湘教版数学七年级下册期末知识点复习+各章节培优题.doc

七年级下册总复习
第一章 二元一次方程
【知识点归纳】
1.含有 个未知数，并且 项的次数都是 的方程叫做二元一次方程。
2.把 个含有 未知数的二元一次方程（或者一个二元一次方程，一个一元一次方程）联立起来组成的方程组，叫做二元一次方程组。
3.在一个二元一次方程组中，使每一个方程 两边的值都 的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程组的解。
4.由二元一次方程组中的一个方程的某一个未知数用含有 的代数式表示，再代入另一方程，便得到一个一元一次方程。这种解方程组的方法叫做 消元法，简称代入法。
5.两个二元一次方程中同一未知数的系数 或 时，把这两个方程相减或相加，就能消去这个未知数，从而得到一个一元一次方程。这种解方程组的方法叫做 消元法，简称加减法。
6.列二元一次方程组解决实际问题的关键是寻找 。
【典型例题】
1．已知方程组，甲同学正确解得，而乙同学粗心，把c给看错了，解得，求abc的值．

2．已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．

3．先阅读，然后解方程组．
解方程组时，可由①得x﹣y=1③，然后再将③代入②得4×1﹣y=5，求得y=﹣1，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”．
请用这样的方法解方程组．

4．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组
解：由①﹣②得2x+2y=2即x+y=1③ ③×16得16x+16y=16④ ②﹣④得x=﹣1，从而可得y=2
∴方程组的解是．
（1） 请你仿上面的解法解方程组．

（2）猜测关于x、y的方程组的解是什么，并利用方程组的解加以验证．

C
D
投入（元/平方米）
13
16
收益（元/平方米）
18
26
5．南山植物园以其优美独特的自然植物景观，现已成为重庆市民春游踏青、赏四季花卉、观山城夜景的重要旅游景区．若该植物园中现有A、B两个园区，已知A园区为矩形，长为（x+y）米，宽为（x﹣y）米；B园区为正方形，边长为（x+3y）米．
（1）请用代数式表示A、B两园区的面积之和并化简；

（2）现根据实际需要对A园区进行整改，长增加（11x﹣y）米，宽减少（x﹣2y）米，整改后A区的长比宽多350米，且整改后两园区的周长之和为980米．若A园区全部种植C种花，B园区全部种植D种花，且C、D两种花投入的费用与吸引游客的收益如下表：求整改后A、B两园区旅游的净收益之和．（净收益=收益﹣投入）

6．江海化工厂计划生产甲、乙两种季节性产品，在春季中，甲种产品售价50千元/件，乙种产品售价30千元/件，生产这两种产品需要A、B两种原料，生产甲产品需要A种原料4吨/件，B种原料2吨/件，生产乙产品需要A种原料3吨/件，B种原料1吨/件，每个季节该厂能获得A种原料120吨，B种原料50吨．
（1）如何安排生产，才能恰好使两种原料全部用完？此时总产值是多少万元？

（2）在夏季中甲种产品售价上涨10%，而乙种产品下降10%，并且要求甲种产品比乙种产品多生产25件，问如何安排甲、乙两种产品，使总产值是1375千元，A，B两种原料还剩下多少吨？

7．小明从家到学校的路程为3.3千米，其中有一段上坡路，平路，和下坡路．如果保持上坡路每小时行3千米．平路每小时行4千米，下坡路每小时行5千米．那么小明从家到学校用一个小时，从学校到家要44分钟，求小明家到学校上坡路、平路、下坡路各是多少千米？

