初三竞赛培训试题34.一元二次方程：整数根与有理根.doc

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初三竞赛培训试题
4．一元二次方程（四）：整数根与有理根
1．已知k为整数，且关于x的二次方程

有两个不等的正整数根，则k = _________。

2．设一元二次方程的两根均为整数，且两根同号,则a = __________。

3．方程 （x— a ） (x – 8 ） – 1 = 0的两个整数根，则a = __________。

4．若p，q都是正整数,方程的两根都是质数，则2p + q = ________。

5．已知p，q为自然数，方程两根都是质数,则p+q = ________。

6．若p是质数，且方程的两根均为整数,则p = ______。

7．设方程的两根均为正整数，若p + q = 28，则=___________.

8．如果a为有理数，要使方程的根总是有理数，则b的值应为____________。

9．设关于x的二次方程当a______时,此方程至少有一个正整数解;当a_______时，此方程有两个正整数解;当a__________时,此方程有两个负整数解。

10．对于整系数一元二次方程有有理根的充要条件是________；若a,b，c均为奇数，则方程_______________，若a,b为偶娄，c为奇数，则方程___________，若此方程有有理根p/q（p，q互质)，则p,q，a，c之间必有关系______________；若a>0且不是完全平方数,则方程有______。

C卷

一、填空题
1．若k是自然数，且关于x的二次方程有两个正整数根，则

2．两个质数p，q恰是整系数方程的两根,则

3．若二次方程至少有一个整数根,则自然数a = ____.

4．若正整系数二次方程有相异的两个有理根p，q，且p〉q,又方程
与方程有一公共根，则方程的另一根为___________.

5．设a,b，c为三角形ABC的三边，且满足
（1）a > b > c；
(2)2b = a + c；
（3）则整数b = __________.

6．象棋比赛中每个选手都和其他选手恰好比赛一局，每局赢者得2分，输者得0分，平局各记1分，今有四个同学统计了比赛中全部选手得分总数情况分别是1980、1983、1989、1991，经核实确有一个同学统计无误，这次比赛中有_____名选手参加比赛。

二、选择题
1．设p是质数,如果方程的两根均为整则,则（ ）
A．0 < p < 10
B．10 < p < 20
C．20 < p 〈 30
D．30 〈 p < 40。

2．设m,n为整数，则方程和方程必定（ )
A．至少有一个有整数根；
B．均无整数根；
C．仅有一个有整数根；
D．均有整数根。

3．关于x的一元二次方程（m、n都是整数)如果有一个整数根，则对它的另一根所作的如下断言中正确的是（ ）
A．不是整数;
B．一定是整数；
C．一定是奇数;
D．一定是偶数。

4．若方程有整数根，且m、n为整数，则的值有（ ）
A．1个
B．3个
C．5个
D．无数个

三、解答题
1．若x，y为正整数,使得能被2xy整除，证明：x为完全平方数.

2．M为何整数时，能分解成两个连续自然数之积。

3．已知方程及分别各有两个整数根且两根均同号,求证：
b – 1 ≤ c ≤ b + 1 .

答案
A卷
1．原方程化为[（k+1)x - 6］[(k - 1)x – 3 ] = 0，
∴

2．-2;
3．8;
4．1997
5．409
6．设原方程的两根，则∵p为质数，故中有一个是p的倍数，设=kp（k为整数），又∴∴即当k=3时，p=37，∴p = 37。

7．29；
8．1；

9．原方程变形为［(a—1)x – (2a+1)]（x-a)=0
当a=1时，原方程只有一个根x=a；当a≠1时，其二根为因此，
（1）当a为任何正整数时，方程至少有一个正整数根，
（2)要使方程二根均为正整数，由于
所以，当a为正整数，只要3能被a—1整除，则是正整数，故只须取a=2或a=4即可，当a=2时，方程有两个正整数根
当a=4时，方程有两个正整数根
（3）当为负整数时，由a-1〈0， 2a+1〈0, ∴为正数,∴无论a取何值，方程两根不会是负整数.

