北京四中2014届中考数学专练总复习分式方程的解法及应用知识讲解.doc

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分式方程的解法及应用（提高）
【学习目标】
1。 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．
2。 会列出分式方程解简单的应用问题．
【要点梳理】
【高清课堂 分式方程的解法及应用 知识要点】
要点一、分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程。
要点诠释：(1）分式方程的重要特征：①是等式;②方程里含有分母；③分母中含有未知数。
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数).分母中含有未知数的方程是分式方程,分母中不含有未知数的方程是整式方程。
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程。
要点二、分式方程的解法
解分式方程的基本思想:将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母。在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根。因为解分式方程时可能产生增根,所以解分式方程时必须验根。
解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母)；
（2）解这个整式方程,求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0,则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
要点三、解分式方程产生增根的原因
方程变形时,可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.
产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义,所以这个根是原分式方程的增根.
要点诠释：(1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程。如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程,这时求得的根就是原方程的增根.
(2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根,它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的。
要点四、分式方程的应用
分式方程的应用主要就是列方程解应用题.
列分式方程解应用题按下列步骤进行:
(1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；
（2）设未知数；
（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；
（4）解这个分式方程;
（5）验根,检验是否是增根；
（6）写出答案。
【典型例题】
类型一、判别分式方程
【高清课堂 分式方程的解法及应用 例1】
1、下列各式中,哪些是分式方程？哪些不是分式方程？为什么？
（1） （2）
（3) （4)
【答案与解析】
解：（1）虽然方程里含有分母,但是分母里没有未知数，所以不是分式方程；
（2）具备分式方程的三个特征，是分式方程；
（3)没有等号，所以不是方程，它是一个代数式；
(4）方程具备分式方程的三个特征,是分式方程．
特别提醒：(3)题是一个代数式，不是方程，容易判断错误；
【总结升华】整式方程与分式方程的区别在于分母里有没有未知数,有未知数的就是分式方程，没有未知数的就是整式方程．
类型二、解复杂分式方程的技巧
2、解方程：．
【答案与解析】
解:方程的左右两边分别通分，
得，
∴ ,
∴ ，
∴ ，或，
由，解得，
由，解得．
经检验：，是原方程的根.
【总结升华】若用常规方法，方程两边同乘，去分母后的整式方程的解很难求出来．注意方程左右两边的分式的分子、分母,可以采用先把方程的左右两边分别通分的方法来解．
举一反三:
【变式】解方程．
【答案】
解:移项得，
两边同时通分得，
即，
因为两个分式分子相同，分式值相等，则分式分母相等．
所以，
，
，
，
∴ ．
检验：当时,．
∴ 是原方程的根．
类型三、分式方程的增根
【高清课堂 分式方程的解法及应用 例3】
3、（1)若分式方程有增根,求值；
（2）若分式方程有增根，求的值．
【思路点拨】（1）若分式方程产生增根，则，即或,然后把代入由分式方程转化得的整式方程求出的值．（2）将分式方程转化成整式方程后,把代入解出的值.
【答案与解析】
解：（1）方程两边同乘，得．
∴ ．
∴ ．
由题意知增根为或，
∴ 或．
∴ 或．
（2）方程两边同乘,得．
∴ ．
∴ ．
∵ 增根为,
∴ ．
∴ ．
【总结升华】(1）在方程变形中,有时可能产生不适合原方程的根，这种根做作原方程的增根．在分式方程中，使最简公分母为零的根是原方程的增根；（2)这类问题的解法都是首先把它们化成整式方程，然后由条件中的增根,求得未知字母的值．
举一反三：
【变式】已知关于的方程无解，求的值．
【答案】
解：方程两边同乘约去分母,
得,即．
①∵ ，即时原方程无解,
∴ ，∴ ．
②∵ 当时，整式方程无解，
∴ 当时，原方程无解．
综上所述，当或时，原方程无解．
类型四、分式方程的应用
【高清课堂 分式方程的解法及应用 例3】
4、某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．
(1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米?
(2)如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种?请你帮助设计出来．
【思路点拨】（1）题中的等量关系是甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．（2)由工期不超过10天列出不等式组求出范围。
【答案与解析】
解：（1）设甲工程队每天能铺设米,则乙工程队每天能铺设米．
根据题意，得．解得．
经检验，是原分式方程的解且符合题意．
故甲、乙两工程队每天分别能铺设70米和50米．
（2)设分配给甲工程队米，则分配给乙工程队米．
由题意,得 解得500≤≤700．
方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米．
方案二：分配给甲工程队600米,分配给乙工程队400米．
方案三：分配给甲工程队700米，分配给乙工程队300米．
所以分配方案有3种．
【总结升华】本题主要考查列分式方程解应用题，考查学生分析和解决问题的能力.
举一反三：
【变式】一慢车和一快车沿相同路线从A地到B地，所行的路程与时间的函数图象如图所示，试根据图象，回答下列问题:

(1）慢车比快车早出发________h，快车追上慢车时行驶了________km,快车比慢车早________h到达B地；
(2）求慢车、快车的速度．
【答案】(1）2 276 4;
解：（2)设快车速度为 ，则慢车速度为
（因为快车跑完全程需12 h，慢车跑完全程需18 h）．
依题意，得,
去分母，得276×2＝276×3－4，所以,
经检验知是原方程的解，所以，
答：慢车、快车的速度分别为46 、69．