第讲导数在研究函数性质中的应用及定积分.doc

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[导数在研究函数性质中的应用］
(时间：10分钟＋35分钟)

1．函数y＝x·ex的图象在点（1,e)处的切线方程为(　　）
A．y＝ex B．y＝x－1＋e C．y＝－2ex＋3e D．y＝2ex－e
2．已知函数f(x)图象如图4－1所示，(x）是f（x)的导数，则下列数值排序正确的是(　　）

图4－1
A．0<（2）<(3)<f(3)－f（2) B．0<（3）<f(3)－f(2)<(2）
C．0<（3）<（2)<f（3)－f（2） D．0〈f（3）－f(2)〈（3)〈（3)
3．若函数f(x)＝x3－f′(1）x2＋x＋5，则f′（1)的值为（　　)
A．－2 B．2 C．－ D.

1．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(　　）
A．－9 B．－3 C．9 D．15
2．若曲线f（x）＝xsinx＋1在x＝处切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则a等于(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
3．已知函数f（x)＝，则函数f（x）的图象在点（0，f(0)）处切线方程为（　　)
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－1＝0
C．cosx·x＋y－1＝0 D．ex·x＋cosx·y＋1＝0
4．已知f(x)＝x3＋ax2－2x是奇函数，则其图象在点（1,f（1)）处的切线方程为________．
5。已知函数f（x)＝x2－alnx(a∈R）．
（1)若a＝2,求证:f(x）在（1，＋∞)上是增函数；
(2）求f（x)在[1,e］上的最小值．

6．已知函数f（x）＝（x2＋ax＋2）ex（x，a∈R）．
(1）当a＝0时，求函数f（x)的图象在点A（1，f(1））处的切线方程；
（2）若函数y＝f(x）为单调函数，求实数a的取值范围;
(3)当a＝－时,求函数f(x)的极小值．

［导数在研究函数性质中的应用］
（时间：10分钟＋35分钟）

1．过点（0，1)且与曲线y＝在点（3，2)处的切线垂直的直线的方程为（　　）
A．2x－y＋1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋2y－2＝0 D．x－2y＋2＝0
2．已知直线y＝x＋2与函数y＝ln(ex＋a)的图象相切,e为自然对数的底数，则a为（　　)
A. B．－ C．2e D．－2e
3．若a>0，b>0，且函数f（x）＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值,则ab最大值等于(　　）
A．2 B．3 C．6 D．9

1．函数f（x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象如图4－3所示，则x＋x等于(　　）

图4－3
A。 B。 C. D。
2．函数f(x）＝在[－2，2］上的最大值为2,则a的范围是（　　）
A。 B. C．（－∞，0] D。
3．已知函数f（x)＝x3＋ax2＋bx＋c，若f（x)在区间(－1，0）上单调递减，则a2＋b2的取值范围是(　　）
A。 B。 C. D.
4．设函数f(x)是定义在R上的可导偶函数，且图象关于点对称，则f′（1)＋f′（2)＋f′(22）＋…＋f′（2100)＝________。
5.已知函数f(x)＝ex（x>0)，其中e为自然对数的底数．
(1）当a＝2时，求曲线y＝f（x)在(1,f（1)）处的切线与坐标轴围成的面积；
(2）若函数f(x）存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为e5，求a．

6．已知函数f（x）＝alnx－x2＋1.
(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为4x－y＋b＝0，求实数a和b的值；
（2)求证：f(x)≤0对任意x>0恒成立的充要条件是 a＝2；
(3）若a〈0，且对任意x1、x2∈（0,＋∞），都｜f(x1）－f(x2)|≥|x1－x2|，求a的取值范围．

