,根据市场调查,书店决定将三种图书的售价作如下调整:甲种图书的售价不变,乙种图书的售价上调a(a为正整数)元,丙种图书的售价下调a元,这样三种图书全部售出后,所获得的利润比(2)中某方案的利润多出20元,请直接写出书店是按哪种方案进的货及a的值. 29.(9分)菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示,对角线AC与BD的交点E恰好在y轴上,过点D和BC的中点H的直线交AC于点F,线段DE,CD的长是方程x2﹣9x+18=0的两根,请解答下列问题: (1)求点D的坐标; (2)若反比例函数y=(k≠0)的图象经过点H,则k= ; (3)点Q在直线BD上,在直线DH上是否存在点P,使以点F,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 2018年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一.选择题(将正确选项填在相应的位置上,每小题3分,满分36分) 1.(3分)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )个. A.0 B.1 C.2 D.3 【解答】解:等边三角形是轴对称图形,不是中心对称图形,正五边形,是轴对称图形,不是中心对称图形, 正方形和正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形, 故选:C. 2.(3分)下列运算正确的是( ) A.2a﹣3•a4=2a﹣12 B.(﹣3a2)3=﹣9a6 C.a2÷a×=a2 D.a•a3+a2•a2=2a4 【解答】解:A、2a﹣3•a4=2a,故此选项错误; B、(﹣3a2)3=﹣27a6,故此选项错误; C、a2÷a×=1,故此选项错误; D、a•a3+a2•a2=2a4,正确. 故选:D. 3.(3分)由5个完全相同的小长方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示,则这个几何体的俯视图是( ) A. B. C. D. 【解答】解:结合主视图、左视图可知俯视图中右上角有2层,其余1层, 故选:A. 4.(3分)在函数y=中,自变量x的取值范围是( ) A.x≤﹣3 B.x≥﹣3 C.x<﹣3 D.x>﹣3 【解答】解:在函数y=中,x+3≥0, 解得:x≥﹣3, 故自变量x的取值范围是:x≥﹣3. 故选:B. 5.(3分)一组数据4,2,x,3,9的平均数为4,则这组数据的众数和中位数分别是( ) A.3,2 B.2,2 C.2,3 D.2,4 【解答】解:∵一组数据4,2,x,3,9的平均数为4, ∴(4+2+x+3+9)÷5=4, 解得,x=2, ∴这组数据按照从小到大排列是:2,2,3,4,9, ∴这组数据的众数是2,中位数是3, 故选:C. 6.(3分)如图,在长为15,宽为12的矩形中,有形状、大小完全相同的5个小矩形,则图中阴影部分的面积为( ) A.35 B.45 C.55 D.65 【解答】解:设小矩形的长为x,宽为y, 根据题意得:, 解得:, ∴S阴影=15×12﹣5xy=45. 故选:B. 7.(3分)如图,△ABC内接于⊙O,若sin∠BAC=,BC=2,则⊙O的半径为( ) A.3 B.6 C.4 D.2 【解答】解:如图:连接OB,OC.作OD⊥BC于D ∵OB=OC,OD⊥BC ∴CD=BC,∠COD=∠BOC 又∵∠BOC=2∠A,BC=2 ∴∠COD=∠A,CD= ∵sin∠BAC= ∴sin∠COD= ∴OC=3 故选:A. 8.(3分)如图,△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,﹣1),B(2,﹣2),C(4,﹣1),将△ABC绕着原点O旋转75°,得到△A1B1C1,则点B1的坐标为( ) A.(,)或(﹣,﹣) B.(,)或(﹣,﹣) C.(﹣,﹣)或(,) D.