广东省深圳市福田区2021年中考数学二模试题.doc

广东省深圳市福田区2021年中考数学二模试题

广东省深圳市福田区2021年中考数学二模试题

年级：
姓名：

2021年广东省深圳市福田区中考数学二模试卷
一.选择题（共10小题）.
1．﹣2021的倒数是（　　）
A．﹣2021 B．﹣ C． D．2021
2．2月25日，在全国脱贫攻坚总结表彰大会上，一番振聋发聩的庄重宣言，让我们再次见证了“中国式奇迹”．2012年至2020年间，中国成功实现9899万农村贫困人口全部脱贫，其中9899万用科学记数法表示为（　　）
A．9899×104 B．0.9899×108 C．9.899×106 D．9.899×107
3．下列计算中正确的是（　　）
A．＝±3 B．+＝ C．÷＝3 D．2﹣＝2
4．某家书店对上季度该店中国古代四大名著的销售量统计如表：
书名
《西游记》
《水浒传》
《三国演义》
《红楼梦》
销售量/本
180
120
125
85
依据统计数据，为了更好地满足读者需求，该书店决定本季度购进中国古代四大名著时多购进一些《西游记》，你认为最影响该书店决策的统计量是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
5．不等式组的解集为（　　）
A．x＜﹣3 B．x≤2 C．﹣3＜x≤2 D．无解
6．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以点B，C为圆心，大于BC长为半径作弧，两弧相交于点M和N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若AB＝10，AC＝4，则△ACD的周长是（　　）

A．24 B．18 C．14 D．9
7．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝4．以BC的中点O为圆心的⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，则的长为（　　）

A． B．π C．2π D．4π
8．有一个模拟传染病传播的电子游戏模型：在一个方框中，先放入足够多的白球（模拟健康人），然后在框中同时放入若干个红球（模拟最初感染源）；程序设定，每经过一分钟，每个红球均恰好能使方框中R0个白球同时变成红球（R0为程序设定的常数）．若最初放入的白球数为400个，红球数为4个，从放入红球开始，经过2分钟后，红球总数变为了64个．则R0应满足的方程是（　　）
A．4（1+R0）＝64 B．4（1+R0）＝400
C．4（1+R0）2＝64 D．4（1+R0）2＝400
9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴是直线x＝1．下列结论：
①abc＜0；
②a+c＞b；
③4a+c＞0；
④a+b≤m（am+b）（m为实数）．
其中结论正确的个数为（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90，AC＝3，BC＝，把Rt△ABC沿着AB翻折得到Rt△ABD，过点B作BE⊥BC，交AD于点E，点F是线段BE上一点，且tan∠ADF＝．则下列结论：
①AE＝BE；
②△BED∽△ABC；
③BD2＝AD•DE；
④AF＝．
其中，正确的结论是（　　）

A．①④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
二.填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．因式分解：ax2﹣4a＝　 　．
12．在一个不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球6个，黑球4个，黄球n个，搅匀后随机摸出一个球恰好是黄球的概率是．则n＝　 　．
13．如图，小明在某天15：00时测量某树的影长时，日照的光线与地面的夹角∠ACB＝60°，当他在17：00时测量该树的影长时，日照的光线与地面的夹角∠ADB＝30°，若两次测得的影长之差CD长为6m，则树的高度为　 　m．

14．如图，点M是Rt△ABC斜边AB的中点，过点M作DM⊥CM，交AC于点D，若AD＝2，BC＝5，则CD＝　 　．

15．如图，函数y＝x与y＝（k＞0）的图象相交于A，B两点，P是反比例函数图象上任一点（不与A，B重合），连接PA，PB．对于△ABP，有如下性质：|∠PBA﹣∠PAB|恒为定值且等于90°．根据上述性质完成：若在图中，tan∠PAB＝，△PAB的面积S△PAB＝12，则k＝　 　．

三.解答题（本大题共7小题，其中第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题10分，共55分）
16．计算：2sin60°+（﹣）﹣2+（π﹣2021）0+|2﹣|．
17．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+1．
18．为了更好地回收、利用及处理垃圾，必需实行生活垃圾合理分类．我国目前将生活垃圾分为A：可回收垃圾；B：厨余垃圾；C：有害垃圾；D：其他垃圾，共四类．福田区某学校数学小组的同学在本区随机抽取m吨垃圾进行调查，并将调查结果制成了两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）m＝　 　，n＝　 　；
（2）根据以上信息直接补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为　 　度；
（4）根据抽样调查的结果，请你估计在福田区随机抽取的2000吨垃圾中约有多少吨可回收垃圾？
19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OB，过点B作BE⊥AC于点E．
（1）求证：▱ABCD是矩形；
（2）若AD＝4，cos∠ABE＝，求AC的长．