专题限时集训（四）A
【基础演练】
1．D　【解析】 因为y′＝ex＋xex，所以在点x＝1处函数的导数值是y′|x＝1＝e＋e＝2e,所以在点(1,e）处函数图象的切线方程是y－e＝2e(x－1），即y＝2ex－e.
2．B　【解析】 根据函数图象可得函数的导数是单调递减的，函数在［2,3]上的平均变化率小于在点2的瞬时变化率、大于在点3的瞬时变化率．所以0〈f′(3）〈〈f′（2）,即0〈f′(3)〈f（3)－f(2)<f′(2)．
3．D　【解析】 由已知得f′（x)＝x2－2f′(1）x＋1⇒f′(1)＝1－2f′（1)＋1⇒f′(1)＝.
【提升训练】
1．C　【解析】 因为y′＝3x2，所以k＝y′|x＝1＝3,所以过点P(1,12）的切线方程为y－12＝3(x－1）,即y＝3x＋9,所以与y轴交点的纵坐标为9。
2．D　【解析】 f′(x）＝sinx＋xcosx，f′＝1，即曲线f（x)＝xsinx＋1在点x＝处的切线的斜率是1，而直线ax＋2y＋1＝0斜率是－,所以×1＝－1，得a＝2.
3．B　【解析】 由于f′（x）＝，所以f′(0）＝－1，又f（0）＝1,所以函数f(x）的图象在点（0,f（0）)处切线方程为y－1＝－(x－0），即x＋y－1＝0.
4．x－y－2＝0　【解析】 函数f(x)是奇函数可得a＝0,此时f（x）＝x3－2x，所以f′(x)＝3x2－2,故所求切线的斜率是1，切点坐标是(1，－1），切线方程是y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.
5．【解答】 （1）当a＝2时，f（x）＝x2－2lnx，
当x∈（1，＋∞)时，f′(x)＝>0，所以f(x)在（1,＋∞)上是增函数．
（2）f′（x）＝(x〉0)，当x∈［1,e]，2x2－a∈[2－a，2e2－a］．
若a≤2，则当x∈[1，e]时，f′（x）≥0，所以f（x)在[1，e]上是增函数，
又f(1)＝1，故函数f(x)在［1，e]上的最小值为1.
若a≥2e2，则当x∈［1,e］时，f′（x)≤0，所以f(x）在［1,e］上是减函数，
又f(e)＝e2－a,所以f（x）在［1，e］上的最小值为e2－a.
若2<a〈2e2，则：当1≤x〈时,f′（x）<0，此时f(x)是减函数;
当<x≤e时，f′（x）〉0，此时f（x）是增函数．又f＝－ln，
所以f（x)在［1，e]上的最小值为－ln.
综上可知，当a≤2时,f(x）在［1，e］上的最小值为1；
当2〈a<2e2时,f（x)在[1,e］上的最小值为－ln;
当a≥2e2时，f（x）在［1,e］上的最小值为e2－a。
6．【解答】 f′（x)＝ex[x2＋(a＋2）x＋a＋2］
(1)当a＝0时，f（x）＝(x2＋2)ex，f′(x)＝ex（x2＋2x＋2）,f(1）＝3e，f′(1)＝5e，
∴函数f（x)的图象在点A(1,f(1））处的切线方程为
y－3e＝5e（x－1），即5ex－y－2e＝0。
（2）f′（x）＝ex［x2＋(a＋2）x＋a＋2]，
考虑到ex>0恒成立且x2系数为正,
∴f(x）在R上单调等价于x2＋（a＋2）x＋a＋2≥0恒成立．
∴（a＋2)2－4（a＋2）≤0，∴－2≤a≤2，即a的取值范围是[－2，2]，
（3)当a＝－时,f(x）＝ex，
f′(x)＝ex，令f′(x)＝0，得x＝－或x＝1，
令f′（x）>0，得x〈－或x>1，令f′(x)<0，得－〈x<1,
x，f′（x），f(x）的变化情况如下表：

x

－

1
（1，＋∞）
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f（x）

极大值

极小值

所以，函数f(x）的极小值为f(1）＝e。
专题限时集训(四)B
【基础演练】
1．A　【解析】 y＝＝1＋,则y′＝－在x＝3处的导数值为－，故所求的直线的斜率是2,直线方程为y＝2x＋1,即2x－y＋1＝0。
2．C　【解析】 对函数y＝ln（ex＋a)求导得y′＝，令y′＝1，解得x＝,此时代入函数y＝ln（ex＋a）得y＝1,即切点坐标是，代入切线方程得1＝＋2，解得a＝2e.
3．D　【解析】 f′（x)＝12x2－2ax－2b,
∵f（x）在x＝1处有极值，
∴f′（1)＝0，即12－2a－2b＝0,化简得 a＋b＝6，
∵a>0，b〉0，
∴ab≤2＝9，当且仅当a＝b＝3时,ab有最大值，最大值为9,故选D.
1．C　【解析】 从函数图象上可知x1，x2为函数f(x）的极值点，根据函数图象经过的三个特殊点求出b,c，d,根据函数图象得d＝0，且f(－1)＝－1＋b－c＝0,f（2)＝8＋4b＋2c＝0，解得b＝－1，c＝－2，故f′(x）＝3x2－2x－2.根据韦达定理x＋x＝（x1＋x2）2－2x1x2＝＋＝.
2．D　【解析】 当x≤0时，f′(x）＝6x2＋6x,函数的极大值点是x＝－1，极小值点是
x＝0，当x＝－1时,f（x)＝2，故只要在[0，2］上eax≤2即可，即ax≤ln2在(0，2]上恒成立，即a≤在（0,2]上恒成立，故a≤ln2.
3．C　【解析】 根据三次函数的特点，函数f（x）在(－1,0)上单调递减等价于函数f（x）的导数f′(x)＝3x2＋2ax＋b在区间(－1，0)上小于或者等于零恒成立，即3－2a＋b≤0且b≤0，把点(a,b）看作点的坐标,则上述不等式组表示的区域如下图．根据a2＋b2的几何意义得，最小值就是坐标原点到直线3－2a＋b＝0的距离的平方．