第二章 整式的乘法
【知识点归纳】
1.同底数幂相乘， 不变， 相加。an.am= (m,n是正整数)
2.幂的乘方， 不变， 相乘。(an)m= (m,n是正整数)
3.积的乘方，等于把 ，再把所得的幂 。 (ab)n= (n是正整数)
4.单项式与单项式相乘，把它们的 、 分别相乘。
5.单项式与多项式相乘，先用单项式 ，再把所得的积 ，a（m+n）=
6.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘 ，再把所得的积 ，
（a+b）（m+n）= 。
7.平方差公式，即两个数的 与这两个数的 的积等于这两个数的平方差（a+b）（a-b）=
8.完全平方公式，即两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加（或减）它们的积的 。
（a+b）2= ,（a-b）2= 。
9.公式的灵活变形：
（a+b）2+（a-b）2= ，（a+b）2-（a-b）2= ，a2+b2=（a+b）2- ，
a2+b2=（a-b）2+ ，（a+b）2=（a-b）2+ ，（a-b）2=（a+b）2- 。
【典型例题】
1． 已知2a•5b=2c•5d=10，求证：（a﹣1）（d﹣1）=（b﹣1）（c﹣1）．

2．（1）已知2x+2=a，用含a的代数式表示2x；

（2）已知x=3m+2，y=9m+3m，试用含x的代数式表示y．

3．我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2就能用图1或图2等图形的面积表示：
（1）请你写出图3所表示的一个等式：　 　．
（2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2．

11．归纳与猜想：
（1）计算：
①（x﹣1）（x+1）=　 　；②（x﹣1）（x2+x+1）=　 　；③（x﹣1）（x3+x2+x+1）=　 　；
（2）根据以上结果，写出下列各式的结果．
①（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=　 　；②（x﹣1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=　 　；
（3）（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x2+x+1）=　 　（n为整数）；
（4）若（x﹣1）•m=x15﹣1，则m=　 　；
（5）根据猜想的规律，计算：226+225+…+2+1．

12．认真阅读材料，然后回答问题：
我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出
多项式的展开式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，
（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，…
下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，
n取正整数时可以单独列成表中的形式：
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：
（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；

（2）推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）．

13．观察下列各式：
（x﹣1）÷（x﹣1）=1；（x2﹣1）÷（x﹣1）=x+1；（x3﹣1）÷（x﹣1）=x2+x+1；（x4﹣1）÷（x﹣1）=x3+x2+x+1；
（1）根据上面各式的规律可得（xn+1﹣1）÷（x﹣1）=　 　；
（2）利用（1）的结论求22015+22014+…+2+1的值；

（3）若1+x+x2+…+x2015=0，求x2016的值．

第三章 因式分解
【知识点归纳】
1.把一个多项式表示成若干个 的形式，称为把这个多项式因式分解。（因式分解三注意：1.乘积形式；2.恒等变形；3.分解彻底。）
2.几个多项式的 称为它们的公因式。
3.如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到 外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法。am+an=a（ ）
4.找公因式的方法：
找公因式的系数：取各项系数绝对值的 。
确定公因式的字母：取各项中的相同字母，相同字母的 的。
5.把乘法公式从右到左的使用，把某些形式的多项式进行因式分解的方法叫做公式法。
a2-b2= ，a2+2ab+b2= ，a2-2ab+b2= 。
【典型例题】
1．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴．解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．

2．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]=（1+x）2（1+x）=（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是　 　，共应用了　 　次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2004，则需应用上述方法　 　次，结果是　 　．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．

3．已知乘法公式：a5+b5=（a+b）（a4﹣a3b+a2b2﹣ab3+b4）；a5﹣b5=（a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）．利用或者不利用上述公式，分解因式：x8+x6+x4+x2+1．