20．在抗击新冠肺炎疫情期间，某社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用．第一次分别购买酒精和消毒液若干瓶，已知酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花费了3500元；第二次又分别购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液，由于酒精和消毒液每瓶价格分别下降了30%和20%，只花费了2600元．
（1）求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？
（2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的2倍，现有购买资金2000元，则最多能购买消毒液多少瓶？
21．如图，已知在等腰△ABC中，AC＝BC，AB＝6，高CD＝9，⊙O为△ABC的外接圆，点M是上一动点（不与A，B重合），连接AM，BM．
（1）如图，当射线CM与射线AB交于点E时，求证：△AMC∽△EMB；
（2）求sin∠AMB的值；
（3）当点M在上运动时，求AM•BM的最大值．

22．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，顶点为P．
（1）抛物线的表达式是：　 　；顶点P的坐标为（　 　，　 　）．
（2）如图2，在抛物线的对称轴l上，有一条自由滑动的线段EF（点E在点F的上方），已知EF＝1，当|EC﹣BF|的值最大时，求四边形EFBC的面积．
（3）如图3，沿射线AC方向或其反方向平移抛物线y＝ax2+bx+4，平移过程中A，C两点的对应点分别记为M，N，抛物线顶点P的对应点记为点P'，在平移过程中，是否存在以A，M，B为顶点的三角形与△ABN相似，若存在，请求出此时平移后的抛物线顶点P'的坐标；若不存在，请简要说明理由．

参考答案
一.选择题（共10小题）.
1．﹣2021的倒数是（　　）
A．﹣2021 B．﹣ C． D．2021
解：﹣2021的倒数是．
故选：B．
2．2月25日，在全国脱贫攻坚总结表彰大会上，一番振聋发聩的庄重宣言，让我们再次见证了“中国式奇迹”．2012年至2020年间，中国成功实现9899万农村贫困人口全部脱贫，其中9899万用科学记数法表示为（　　）
A．9899×104 B．0.9899×108 C．9.899×106 D．9.899×107
解：9899万＝98990000＝9.899×107，
故选：D．
3．下列计算中正确的是（　　）
A．＝±3 B．+＝ C．÷＝3 D．2﹣＝2
解：A、原式＝3，所以A选项的计算错误；
B、与不能合并，所以B选项的计算错误；
C、原式＝＝3，所以C选项的计算正确；
D、原式＝，所以D选项的计算错误．
故选：C．
4．某家书店对上季度该店中国古代四大名著的销售量统计如表：
书名
《西游记》
《水浒传》
《三国演义》
《红楼梦》
销售量/本
180
120
125
85
依据统计数据，为了更好地满足读者需求，该书店决定本季度购进中国古代四大名著时多购进一些《西游记》，你认为最影响该书店决策的统计量是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故应最关心这组数据中的众数．
故选：B．
5．不等式组的解集为（　　）
A．x＜﹣3 B．x≤2 C．﹣3＜x≤2 D．无解
解：解不等式x﹣1＞2x+2，得：x＜﹣3，
解不等式2+5x≤3（6﹣x），得：x≤2，
则不等式组的解集为x＜﹣3．
故选：A．
6．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以点B，C为圆心，大于BC长为半径作弧，两弧相交于点M和N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若AB＝10，AC＝4，则△ACD的周长是（　　）

A．24 B．18 C．14 D．9
解：由作图可知，MN垂直平分线段BC，
∴CD＝DB，
∴△ADC的周长＝CD+DA+AC＝DB+DA+AC＝AB+AC＝10+4＝14，
故选：C．
7．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝4．以BC的中点O为圆心的⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，则的长为（　　）

A． B．π C．2π D．4π
解：连接OD、OE、OA，如图，
∵⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，
而∠A＝90°，OD＝OE，
∴四边形ADOE为正方形，
∴∠DOE＝90°，
∵O点为BC的中点，
∴OA＝BC＝×4＝2，
∴OD＝OA＝×2＝2，
∴的长＝＝π．
故选：B．

