数学专题24解析几何中的范围问题(研究性学习之二).doc

数学专题24解析几何中的范围问题(研究性学习之二) 作者： 日期：2 个人收集整理 勿做商业用途高考总复习 专题二十四 解析几何中的范围问题（研究性学习之二）在直线与圆锥曲线相交问题中，关于直线的斜率或纵截距的取值范围，关于圆锥曲线的离心率、长轴长（或实轴长）、短轴长（或虚轴长）等有关参量的取值范围,是解析几何高考命题以及备考复习的重点问题。对此，一般情况下的解题思路，首先寻觅出（或直接利用）相关的不等式，进而通过这一不等式的演变解出有关变量的取值范围。在这里，我们对寻觅所给问题中相关不等式的主要途径和策略作以研讨。一、“题设条件中的不等式关系”之运用事物都是一分为二的。对于题设条件中明朗或隐蔽的不等关系，既可作为推导或求解的条件而增加难度,也可作为探索或寻觅范围的切入点而提供方便。在解决范围问题时,不失时机的利用明显的不等关系或发掘隐匿的不等式，往往成为解题的关键环节。例1、（2004浙江卷)已知双曲线中心在原点,右顶点为A（1，0)，点P、Q在双曲线右支上 ，点M（m，0）到直线AP的距离为1。（1）若直线AP的斜率为k，且 ，求实数m的取值范围；（2）当 时，APQ的内心恰好是点M，求此双曲线方程。分析：对于（1），已知直线AP的斜率k的取值范围,要求m的取值范围，首先需要导出k与m的关系式;对于(2），则要利用三角形内心的性质，三角形内心到三边距离相等；三角形内心与任一顶点的连线为相应的角的平分线;三角形面积等于半周长与内切圆半径之积等.至于运用哪一性质，还要视题设条件的具体情况来定夺.解：（1）由已知设直线AP的方程为yk（x1)，即kxyk0点M到直线AP的距离为1 ，解得 或 所求m的取值范围为 .(2）根据已知条件设双曲线方程为 当 时，点M的坐标为( ）.A（1，0）, ,点M到直线AP的距离为1，APQ的内切圆半径r1,PAM45， （不妨设点P在第一象限）直线PQ的方程为 ，直线AP的方程为yx1因此解得点P的坐标为（ )将点P坐标代入双曲线方程 得 所求双曲线方程为 即 .点评:这里的（1），是题设条件中明显的不等关系的运用;这里的（2），审时度势的求解出点P坐标，恰如“四两拨千斤”.同学们请注意：一不要对三角形内心敬而生畏，二不可总想利用某一性质。沉着冷静地分析、认知问题，便会逐渐拨开云雾，寻出解题方向.例2、（2004全国卷 I )设椭圆 的两个焦点是 ,且椭圆上存在点P使得直线 垂直。（1）求实数m的取值范围;（2）设L是相应于焦点 的准线，直线 与L相交于点Q，若 ，求直线 的方程.分析:对于（1)，要求m的取值范围，首先需要导出相关的不等式，由题设知，椭圆方程为第一标准方程，因而这里应有 ， 便是特设条件中隐蔽的不等关系。对于(2），欲求直线 的方程，注意到这里题设条件与点P的密切关系，故考虑从求点P坐标突破.解：（1）由题设知 设点P坐标为 ，则有 化简得 将与 联立，解得 m0，且 m1即所求m的取值范围为 .（2）右准线L的方程为 设点 (）将 代入得 又由题设知 由得 ，无解.（）将 代入得 由题设得 由此解得m2从而有 于是得到直线 的方程为 点评:对于（1），解题的关键是发掘并利用题设条件中隐蔽的不等式 对于（2），以求解点P坐标 为方向,对已知条件 进行“数形转化”，乃是解决此类已知线段长度之比问题的避繁就简的基本策略.二、“圆锥曲线的有关范围”之运用我们在学习中已经看到，椭圆、双曲线和抛物线的“范围”，是它们的第一几何性质.事实上，我们研究“范围”，一在于认知:认知圆锥曲线特性；二在于应用：“应用”它们来解决有关问题。例、以 为焦点的椭圆 与x轴交于A，B两点（1)过 作垂直于长轴的弦MN，求AMB的取值范围；(2）椭圆上是否存在点P，使APB120？若存在,求出椭圆离心率e的取值范围.解：（1)基于椭圆的对称性，不妨设定 为右焦点，M在第一象限，则易得 ,设A(a，0）,B（a，0），则AMB为直线AM到BM的角，又 利用公式得 此时注意到椭圆离心率的范围：0e0，y0根据公式得 整理得 又这里 代入得 此时注意到点P在椭圆上，故得 由得 由得 于是可知，当 时,点P存在且此时椭圆离心率的取值范围为 ;当 时，点P不存在。