4、先化简，再求值：，其中17．

5、已知能被整除，其商式为，求m、n的值。

6、已知a、b、c分别为△ABC的三边，你能判断的符号吗？

第四章 相交线与平行线
【知识点归纳】
1.同一平面内的两条直线有 、 、 （或平行）三种位置关系。
2.在同一平面内，没有 的两条直线叫做平行线。（记作a//b）
3.过直线外一点有 直线与这条直线平行。
4.平行于同一条直线的两条直线 (平行线的 性)。
5.有共同的 ，其中一角的两边分别是另一角的两边的 线，这样的两个角叫做对顶角。对顶角 。两条直线相交，有2对对顶角，n条直线相交于一点，有n（n-1）对对顶角。
6.同位角：在“三线八角”中，位置相同的角，在 ， 同一侧的角，是同位角。
7.内错角：在“三线八角”中，夹在两直线 ，位置 角，是内错角。
8.同旁内角：在“三线八角”中，夹在两直线 ，在第三条直线 的角，是同旁内角。
9.平移不改变图形的 和 ，不改变直线的 ，一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线 （或在同一直线上）。
10.平行线的性质：
（1）两直线平行， 角相等；（2）直线平行， 相等；（3）两直线平行， 角互补。
11.平行线的判定：
（1） 角相等，两直线平行；（2） 角相等，两直线平行；（3） 角互补，两直线平行。
12.两条直线相交所成的四个角中，有一个角是 角时，这两条直线叫做互相垂直，它们的交点叫做 。
13.在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线 。
14.在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于 。
15.在同一平面内，过一点 一条直线与已知直线垂直。
16.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 最短，从直线外一点到这条直线的 的长度，叫做点到直线的距离。
17.两条平行线的所有 都相等。两条平行线的公垂线段的 叫做两条平行线间的距离。
【典型例题】
1．如图，直线AE与CD相交于点B，射线BF平分∠ABC，射线BG在∠ABD内，
（1）若∠DBE的补角是它的余角的3倍，求∠DBE的度数；

（2）在（1）的件下，若∠DBG=∠ABG﹣33°，求∠ABG的度数；

（3）若∠FBG=100°，求∠ABG和∠DBG的度数的差．

2．数学思考：（1）如图1，已知AB∥CD，探究下面图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，并证明你的结论

推广延伸：（2）①如图2，已知AA1∥BA1，请你猜想∠A1，∠B1，∠B2，∠A2、∠A3的关系，并证明你的猜想；

②如图3，已知AA1∥BAn，直接写出∠A1，∠B1，∠B2，∠A2、…∠Bn-1、∠An的关系

拓展应用：（3）①如图4所示，若AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示x，应为
A.180°+α+β-γ    B.180°-α-γ+β　       C．β+γ-α　      D．α+β+γ　
②如图5，AB∥CD，且∠AFE=40°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，请你根据上述结论直接写出∠GHM的度数是

3．已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．

（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC．

（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．

（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？说明理由．

4．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．

（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系　 　；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；

5．已知：∠MON=132°，射线OC是∠MON内一条射线，且∠CON+∠MOC=59度．问OM与OC是否垂直，并说明理由．

6．一张白纸上有三条直线，已知直线a平行于直线b，直线b平行于直线c且直线a与直线b之间的距离为3厘米，直线b与直线c之间的距离是5厘米，那么直线a与直线c之间的距离是几厘米？

第五章 轴对称图形
【知识点归纳】
1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线 ，直线两侧的部分能够 ，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做它的 。等腰三角形有 条对称轴，等边三角形有 条对称轴，长方形有 条对称轴，正方形有 条对称轴，圆有 条对称轴。
2.轴对称变换不改变图形的 和 （含长度、角度、面积等）。
3.成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴 。
4.一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的 相等，两组对应点分别与旋转中心的连线所成的 相等。旋转不改变图形的 和 。
【典型例题】
1．如图所示，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P处开始依次关于点A，B，C作循环对称跳动，即第一次从点P跳到关于点A的对称点M处，第二次从点M跳到关于点B的对称点N处，第三次从点N跳到关于点C的对称点处，…如此下去．
（1）在图中标出点M，N的位置，并分别写出点M，N的坐标：　 　．
（2）依次连接M、N和第三次跳后的点，组成一个封闭的图形，并计算这个图形的面积；