10．
=是一个完全平方数；无整数根，p/c且q/a；有共轭无数根

C卷
一、填空题
1．设α、β是方程的两个正整数根，则
由于α、β是正整数，故αβ也是正数，从而k=2,则αβ=2且α+β=3=故p=3，从而

2．由韦达定理，p+q=99，由于p,q是质数，故p,q中必有一个为2，要计算的代数式关于p，q是对移的，不妨设p=2，从而q=97，∴

3．∵原方程至少有一个整数根，故=为完全平方数,设(m为自然数）则代入原方程，得
解之得

∵中至少有一个整数，∴m | 4或(m+1）｜4．
又∵m为自然数，∴m=1，2，4或m+1=2,4。
∴m=1，2,3，4,从而a=1，3，6，10。

4．设公共根为a,则
∴(p – q )a + 2 (p – q ) = 0
∴（p – q ）（a + 2） = 0
∵p 〈 q， ∴p – q ≠0，即 a + 2 =0，∴a = —2，代入到得

又∵有相异二有理根p,q
∴p + q =∴m=8，而
=为正整数，且
=
为完全平方数，所以 4 – n = 1,所以n = 3。
由于

∴
设方程的另一根为β，则（-2）β=-1，∴β=

5．由条件（2）、(3）可得

又∵a〉c>0，∴a，c是关于x的二次方程
的两个不等正根，从而
解之得
∵b是整数,b〉0,∴即b=5。

6．设共有x名选手参加，依题意可得
∵x是正整数,且大于1，所以x, x –1是两个连续的正整数。
不难验证：两个连续的整数之积的末位数字只能是0，2，6，故得分总数只能是1980，则x(x-1)=1980，解之得（舍去），故共有45名选手参赛。

二、选择题
1．由已知得=为完全平方数，因为p是质数，故p /（p+4×580）, ∴p / 4×580，但4×580=
(1）若p=2,则p（p+4×580)= ×11611非完全平方数，不合；
（2)若p=5，则5(5+4×580)= ×465= ×93非完全平方数,不合;
（3）若p= 2q,则2q（2q+4×580）=2(1+4×20）= 2×81=2×为完全平方数，故应选C

2．对于两个方程来说，=4［5］，而5的个位数字只能是9或5，故5的个位数字只能是0或5。故为5±3的个位数字只能是2，3,7,8之一，而任何一个完全平方数的个位数字只可能是0,1，4，6，9之一，∴当m，n为整数时，5±3均不是完全平方数，于是,这两个方程均无有理根，当然它们也均无整数根，故应选B

3．B

4．设方程有整数根,则=mn>0，=m+n〉0,故这两个根均为正数。又其中均非负，而2分为两个非负整数和的情况仅有0+2;1+1；2+0.分别可解得
∴m·n的值仅有3个，故选B

三、解答题
1．∵能被2xy整除，则有=2kxy(k为整数）整理成关于y的二次方程： （1）
由题设，此方程有一根为整数，由韦达定理，另一根为满足=2kx—
故也是整数，因而方程（1）有两个整数根，于是其判别式
应为完全平方数。由于x和互质,故必为完全平方数。

2．设对某个自然数k≥0，有将此式整理成关于m的一元二次方程，得 （1）
因为m为整数,k为自然数，故（1）的判别式

必为完全平方数，再设=(p为自然数），则=0 （2)
为使方程(2）的根为自然数，须使（2)的判别式
为完全平方数，又设（q为自然数），则
（q+p）（q—p)=920 （3）
因为q+p〉q-p>0，q+p与q—p同奇偶，即它们均为偶数,从而

解之得：

把p的值代入（2）求得k的值,再把k值代入(1）可求得m值，从而即得m=-1,2，6，—13.
即当m=—1，2，6，—13时,能分解成两个连续自然数之积

3．设，分别是两个方程的根，先证假设不成立，由知，而，与>0矛盾,故
又由于c – (b - 1) =
∴c ≥ b – 1
由方程讨论可得