三、“一元二次方程有二不等实根的充要条件之运用在直线与曲线相交问题中，直线与某圆锥曲线相交的大前提，往往由“相关一元二次方程有二不等实根来体现。因此，对于有关一元二次方程的判别式0，求某量的值时，它是去伪存真的鉴别依据,求某量的取值范围时，它是导出该量的不等式的原始不等关系.例1、已知椭圆的一个顶点A(0,1)，焦点在x轴上，且右焦点到直线 的距离为3，若斜率不为0的直线l与椭圆交于不同两点M、N，使M、N关于过A点的直线对称,求直线l的斜率取值范围.解：（既设又解）设右焦点F(c,0),则由 又b1， 椭圆方程为 设直线l的方程为ykxm 将代入得 由题意 且 点P坐标为 又根据题意知M、N关于直线AP对称，故有 于是将代入得 因此可知，所求k的取值范围为 。例2、已知椭圆C的中心在原点上,焦点在x轴上，一条经过点 且方向向量为 的直线l交椭圆C于A、B两点，交x轴于点M,又 (1）求直线l的方程；（2）求椭圆C的长轴长的取值范围.解:（1)由题意设椭圆C的方程为 .直线l的方向向量为 亦为直线l的方向向量直线l的斜率 因此,直线l的方程为 即 （2）设 将直线l的方程与椭圆方程联立,消去x得 由题设 且 又这里M（1，0）由 得 进而由得 由得 代入得 注意到由得 故由得 因而得1b0，双方联合推出2a的范围。这里的不等关系的充分挖掘与应用，乃是解题成功的关键。四、“点在圆锥曲线内部的充要条件之运用所给问题中的某些点,注定要在相关圆锥曲线的内部。比如圆锥曲线的弦的内分点，又如圆锥曲线任意两弦的交点等.因此,点在圆锥曲线内部的充要条件，便成为寻求某量的取值范围的基本依据之一。其中，常用的充要条件为：1、 2、 3、 4、 例、已知椭圆的焦点为 ,过点 且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B, ,又椭圆上不同两点A、C满足条件： 成等差数列。（1）求椭圆的方程；(2)设弦AC的垂直平分线方程为ykxm,求m的取值范围。解：（1）由题设得2a10，c4a5,b3,c4椭圆方程为 (2）（设而不解）设 则由题意得 故有点 A、C在椭圆 上 两式相减得 由及所设得 弦AC的垂直平分线方程为 由题意得 注意到当x4时椭圆上点的纵坐标为 ，又点 在椭圆内部故得 于是由、得 所求的取值范围为 点评：此题解法充分体现了“以我为主”的思想。以我为主：以我所引入的参数诠释已知条件，以我所引入的参数构造弦的斜率，以我对这一解的认知决定解题策略，本解法以运用自设参数为主而将所给的ykxm放在十分次要的位置,从而使我们一直沉浸在所熟悉的探索中，待抬头看题设时，解题已经胜利在望.想一想：这里为什么可以不用直线方程ykxm与椭圆方程联立。五、“圆锥曲线的定义或几何性质中隐蔽的不等关系之运用“相等”与“不等是辩证的统一，根据“相等”与“不等”之间相互依存的辩证关系,椭圆与双曲线定义中显示了明朗的“相等”关系，那么必然蕴含这隐蔽的“不等关系。因此，对于椭圆或双曲线的探求范围问题,适时认知并发掘出本题的不等关系，往往成为解题成败的关键环节。圆锥曲线的定义中隐含的不等关系主要有：1、 2、 例、已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ,若在其左支上存在点P且点P到左准线的距离与 成等比数列，求离心率e的取值范围.分析：寻求e的范围的一般途径为（1）认知或发掘出本题的不等关系;（2）将(1）中的不等关系转化为关于a,b，c的不等式;（3）将（2）中的不等式演变为关于e的不等式,进而通过解这一不等式导出所求范围.其中,有关双曲线上点P处的两条焦点半径 的问题，定义中明朗的等量关系: 是认知或求值的理论基础;而定义中隐蔽的不等关系： 则是寻求参量范围的重要依据。解：（1)确立不等关系注意到这里 （2）不等关系演变之一设左支上的点P到左准线的距离为d，则由题意得 （变形目的：利用第二定义，寻找两焦半径与e的联系） 又点P在双曲线左支上 （点P在左支这一条件的应用） 由解得 将代入得 （3)不等关系演变之二：由得 故解得 于是可知,所求离心率e的范围为14