（3）猜想一下，经过第2009次跳动之后，棋子将落到什么位置．

2．将两块全等的含30°角的直角三角板按图1的方式放置，已知∠BAC=∠B1A1C=30°，AB=2BC．
（1）固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，AB与A1C、A1B1分别交于点D、E，AC与A1B1交于点F．
①填空：当旋转角等于20°时，∠BCB1=　 　度；
②当旋转角等于多少度时，AB与A1B1垂直？请说明理由．

（2）将图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，使AB∥CB1，AB与A1C交于点D，试说明A1D=CD．

3．世界数学家大会于2002年在北京举办，大会的会标如图所示，它是由四个全等的直角三角形围成的“弦图”．请你按要求拼图和设计图案．①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上；②每个直角三角形按原来的尺寸画，且互不重叠；③五个图案互不全等，且不与图1全等．
（1）拼图游戏：应用你所学过的图形变换的知识，将四个直角三角形通过平移、旋转、翻折等方法，拼成以下方格纸中要求的四边形；

（2）设计图案：用四个直角三角形在下列方格纸中按要求设计另外不同的图案．

设计一个既是轴对称图形 设计一个是中心对称图形
又是中心对称图形的图案 但不是轴对称图形的图案．

第六章 数据的分析
【知识点归纳】
1.加权平均数：权数之和为 。
2.中位数：把一组数据按 顺序排列，如果数据的个数是 数，位于 的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是 数，位于中间的两个数的 数称为这组数据的中位数。
3.众数：一组数据中，出现 的数。
4.方差：一组数据中，各数据与其 之差的平方的 值。即S2= 。
【典型例题】
1．某地区初中毕业综合成绩按社会实践、考试成绩、体育测试三项分别占40%，40%，20%进行计算，毕业综合成绩达80分以上（包括80分）为“优秀毕业生”．

社会实践
考试成绩
体育测试
毕业综合成绩
小聪
72
98
60

小亮
90
75
95

（1）下表是朝阳中学小聪、小亮两位同学的毕业综合成绩统计表：（单位：分）
①计算并填写表中小聪、小亮两位同学的毕业综合成绩；
②回答小聪和小亮谁能达到“优秀毕业生”水平？

（2）小亮绘制了一个不完整的该校去年300名学生毕业综合成绩优秀、良好、合格、不合格人数的扇形统计图（如图），根据图中提供的信息回答：
①扇形统计图中“不合格率”是多少？

②表示“良好”的扇形圆心角是多少度？

2．某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评．A、B、C、D、E五位老师作为评委，对“演讲答辩”情况进行评价，全班50位同学参与了民主测评．结果如下表所示：
表1 演讲答辩得分表（单位：分） 表2 民主测评票数统计表（单位：张）

A
B
C
D
E
甲
90
92
94
95
88
乙
89
86
87
94
91

“好”票数
“较好”票数
“一般”票数
甲
40
7
3
乙
42
4
4

规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；
民主测评得分=“好”票数×2分+“较好”票数×1分+“一般”票数×0分；
综合得分=演讲答辩得分×（1﹣a）+民主测评得分×a（0.5≤a≤0.8）．
（1）当a=0.6时，甲和乙的综合得分是多少？

（2）a在什么范围时，甲的综合得分高？a在什么范围时，乙的综合得分高？

3．甲、乙两名射击选手各自射击十组，按射击的时间顺序把每组射中靶的环数值记录如下表：
选手组数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
98
90
87
98
99
91
92
96
98
96
乙
85
91
89
97
96
97
98
96
98
98
（1）根据上表数据，完成下列分析表：

平均数
众数
中位数
方差
极差
甲
94.5

96
16.65
12
乙
94.5

18.65

（2）如果要从甲、乙两名选手中选择一个参加比赛，应选哪一个？为什么？

31．某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取6次，记录如下：
甲
79
82
78
81
80
80
乙
83
80
76
81
79
81
（1）请你计算这两组数据的平均数；

（2）现要从中选派一人参加操作技能比赛，从成绩的稳定性考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由．