(﹣,﹣)或(,) 【解答】解:由点B坐标为(2,﹣2) 则OB=,且OB与x轴、y轴夹角为45° 当点B绕原点逆时针转动75°时, OB1与x轴正向夹角为30° 则B1到x轴、y轴距离分别为,,则点B1坐标为(,); 同理,当点B绕原点顺时针转动75°时, OB1与y轴负半轴夹角为30°, 则B1到x轴、y轴距离分别为,,则点B1坐标为(﹣,﹣); 故选:C. 9.(3分)将抛物线y=x2+2x+3向下平移3个单位长度后,所得到的抛物线与直线y=3的交点坐标是( ) A.(0,3)或(﹣2,3) B.(﹣3,0)或(1,0) C.(3,3)或(﹣1,3) D.(﹣3,3)或(1,3) 【解答】解:将抛物线y=x2+2x+3向下平移3个单位长度后,所得到的抛物线为y=x2+2x 当该抛物线与直线y=3相交时, x2+2x=3 解得:x1=﹣3,x2=1 则交点坐标为:(﹣3,3)(1,3) 故选:D. 10.(3分)如图,E为矩形ABCD的边AB上一点,将矩形沿CE折叠,使点B恰好落在ED上的点F处,若BE=1,BC=3,则CD的长为( ) A.6 B.5 C.4 D.3 【解答】解:设CD=x,则AE=x﹣1, 由折叠得:CF=BC=3, ∵四边形ABCD是矩形, ∴AD=BC=3,∠A=90°,AB∥CD, ∴∠AED=∠CDF, ∵∠A=∠CFD=90°,AD=CF=3, ∴△ADE≌△FCD, ∴ED=CD=x, Rt△AED中,AE2+AD2=ED2, (x﹣1)2+32=x2, x=5, ∴CD=5, 故选:B. 11.(3分)如图,直线y=kx﹣3(k≠0)与坐标轴分别交于点C,B,与双曲线y=﹣(x<0)交于点A(m,1),则AB的长是( ) A.2 B. C.2 D. 【解答】解:如图,过点A作AD⊥y轴于点D, ∵点A(m,1)在y=﹣上, ∴﹣=1, 解得:m=﹣2,即A(﹣2,1), 则AD=2、OD=1, 由y=kx﹣3可得B(0,﹣3),即BO=3, ∴BD=4, 则AB===2, 故选:A. 12.(3分)如图,正方形ABCD中,E为CD的中点,AE的垂直平分线分别交AD,BC及AB的延长线于点F,G,H,连接HE,HC,OD,连接CO并延长交AD于点M.则下列结论中: ①FG=2AO;②OD∥HE;③=;④2OE2=AH•DE;⑤GO+BH=HC 正确结论的个数有( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【解答】解:①如图,过G作GK⊥AD于K, ∴∠GKF=90°, ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠ADE=90°,AD=AB=GK, ∴∠ADE=∠GKF, ∵AE⊥FH, ∴∠AOF=∠OAF+∠AFO=90°, ∵∠OAF+∠AED=90°, ∴∠AFO=∠AED, ∴△ADE≌△GKF, ∴FG=AE, ∵FH是AE的中垂线, ∴AE=2AO, ∴FG=2AO, 故①正确; ②∵FH是AE的中垂线, ∴AH=EH, ∴∠HAE=∠HEA, ∵AB∥CD, ∴∠HAE=∠AED, Rt△ADE中,∵O是AE的中点, ∴OD=AE=OE, ∴∠ODE=∠AED, ∴∠HEA=∠AED=∠ODE, 当∠DOE=∠HEA时,OD∥HE, 但AE>AD,即AE>CD, ∴OE>DE,即∠DOE≠∠HEA, ∴OD与HE不平行, 故②不正确; ③设正方形ABCD的边长为2x,则AD=AB=2x,DE=EC=x, ∴AE=x,AO=, 易得△ADE∽△HOA, ∴, ∴, ∴HO=x, Rt△AHO中,由勾股定理得:AH==, ∴BH=AH﹣AB=﹣2x=, ∴=, 延长CM、BA交于R, ∵RA∥CE, ∴∠ARO=∠ECO, ∵AO=EO,∠ROA=∠COE, ∴△ARO≌△ECO, ∴AR=CE, ∵AR∥CD, ∴, ∴, ∴, 故③正确; ④由①知:∠HAE=∠AEH=∠OED=∠ODE, ∴△HAE∽△ODE, ∴, ∵AE=2OE,OD=OE, ∴OE•2OE=AH•DE, ∴2OE2=AH•DE, 故④正确; ⑤由③知:HC==x, ∵AE=2AO=OH=x, tan∠EAD=, ∵AO=, ∴OF=x, ∵FG=AE=x, ∴OG=x﹣=x, ∴OG+BH=x+x, ∴OG+BH≠HC, 故⑤不正确; 本题正确的有;①③④,3个, 故选:B. 