4．0　【解析】 根据函数图象关于对称,可得f（1－x）＋f（x)＝2,由于函数是偶函数可得f（x－1)＋f（x)＝2，进而得f(x）＋f（x＋1）＝2，由此得f（x＋1）＝f(x－1）,进而f（x＋2）＝f（x）,即函数f(x）是以2为周期的函数，由于函数是可导偶函数,其中在x＝0的导数等于零，根据周期性，在x＝2，22，…,2100处的导数都等于零．再根据函数可导和f（x－1)＋f(x）＝2，可得f′(x－1）＋f′(x）＝0，令x＝1可得f′（1）＝0.故所求的结果是0.
5．【解答】 (1）f′（x）＝ex，当a＝2时，f′（x）＝ex,
f′（1)＝×e1＝e,f(1)＝－e，
所以曲线y＝f(x）在(1,f(1））处的切线方程为y＝ex－2e，
切线与x轴、y轴的交点坐标分别为（2，0），（0，－2e)，
所以，所求面积为×2×|－2e｜＝2e。
（2）因为函数f(x)存在一个极大值点和一个极小值点，
所以，方程x2－ax＋a＝0在（0，＋∞)内存在两个不等实根，
则所以a〉4.
设x1，x2分别为函数f（x)的极大值点和极小值点，则x1＋x2＝a，x1x2＝a，
因为f(x1)f（x2)＝e5,所以，ex1×ex2＝e5，
即ex1＋x2＝e5，化简得ea＝e5，
解得a＝5，此时f(x）有两个极值点，所以a＝5.
6．【解答】 （1)f′(x）＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1）＝0，所以曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y＝(a－2）（x－1)，即(a－2）x－y＋2－a＝0,
由已知得a－2＝4，2－a＝b，所以a＝6,b＝－4.

(2）证明：充分性:
当a＝2时，f（x）＝2lnx－x2＋1，此时f′（x)＝－2x＝（x〉0），
当0<x〈1时，f′(x)>0，当x>1时,f′(x)〈0，
所以f（x）在(0,1）上是增函数,在（1，＋∞）上是减函数，f(x）≤f(1）＝0；
必要性：f′（x）＝－2x＝(x〉0)，
当a≤0时，f′（x）〈0,f(x)在（0，＋∞）上是减函数,而f（1)＝0,
故0<x〈1时,f(x）〉0，与f（x）≤0恒成立矛盾，所以a≤0不成立，
当a〉0时，f′(x）＝(x〉0)，
当0<x<时,f′(x）〉0,当x>时，f′（x)〈0，
所以f(x)在上是增函数，在上是减函数，
f(x)≤f＝ln－＋1；
因为f(1）＝0,又当a≠2时,≠1，f〉f(1）＝0与f≤0不符．
所以a＝2。
综上，f(x)≤0对任意x〉0恒成立的充要条件是a＝2；
（3)当a<0时，f′(x)<0，∴f(x)在（0，＋∞）上是减函数，
不妨设0〈x1≤x2，则｜f（x1）－f（x2）|＝f（x1)－f(x2),｜x1－x2|＝x2－x1，
∴｜f（x1)－f（x2)｜≥|x1－x2|等价于f(x1）－f(x2）≥x2－x1，即f(x1)＋x1≥f（x2)＋x2,
令g(x）＝f(x）＋x＝alnx－x2＋x＋1，g(x)在（0，＋∞)上是减函数,
∵g′(x)＝－2x＋1＝(x〉0)，
∴－2x2＋x＋a≤0在x〉0时恒成立，
∴1＋8a≤0，a≤－,又a<0,
∴a的取值范围是.

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