数列中公共项问题的研究.doc
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1、(完整word)数列中公共项问题的研究专题:数列中公共项问题的研究一、问题提出问题1:(1)两个集合和都各有100个元素,且每个集合中元素从小到大都组成等差数列,则集合中元素的最大值是多少?(2)若将中元素按从小到大的顺序排列成数列,试求数列的通项公式。问题2:若数列的通项公式为,数列的通项公式为设集合,若等差数列任一项是中的最大数,且,求的通项公式对任意,,是中的最大数,,设等差数列的公差为,则,即,又是一个以为公差等差数列,二、思考探究探究1:已知数列的通项公式为,数列的通项公式为若将数列,中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列,(1)求的值;961(2)求数列的通项公式。 解:设,考察
2、模7的余数问题;若时经验证可得:当时,存在满足条件的存在故中的项目依次为:可求得数列的通项公式为: 探究2:已知数列和的通项公式分别为,.将与中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为。(1)试写出,的值,并由此归纳数列的通项公式; (2)证明你在(1)所猜想的结论。 解:(1),,,由此归纳:.(2) 由,得,由二项式定理得,当为奇数时,有整数解, .类型:(1)两个等差数列取交集数列问题(方法:公式法)隔三差五问题(2)一个等差数列和一个指数数列取交集数列问题(方法:余数分析法)(3)一个等差数列和一个二次型数列取交集数列问题(方法:二项式定理) 探究3:已知数列xn和yn的通项公
3、式分别是xnan和yn(a1)nb(nN*)(1)当a3,b5时,试问x2,x4分别是数列yn中的第几项?记cnx,若ck是数列yn中的第m项(k,mN*),试问ck1是数列yn中的第几项?请说明理由;(2)对给定自然数a2,试问是否存在b1,2,使得数列xn和yn有公共项?若存在,求出b的值及相应的公共项组成的数列zn;若不存在,说明理由解(1)由条件可得xn3n,yn4n5。令x29ym4m5,得m1,故x2是数列yn中的第1项令x481yk4k5,得k19,故x4是数列yn中的第19项(2分)由题意知,cn32n,由ck为数列yn中的第m项,则有32k4m5,那么ck132(k1)932
4、k9(4m5)36m454(9m10)5,因9m10N*,所以ck1是数列yn中的第9m10项(8分)(2)设在1,2上存在实数b使得数列xn和yn有公共项,即存在正整数s,t使as(a1)tb,t,因自然数a2,s,t为正整数,asb能被a1整除当s1时,tN,当s2n(nN*)时,当b1时,1(a)(a)2(a)2n1(a1)1a2a4a2n2N,即asb能被a1整除此时数列xn和yn有公共项组成的数列zn;显然,当b2时,N*,即asb不能被a1整除当s2n1(nN)时,t,由知,a2n1能被a1整除,若a2,则,故此时tN,若a2,当且仅当ba2时,ab能被a1整除,此时tN*,此时数
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