二.填空题(将正确的答案填在相应的横线上,每小题3分,满分24分) 13.(3分)从党的“十八大”到“十九大”经历43800小时,我国的“天宫、蛟龙、天眼、悟空、墨子、大飞机”等各项科技创新成果“井喷”式发展,这些记录下了党的极不平凡的壮阔进程,请将数43800用科学记数法表示为 4.38×104 【解答】解:将43800用科学记数法表示为:4.38×104. 故答案为:4.38×104. 14.(3分)如图,AC=BC,请你添加一对边或一对角相等的条件,使AD=BE.你所添加的条件是 ∠A=∠B或∠ADC=∠BEC或CE=CD等 . 【解答】解:因为AC=BC,∠C=∠C,所以添加∠A=∠B或∠ADC=∠BEC或CE=CD, 可得△ADC与△BEC全等,利用全等三角形的性质得出AD=BE, 故答案为:∠A=∠B或∠ADC=∠BEC或CE=CD. 15.(3分)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,一枚硬币正面向上,一枚硬币反面向上的概率是 . 【解答】解:画树形图得: 由树形图可知共4种情况,一枚硬币正面向上,一枚硬币反面向上的情况数有2种,所以概率是=. 故答案是. 16.(3分)一列数1,4,7,10,13,……按此规律排列,第n个数是 3n﹣2 【解答】解:通过观察得出:依次为1,4,7,…,的一列数是首项为1,公差为3的等差数列, 所以第n个数为:1+(n﹣1)×3=3n﹣2, 故答案为:3n﹣2 17.(3分)小明按标价的八折购买了一双鞋,比按标价购买节省了40元,这双鞋的实际售价为 160 元. 【解答】解:设这双鞋的标价为x元, 根据题意,得0.8x=x﹣40 x=200.200﹣40=160(元) 故答案是:160. 18.(3分)用一个圆心角为240°,半径为3的扇形作一个圆锥的侧面,这个圆锥的底面圆的半径为 2 . 【解答】解:设圆锥底面的半径为r, 根据题意得2πr=,解得r=2, 故答案为:2 19.(3分)矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点M在对角线AC上,且AM:MC=2:3,过点M作EF⊥AC交AD于点E,交BC于点F.在AC上取一点P,使∠MEP=∠EAC,则AP的长为 或 . 【解答】解:如图: ∵矩形ABCD ∴AB=CD=6,AD=BC=8 ∴AC=10 ∵AM:MC=2:3 ∴AM=4,MC=6 ∵tan∠DAC== ∴ ∴EM=3 若P在线段AM上, ∵∠EAC=∠PEM ∴tan∠PEM=tan∠DAC= ∴ ∴PM= ∴AP=AM﹣PM= 若P在线段MC上, ∵∠EAC=∠PEM ∴tan∠PEM=tan∠DAC= ∴ ∴PM= ∴AP=AM+PM= ∴AP的长为 20.(3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,下列结论中: ①abc<0;②9a﹣3b+c<0;③b2﹣4ac>0;④a>b, 正确的结论是 ②③④ (只填序号) 【解答】解:∵抛物线开口向下 ∴a<0, ∵对称轴为x=﹣1 ∴=﹣1 ∴b=2a<0, ∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴 ∴c>0 ∴abc>0故①错误 ∵由图象得x=﹣3时y<0 ∴9a﹣3b+c<0 故②正确, ∵图象与x轴有两个交点 ∴△=b2﹣4ac>0 故③正确 ∵a﹣b=a﹣2a=﹣a>0 ∴a>b故④正确 故答案为②③④ 三.解答题(满分60分) 21.(4分)先化简,再求值:•﹣,其中x=2. 【解答】解:原式=•﹣ =﹣ =﹣ =, 当x=2时,原式==. 22.(4分)如图,在⊙O中,=2,AD⊥OC于D.求证:AB=2AD. 【解答】证明:延长AD交⊙O于E, ∵OC⊥AD, ∴,AE=2AD, ∵, ∴, ∴AB=AE, ∴AB=2AD. 23.