8．有一个模拟传染病传播的电子游戏模型：在一个方框中，先放入足够多的白球（模拟健康人），然后在框中同时放入若干个红球（模拟最初感染源）；程序设定，每经过一分钟，每个红球均恰好能使方框中R0个白球同时变成红球（R0为程序设定的常数）．若最初放入的白球数为400个，红球数为4个，从放入红球开始，经过2分钟后，红球总数变为了64个．则R0应满足的方程是（　　）
A．4（1+R0）＝64 B．4（1+R0）＝400
C．4（1+R0）2＝64 D．4（1+R0）2＝400
解：根据题意得：4R0+4+R0（4R0+4）＝64，
即：4（1+R0）2＝64；
故选：C．
9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴是直线x＝1．下列结论：
①abc＜0；
②a+c＞b；
③4a+c＞0；
④a+b≤m（am+b）（m为实数）．
其中结论正确的个数为（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解：∵函数开口方向向上，a＞0，
∵对称轴为x＝1，则﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∵与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①错；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，即a+c＞b，故②正确；
对称轴为x＝1，则﹣＝1，即b＝﹣2a，
由上知，a﹣b+c＞0，则a+2a+c＞0，即3a+c＞0，
∴4a+c＞a＞0，故③正确；
由图象可得，当x＝1时，函数取得最小值，
∴对任意m为实数，有am2+bm+c≥a+b+c，
∴am2+bm≥a+b，即a+b≤m（am+b），故④正确．
综上，正确的个数有三个．
故选：B．
10．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90，AC＝3，BC＝，把Rt△ABC沿着AB翻折得到Rt△ABD，过点B作BE⊥BC，交AD于点E，点F是线段BE上一点，且tan∠ADF＝．则下列结论：
①AE＝BE；
②△BED∽△ABC；
③BD2＝AD•DE；
④AF＝．
其中，正确的结论是（　　）

A．①④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
解：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，AC＝3，BC＝，
∴AB＝2，
∴∠ABC＝60°，∠BAC＝30°，
Rt△ABC沿着AB翻折得到Rt△ABD，
∴△ABC≌△ABD，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°，∠ABD＝∠ABC＝60°，∠ADB＝∠C＝90°，
AD＝AC＝3，BD＝BC＝．
∵BE⊥BC，∠C＝90°，
∴∠EBC＝90°，
∴∠EBC+∠C＝180°，
∴BE∥AC，
∴∠EBA＝∠BAC＝30°，
∴∠EBA＝∠EAB，
∴BE＝AE，即①正确；
由上可知，∠DBE＝30°，
∴∠DBE＝∠BAC，
又∵∠ADB＝∠C＝90°，
∴△BED∽△ABC，即②正确；
由②知，，
∴BD•BC＝AC•DE，
又由折叠可知，BD＝BC，AD＝AC，
∴BD2＝AD•DE，即③正确；
∵BD2＝AD•DE，
∴（）2＝3DE，
∴DE＝1，
过点F作FG⊥DE于点G，

∵tan∠ADF＝，
∴，
设FG＝，则DG＝2t，
又∵△BED∽△ABC，
∴∠DEB＝60°，
∴GE＝t，
∴2t+t＝1，解得t＝，
∴DG＝，AG＝3﹣＝，GF＝，
∴AF＝＝＝，故④正确．
综上，正确的结论是①②③④．
故选：D．
二.填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．因式分解：ax2﹣4a＝　a（x+2）（x﹣2）　．
解：ax2﹣4a
＝a（x2﹣4）
＝a（x﹣2）（x+2）．
故答案为：a（x﹣2）（x+2）．
12．在一个不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球6个，黑球4个，黄球n个，搅匀后随机摸出一个球恰好是黄球的概率是．则n＝　5　．
解：∵口袋中装有白球6个，黑球4个，黄球n个，∴球的总个数为6+4+n，
∵从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为，
∴＝，
解得，n＝5．
故答案为5．
13．如图，小明在某天15：00时测量某树的影长时，日照的光线与地面的夹角∠ACB＝60°，当他在17：00时测量该树的影长时，日照的光线与地面的夹角∠ADB＝30°，若两次测得的影长之差CD长为6m，则树的高度为　9　m．

