北师大数学七年级上册第二章绝对值与相反数(基础).doc

绝对值与相反数（基础）
【学习目标】
1．借助数轴理解绝对值和相反数的概念；
2．知道|a|的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系；
3．会求一个数的绝对值和相反数，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；
4．通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用．
【要点梳理】
要点一、相反数
1．定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0．
要点诠释：
（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同．
（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉．
（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数．
（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可．
2．性质：
（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）．
（2）互为相反数的两数和为0．
要点二、多重符号的化简
多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 ．
要点诠释：
　（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5．
　（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3．
要点三、绝对值
1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．
要点诠释：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：

（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
2．性质：
（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．
（2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.
（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
要点四、有理数的大小比较
1．数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．
2．法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
两数同号
同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号
正数大于负数
－数为0
正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0
要点诠释：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小：
（3）判定两数的大小．
3． 作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．
4． 求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．
5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．
【典型例题】
类型一、相反数的概念
1．（2016•益阳）的相反数是（　　）
A．2016 B．﹣2016 C． D．
【思路点拨】解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同”，所以只要将原数的符号变为相反的符号，即可求出其相反数．
【答案】C
【解析】解：∵﹣与只有符号不同，
∴﹣的相反数是．
故选：C．
【总结升华】求一个数的相反数，只改变这个数的符号，其他部分都不变．
举一反三：
【变式】（2015•天水）若a与1互为相反数，则|a+1|等于（　　）
A.-1 B.0 C.1 D.2
【答案】B
类型二、多重符号的化简
2．（2014秋•本溪校级月考）化简：
（1）﹣{+[﹣（+3）]}；
（2）﹣{﹣[﹣（﹣|﹣3|）]}．
【答案与解析】
解：（1）原式=﹣{+[﹣3]}=﹣{﹣3}=3；
（2）原式=﹣{﹣[﹣（﹣3）]}=﹣{﹣[+3]}=﹣{﹣3}=3．
【总结升华】运用多重符号化简的规律解决这类问题较为简单．即数一下数字前面有多少个负号．若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负．
类型三、绝对值的概念
3．求下列各数的绝对值．
，-0.3，0，
【思路点拨】，-0.3，0，在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字就是各数的绝对值．还可以用绝对值法则来求解．
【答案与解析】
方法1：因为到原点距离是个单位长度，所以．
因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以|-0.3|＝0.3．
因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|＝0．
因为到原点的距离是个单位长度，所以．
方法2：因为，所以．
因为-0.3＜0，所以|-0.3|＝-(-0.3)＝0.3．
因为0的绝对值是它本身，所以|0|＝0
因为，所以
【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1)，一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2)，后种方法的具体做法为：首先判断这个数是正数、负数还是零．再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是零．从而求出该数的绝对值．
类型四、比较大小
4．比较下列有理数大小：
(1)-1和0； (2)-2和|-3| ；
(3)和 ； （4）______
【答案】
(1)0大于负数，即-1＜0；
(2)先化简|-3|＝3，负数小于正数，所以-2＜3，即-2＜|-3|；
(3)先化简，，，即．
(4)先化简，，这是两个负数比较大小：因为，，而，所以，即＜
【解析】(2)、(3)、（4）先化简，再运用有理数大小比较法则．
【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断．
举一反三：
【变式】比大小：
______ ； -|-3.2|______-(+3.2)； 0.0001______－1000；
______－1.384； －π______－3.14．
【答案】＞；=；＞；＞；＜
类型五、绝对值非负性的应用
5.已知|2-m|+|n-3|＝0，试求m-2n的值．
【思路点拨】由｜a｜≥0即绝对值的非负性可知，｜2-m｜≥0，｜n-3｜≥0，而它们的和为0．所以｜2-m｜＝0，|n-3|＝0．因此，2-m＝0，n-3＝0，所以m＝2，n＝3． 　　
【答案】
解：因为|2-m|+|n-3|＝0
且|2-m|≥0，|n-3|≥0
所以|2-m|＝0，|n-3|＝0
即2-m＝0，n-3＝0
所以m＝2，n＝3
故m-2n＝2-2×3＝-4．
【解析】由｜a｜≥0即绝对值的非负性可知，｜2-m｜≥0，｜n-3｜≥0，而它们的和为0．所以｜2-m｜＝0，|n-3|＝0．因此，2-m＝0，n-3＝0，所以m＝2，n＝3．
【总结升华】若几个数的绝对值的和为0，则每个数都等于0，即|a|+|b|+…+|m|＝0时，则a＝b＝…＝m＝0．
类型六、绝对值的实际应用
6．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．
【答案】 因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．
【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则足球的质量越好．这个偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大．
【总结升华】绝对值越小，越接近标准．
【变式】某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有0.002L的误差．现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表：
　　+0.0018
　　-0.0023
　　+0.0025
　　-0.0015
　　+0.0012
　　+0.0010
请用绝对值知识说明：
　　(1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)?
　　(2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量？
【答案】(1)绝对值不超过0.002的有4瓶，分别是检查结果为+0.0018，-0.0015，+0.0012，+0.0010的这四瓶
　　 　 (2)第6瓶净含量与规定的净含量相差最少，最接近规定的净含量．
【巩固练习】（资料联系QQ：1061139820）
一、选择题
1．（2015•铜仁市）2015的相反数是（　　）
A.2015 B.-2015 C.- D.
2．如果，那么两个数一定是（ ）．
A．都等于0 B．一正一负 C．互为相反数 D．互为倒数
3．下列判断中，正确的是( )．
A．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；
B．如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等；
C．任何数的绝对值都是正数；
D．如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数．
4．（2016•娄底）已知点M、N、P、Q在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是（　　）