(6分)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(﹣1,0),B(3,0)两点,交y轴于点C,点D为抛物线的顶点,连接BD,点H为BD的中点.请解答下列问题: (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标; (2)在y轴上找一点P,使PD+PH的值最小,则PD+PH的最小值为 . (注:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=﹣,顶点坐标为(﹣,) 【解答】解:(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点A(﹣1,0),B(3,0) ∴ 解得 ∴所求函数的解析式为:y=﹣x2+2x+3 y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4 ∴顶点D(1,4) (2)∵B(3,0),D(1,4) ∴中点H的坐标为(2,2)其关于y轴的对称点H′坐标为(﹣2,2) 连接H′D与y轴交于点P,则PD+PH最小 且最小值为:= ∴答案: 24.(6分)在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=3,BC=4,CD=1.以AD为腰作等腰△ADE,使∠ADE=90°,过点E作EF⊥DC交直线CD于点F.请画出图形,并直接写出AF的长. 【解答】解:如图1中,作AN⊥CF于N,DM⊥AB于M. ∵∠B=∠C=∠DMB=90°, ∴四边形BCDM是矩形,易证四边形AMDN是矩形, ∴CD=BM=1,AM=AB﹣BM=2,DM=BC=AN=4,DN=AM=2, ∵∠AMD=∠DFE,∠ADM=∠FDE,DA=DE, ∴△ADM≌△EDF, ∴DF=DM=4, ∴FN=DF﹣DN=2, 在Rt△AFN中,AF==2. 如图2中,作AN⊥FD交FD的延长线于N. 易证AN=BC=4,△ADN≌△DEF, ∴DF=AN=4,DN=CN﹣CD=2, ∴FN=6, 在Rt△AFN中,AF==2. 25.(6分)某校在一次社会实践活动中,组织学生参观了虎园、烈士陵园、博物馆和植物园,为了解本次社会实践活动的效果,学校随机抽取了部分学生,对“最喜欢的景点”进行了问卷调查,并根据统计结果绘制了如下不完整的统计图.其中最喜欢烈士陵园的学生人数与最喜欢博物馆的学生人数之比为2:1,请结合统计图解答下列问题: (1)本次活动抽查了 60 名学生; (2)请补全条形统计图; (3)在扇形统计图中,最喜欢植物园的学生人数所对应扇形的圆心角是 36 度; (4)该校此次参加社会实践活动的学生有720人,请求出最喜欢烈士陵园的人数约有多少人? 【解答】解:(1)本次活动调查的学生人数为18÷30%=60人, 故答案为:60; (2)设最喜欢博物馆的学生人数为x,则最喜欢烈士陵园的学生人数为2x, 则x+2x=60﹣18﹣6, 解得:x=12, 即最喜欢博物馆的学生人数为12,则最喜欢烈士陵园的学生人数为24, 补全条形图如下: (3)在扇形统计图中,最喜欢植物园的学生人数所对应扇形的圆心角是360°×=36°, 故答案为:36; (4)最喜欢烈士陵园的人数约有720×=288人. 26.(8分)在一条笔直的公路上依次有A,C,B三地,甲、乙两人同时出发,甲从A地骑自行车去B地,途经C地休息1分钟,继续按原速骑行至B地,甲到达B地后,立即按原路原速返回A地;乙步行从B地前往A地.甲、乙两人距A地的路程y(米)与时间x(分)之间的函数关系如图所示,请结合图象解答下列问题: (1)请写出甲的骑行速度为 240 米/分,点M的坐标为 (6,1200) ; (2)求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式(不需要写出自变量的取值范围); (3)请直接写出两人出发后,在甲返回A地之前,经过多长时间两人距C地的路程相等. 