解：∵tan∠ADB＝，
∴BD＝＝AB（m），
∵tan∠ACB＝，
∴BC＝＝AB（m），
∵CD＝BD﹣BC，
∴6＝AB﹣AB（m），
∴AB＝9（m），
故答案为9．
14．如图，点M是Rt△ABC斜边AB的中点，过点M作DM⊥CM，交AC于点D，若AD＝2，BC＝5，则CD＝　　．

解：延长CM，使CM＝MN，连接AN，

∵点M是Rt△ABC斜边AB的中点，
∴AM＝BM，
在△AMN和△BMC中，
，
∴△AMN≌△BMC（SAS），
∴BC＝AN＝5，∠NAM＝∠B，
∴AN∥BC，
∵∠BCA＝90°，
∴∠NAD＝90°，
∴DN＝＝＝，
∵DM⊥CM，CM＝MN，
∴CD＝DN＝．
故答案为：．
15．如图，函数y＝x与y＝（k＞0）的图象相交于A，B两点，P是反比例函数图象上任一点（不与A，B重合），连接PA，PB．对于△ABP，有如下性质：|∠PBA﹣∠PAB|恒为定值且等于90°．根据上述性质完成：若在图中，tan∠PAB＝，△PAB的面积S△PAB＝12，则k＝　　．

解：如图，过点P作PD⊥AB于点D，

∴∠BDP＝90°，
∴tan∠PAB＝＝，即AD＝2PD，
∵∠ABP＝∠BPD+∠BDP，且|∠PBA﹣∠PAB|＝90°，
∴∠PAB＝∠BPD，
∴tan∠BPD＝tan∠PAB＝＝，即PD＝2BD，
设BD＝m，则PD＝2m，AD＝4m，
∴AB＝AD﹣BD＝3m，
∴S△PAB＝＝12，即＝12，
解得m＝2，（m＝﹣2舍），
∴AB＝3m＝6，
联立，可得A（，），B（﹣，﹣），
∴（+）2+（+）2＝62，
整理得，4k+4k＝36，解得k＝．
故答案为：．
三.解答题（本大题共7小题，其中第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题10分，共55分）
16．计算：2sin60°+（﹣）﹣2+（π﹣2021）0+|2﹣|．
解：原式＝2×+9+1+2﹣
＝+9+1+2﹣
＝12．
17．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+1．
解：原式＝•
＝•
＝，
当x＝+1时，原式＝＝．
18．为了更好地回收、利用及处理垃圾，必需实行生活垃圾合理分类．我国目前将生活垃圾分为A：可回收垃圾；B：厨余垃圾；C：有害垃圾；D：其他垃圾，共四类．福田区某学校数学小组的同学在本区随机抽取m吨垃圾进行调查，并将调查结果制成了两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）m＝　100　，n＝　60　；
（2）根据以上信息直接补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为　108　度；
（4）根据抽样调查的结果，请你估计在福田区随机抽取的2000吨垃圾中约有多少吨可回收垃圾？
解：（1）1）m＝8÷8%＝100，
n%＝×100%＝60%，即n＝60．
故答案为：100，60；

（2）可回收垃圾物有：100﹣30﹣2﹣8＝60（吨），补全统计图如下：

（3）扇形统计图中，厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为：360°×＝108°；
故答案为：108；

（4）2000×＝1200（吨），
即该市2000吨垃圾中约有1200吨可回收物．
19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OB，过点B作BE⊥AC于点E．
（1）求证：▱ABCD是矩形；
（2）若AD＝4，cos∠ABE＝，求AC的长．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形；
（2）∵▱ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠BAC+∠ABE＝90°，
∴∠CAD＝∠ABE，
在Rt△ACD中，AD＝4，cos∠CAD＝cos∠ABE＝，
∴AC＝10．
20．在抗击新冠肺炎疫情期间，某社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用．第一次分别购买酒精和消毒液若干瓶，已知酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花费了3500元；第二次又分别购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液，由于酒精和消毒液每瓶价格分别下降了30%和20%，只花费了2600元．
（1）求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？
（2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的2倍，现有购买资金2000元，则最多能购买消毒液多少瓶？
解：（1）设每次购买酒精x瓶，消毒液y瓶，
依题意得：，
解得：．
答：每次购买酒精200瓶，消毒液300瓶．
（2）设购买消毒液m瓶，则购买酒精2m瓶，
依题意得：10×（1﹣30%）×2m+5×（1﹣20%）m≤2000，
解得：m≤．
又∵m为正整数，
∴m可以取的最大值111．
答：最多能购买消毒液111瓶．
21．如图，已知在等腰△ABC中，AC＝BC，AB＝6，高CD＝9，⊙O为△ABC的外接圆，点M是上一动点（不与A，B重合），连接AM，BM．
（1）如图，当射线CM与射线AB交于点E时，求证：△AMC∽△EMB；
（2）求sin∠AMB的值；
（3）当点M在上运动时，求AM•BM的最大值．