A．M B．N C．P D．Q
5．下列各式中正确的是( )．
A． B． C．-3.7＜-5.2 D．0＞-2
6．若两个有理数a、b在数轴上表示的点如图所示，则下列各式中正确的是( )．

A．a＞b B．|a|＞|b| C．-a＜-b D．-a＜|b|
二、填空题
7．（2015•五通桥区一模）如果a与1互为相反数，则|a+2|等于________．
8． 化简下列各数：
(1)_ ；(2) ；(3)________．
9．已知|x|＝2，|y|＝5，且x＞y，则x＝________，y＝________．
10．数a在数轴上的位置如图所示．则|a-2|＝ ．

11．在数轴上，与-1表示的点距离为2的点对应的数是 ．
12．已知，则x的取值范围是________．
三、解答题
13．（2016春•新泰市期中）绝对值大于2而小于6的所有整数的和是多少？（列式计算）
14．化简下列各数，再用“<”连接．
(1)-(-54) (2)-(+3.6) (3) (4)
15．（2014秋•孟津县期中）已知：a是﹣（﹣5）的相反数，b比最小的正整数大4，c是最大的负整数．计算：3a+3b+c的值是多少？

【答案与解析】
一、选择题
1． 【答案】B
2． 【答案】C
【解析】若，则一定互为相反数；反之，若互为相反数，则
3．【答案】B
【解析】A错误，因为两个数的绝对值相等，这两个数可能互为相反数；B正确；C错误，因为0的绝对值是0，而0不是正数；D错误，因为一个数的绝对值是它本身的数除了正数还有0．
4．【答案】D
【解析】解：∵点Q到原点的距离最远，
∴点Q的绝对值最大．
故选：D．
5．【答案】D
【解析】0大于负数．
6．【答案】B
【解析】离原点越远的数的绝对值越大．
二、填空题
7.【答案】1
【解析】∵a与1互为相反数，∴a=﹣1，把a=﹣1代入|a+2|得，|a+2|=|﹣1+2|=1．
8．【答案】
【解析】多重符号的化简是由“-”的个数来定，若“-”个数为偶数个时，化简结果为正；若“-”个数为奇数个时，化简结果为负．
9．【答案】 ±2，-5
【解析】| x |＝2，则x=±2； | y |＝5， y=±5．但由于x＞y，所以x=±2，y=-5
10．【答案】a-2
【解析】由图可知：a≥2，所以|a-2|=a-2．
11．【答案】-3，1
12．【答案】
【解析】将看成整体，即，则，故，．
三、解答题
13.【解析】
解：根据题意画出数轴，如图所示：

根据图形得：绝对值大于2而小于6的所有整数有：﹣3，﹣4，﹣5，3，4，5，
这几个整数的和为：
（﹣3）+（﹣4）+（﹣5）+3+4+5
=[（﹣3）+3]+[（﹣4）+4]+[（﹣5）+5]
=0．
答：绝对值大于2而小于6的所有整数的和是0．
14．【解析】 (1)-(-54)＝54
(2)-(+3.6)＝-3.6
(3)
（4），
按从小到大排列可得：
15. 【解析】
解：∵a是﹣（﹣5）的相反数，
∴a=﹣5，
∵b比最小的正整数大4，
∴b=1+4=5，
∵c是最大的负整数，
∴c=﹣1，
∴3a+3b+c=3×（﹣5）+3×5﹣1，
=﹣15+15﹣1，
=﹣1．