【解答】解:(1)由题意得:甲的骑行速度为:=240(米/分),(1分) 240×(11﹣1)÷2=1200(米), 则点M的坐标为(6,1200),(2分) 故答案为:240,(6,1200); (2)设MN的解析式为:y=kx+b(k≠0), ∵y=kx+b(k≠0)的图象过点M(6,1200)、N(11,0), ∴,(3分) 解得,(4分) ∴直线MN的解析式为:y=﹣240x+2640;(5分) 即甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式:y=﹣240x+2640; (3)设甲返回A地之前,经过x分两人距C地的路程相等, 乙的速度:1200÷20=60(米/分), 如图1所示:∵AB=1200,AC=1020, ∴BC=1200﹣1020=180, 分5种情况: ①当0<x≤3时,1020﹣240x=180﹣60x, x=>3, 此种情况不符合题意; ②当3<x<﹣1时,即3<x<,甲、乙都在A、C之间, ∴1020﹣240x=60x﹣180, x=4, ③当<x≤6时,甲在B、C之间,乙在A、C之间, ∴240x﹣1020=60x﹣180, x=<, 此种情况不符合题意; ④当x=6时,甲到B地,距离C地180米, 乙距C地的距离:6×60﹣180=180(米), 即x=6时两人距C地的路程相等, ⑤当x>6时,甲在返回途中, 当甲在B、C之间时,180﹣[240(x﹣1)﹣1200]=60x﹣180,x=6, 此种情况不符合题意, 当甲在A、C之间时,240(x﹣1)﹣1200﹣180=60x﹣180, x=8, 综上所述,在甲返回A地之前,经过4分钟或6分钟或8分钟时两人距C地的路程相等.(8分) 27.(8分)在等腰△ABC中,∠B=90°,AM是△ABC的角平分线,过点M作MN⊥AC于点N,∠EMF=135°.将∠EMF绕点M旋转,使∠EMF的两边交直线AB于点E,交直线AC于点F,请解答下列问题: (1)当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时,求证:BE+CF=BM; (2)当∠EMF绕点M旋转到如图②,图③的位置时,请分别写出线段BE,CF,BM之间的数量关系,不需要证明; (3)在(1)和(2)的条件下,tan∠BEM=,AN=+1,则BM= 1 ,CF= 1+或1﹣ . 【解答】解:(1)证明:∵△ABC是等腰直角三角形, ∴∠BAC=∠C=45°, ∵AM是∠BAC的平分线,MN⊥AC, ∴BM=MN, 在四边形ABMN中,∠BMN=360°﹣90°﹣90°﹣45°=135°, ∵∠ENF=135°, ∴∠BME=∠NMF, ∴△BME≌△NMF, ∴BE=NF, ∵MN⊥AC,∠C=45°, ∴∠CMN=∠C=45°, ∴NC=NM=BM, ∵CN=CF+NF, ∴BE+CF=BM; (2)针对图2,同(1)的方法得,△BME≌△NMF, ∴BE=NF, ∵MN⊥AC,∠C=45°, ∴∠CMN=∠C=45°, ∴NC=NM=BM, ∵NC=NF﹣CF, ∴BE﹣CF=BM; 针对图3,同(1)的方法得,△BME≌△NMF, ∴BE=NF, ∵MN⊥AC,∠C=45°, ∴∠CMN=∠C=45°, ∴NC=NM=BM, ∵NC=CF﹣NF, ∴CF﹣BE=BM; (3)在Rt△ABM和Rt△ANM中,, ∴Rt△ABM≌Rt△ANM(HL), ∴AB=AN=+1, 在Rt△ABC中,AC=AB=+1, ∴AC=AB=2+, ∴CN=AC﹣AN=2+﹣(+1)=1, 在Rt△CMN中,CM=CN=, ∴BM=BC﹣CM=+1﹣=1, 在Rt△BME中,tan∠BEM===, ∴BE=, ∴①由(1)知,如图1,BE+CF=BM, ∴CF=BM﹣BE=1﹣ ②由(2)知,如图2,由tan∠BEM=, ∴此种情况不成立; ③由(2)知,如图3,CF﹣BE=BM, ∴CF=BM+BE=1+, 故答案为1,1+或1﹣. 28.(9分)某书店现有资金7700元,计划全部用于购进甲、乙、丙三种图书共20套,其中甲种图书每套500元,乙种图书每套400元,丙种图书每套250元.