【解答】证明：（1）∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA，
∵四边形ABMC是⊙O内接四边形，
∴∠ACM+∠ABM＝180°，∠CAB+∠CMB＝180°，
又∵∠ABM+∠MBE＝180°，∠CMB+∠BME＝180°，
∴∠ACM＝∠MBE，∠CAB＝∠BME，
∵∠AMC＝∠ABC，
∴∠AMC＝∠ABC＝∠CAB＝∠BME，
∴△AMC∽△EMB；
（2）如图1，过点A作AH⊥BC于H，

∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴AD＝BD＝3，
∴BC＝＝＝3，
∵S△ABC＝AB×CD＝×BC×AH，
∴AH＝＝，
∵∠AMB＝∠ACB，
∴sin∠AMB＝sin∠ACB＝＝＝；
（3）如图2，过点B作BN⊥AM于N，

∵S△ABM＝×AM×NB＝×AM×BM×sin∠AMB，
∴S△ABM＝××AM×BM，
∴AM•BM＝•S△ABM，
∴当S△ABM的值最大时，AM•BM有最大值，
∴当点M与点C重合时，S△ABM的值最大，S△ABM的最大值＝×6×9＝27，
∴AM•BM的最大值＝×27＝90．
∴AM•BM的最大值为90．
22．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，顶点为P．
（1）抛物线的表达式是：　y＝﹣x2﹣3x+4　；顶点P的坐标为（　﹣　，　　）．
（2）如图2，在抛物线的对称轴l上，有一条自由滑动的线段EF（点E在点F的上方），已知EF＝1，当|EC﹣BF|的值最大时，求四边形EFBC的面积．
（3）如图3，沿射线AC方向或其反方向平移抛物线y＝ax2+bx+4，平移过程中A，C两点的对应点分别记为M，N，抛物线顶点P的对应点记为点P'，在平移过程中，是否存在以A，M，B为顶点的三角形与△ABN相似，若存在，请求出此时平移后的抛物线顶点P'的坐标；若不存在，请简要说明理由．
解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+4）（x﹣1）＝ax2+3a﹣4a，
故﹣4a＝4，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣3x+4．
顶点P（﹣，），
故答案为：y＝﹣x2﹣3x+4，﹣，．

（2）如图2中，

将点C向下平移1个单位，此时EF∥CD，EF＝CD．
∴四边形EFDC是平行四边形，
∴CE＝DF，
∴|EC﹣BF|≤|BF﹣DF|＝BD，
∴当B，D，F共线时，|EC﹣BF|的值最大，
∴S四边形EFBC＝S平行四边形EFDC+S△CDB＝×1+×1×1＝2．

（3）由A（﹣4，0），C（0，4），可得直线AC的解析式为y＝x+4，
设M（m，m+4），N（m+4，m+8），
∵AO＝4，OC＝4，
∴AC＝4，
∴sin∠CAO＝，
∴AM＝＝|m+4|，AN＝＝|m+8|，
①如图2中，当M，N两点都在x轴的上方或下方时，

若△ABM∽△ANB，可得AB2＝AM•AN，
∴52＝|m+4|•|m+8|，
整理得，2m2+24m+39＝0，
解得m＝﹣6+或m＝﹣6﹣，
∴M（﹣6+，﹣2+）或（﹣6﹣，﹣2﹣），
由点A（﹣4，0）向点N平移可得平移后的抛物线的顶点P坐标为（，）或（，）．
如图3中，当M，N在x轴的两侧时，

△ABN始终是钝角三角形，且∠BAM＞∠BNA，
此时△ABM与△ANB不相似．
综上所述，满足条件的抛物线的顶点P坐标为（，）或（，）．