书店将甲、乙、丙三种图书的售价分别定为每套550元,430元,310元.设书店购进甲种图书x套,乙种图书y套,请解答下列问题: (1)请求出y与x的函数关系式(不需要写出自变量的取值范围); (2)若书店购进甲、乙两种图书均不少于1套,则该书店有几种进货方案? (3)在(1)和(2)的条件下,根据市场调查,书店决定将三种图书的售价作如下调整:甲种图书的售价不变,乙种图书的售价上调a(a为正整数)元,丙种图书的售价下调a元,这样三种图书全部售出后,所获得的利润比(2)中某方案的利润多出20元,请直接写出书店是按哪种方案进的货及a的值. 【解答】解:(1)根据题意得购进丙种图书(20﹣x﹣y)套,则有500x+400y+250(20﹣x﹣y)=7700, 所以解析式为:y=﹣x+18; (2)根据题意得:, 解得:x, 又∵x≥1, ∴, 因为x,y,(20﹣x﹣y)为整数, ∴x=3,6,9, 即有三种购买方案:①甲、乙、丙三种图书分别为3套,13套,4套, ②甲、乙、丙三种图书分别为6套,8套,6套, ③甲、乙、丙三种图书分别为9套,3套,8套, (3)若按方案一:则有13a﹣4a=20,解得a=(不是正整数,不符合题意), 若按方案二:则有8a﹣6a=20,解得a=10(符合题意), 若按方案三:则有3a﹣8a=20,解得a=﹣4(不是正整数,不符合题意), 所以购买方案是:甲种图书6套,乙种图书8套,丙种图书6套,a=10. 29.(9分)菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示,对角线AC与BD的交点E恰好在y轴上,过点D和BC的中点H的直线交AC于点F,线段DE,CD的长是方程x2﹣9x+18=0的两根,请解答下列问题: (1)求点D的坐标; (2)若反比例函数y=(k≠0)的图象经过点H,则k= ; (3)点Q在直线BD上,在直线DH上是否存在点P,使以点F,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 【解答】解:(本题9分)(1)x2﹣9x+18=0, (x﹣3)(x﹣6)=0, x=3或6,(1分) ∵CD>DE, ∴CD=6,DE=3, ∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD,AE=EC==3, ∴∠DCA=30°,∠EDC=60°, Rt△DEM中,∠DEM=30°, ∴DM=DE=, ∵OM⊥AB, ∴S菱形ABCD=AC•BD=CD•OM, ∴=6OM,OM=3, ∴D(﹣,3);(4分) (2)∵OB=DM=,CM=6﹣=, ∴B(,0),C(,3), ∵H是BC的中点, ∴H(3,), ∴k=3×=; 故答案为:;(6分) (3)①∵DC=BC,∠DCB=60°, ∴△DCB是等边三角形, ∵H是BC的中点, ∴DH⊥BC, ∴当Q与B重合时,如图1,四边形CFQP是平行四边形, ∵FC=FB, ∴∠FCB=∠FBC=30°, ∴∠ABF=∠ABC﹣∠CBF=120°﹣30°=90°, ∴AB⊥BF,CP⊥AB, Rt△ABF中,∠FAB=30°,AB=6, ∴FB=2=CP, ∴P(,); ②如图2,∵四边形QPFC是平行四边形, ∴CQ∥PH, 由①知:PH⊥BC, ∴CQ⊥BC, Rt△QBC中,BC=6,∠QBC=60°, ∴∠BQC=30°, ∴CQ=6, 连接QA, ∵AE=EC,QE⊥AC, ∴QA=QC=6, ∴∠QAC=∠QCA=60°,∠CAB=30°, ∴∠QAB=90°, ∴Q(﹣,6), 由①知:F(,2), 由F到C的平移规律可得P到Q的平移规律,则P(﹣﹣3,6﹣),即(﹣,5); ③如图3,四边形CQFP是平行四边形, 同理知:Q(﹣,6),F(,2),C(,3), ∴P(,﹣); 综上所述,点P的坐标为:(,)或(﹣,5)或(,﹣).(9分) 第35页(共35页)- 配套讲稿:
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