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数学专题24解析几何中的范围问题(研究性学习之二)

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高考总复习 专题二十四　 解析几何中的范围问题（研究性学习之二）
　　在直线与圆锥曲线相交问题中，关于直线的斜率或纵截距的取值范围，关于圆锥曲线的离心率、长轴长（或实轴长）、短轴长（或虚轴长）等有关参量的取值范围,是解析几何高考命题以及备考复习的重点问题。对此，一般情况下的解题思路，首先寻觅出（或直接利用）相关的不等式，进而通过这一不等式的演变解出有关变量的取值范围。在这里，我们对寻觅所给问题中相关不等式的主要途径和策略作以研讨。

　　一、“题设条件中的不等式关系”之运用
　　事物都是一分为二的。对于题设条件中明朗或隐蔽的不等关系，既可作为推导或求解的条件而增加难度,也可作为探索或寻觅范围的切入点而提供方便。在解决范围问题时,不失时机的利用明显的不等关系或发掘隐匿的不等式，往往成为解题的关键环节。

　　例1、（2004浙江卷)已知双曲线中心在原点,右顶点为A（1，0)，点P、Q在双曲线右支上　　 ，点M（m，0）到直线AP的距离为1。
　　（1）若直线AP的斜率为k，且 ，求实数m的取值范围；
　　（2）当 时，△APQ的内心恰好是点M，求此双曲线方程。

　　分析：对于（1），已知直线AP的斜率k的取值范围,要求m的取值范围，首先需要导出k与m的关系式;对于(2），则要利用三角形内心的性质，三角形内心到三边距离相等；三角形内心与任一顶点的连线为相应的角的平分线;三角形面积等于半周长与内切圆半径之积等.至于运用哪一性质，还要视题设条件的具体情况来定夺.

　　解：
　　（1）由已知设直线AP的方程为y＝k（x－1)，即kx－y－k＝0
　　∵点M到直线AP的距离为1
　　∴ 　　　　　　　　 ①
　　∵
　　∴ ，
　　解得 或
　　∴所求m的取值范围为 .

　　(2）根据已知条件设双曲线方程为
　　当 时，点M的坐标为( ）.
　　∵A（1，0）, ,
　　∵点M到直线AP的距离为1，
　　∴△APQ的内切圆半径r＝1,
　　∴∠PAM＝45°，
　　 （不妨设点P在第一象限）
　　∴直线PQ的方程为 ，
　　直线AP的方程为y＝x－1
　　因此解得点P的坐标为（ )
　　将点P坐标代入双曲线方程 得
　　∴所求双曲线方程为
　　即 .

　　点评:这里的（1），是题设条件中明显的不等关系的运用;
　　这里的（2），审时度势的求解出点P坐标，恰如“四两拨千斤”.同学们请注意：一不要对三角形内心敬而生畏，二不可总想利用某一性质。沉着冷静地分析、认知问题，便会逐渐拨开云雾，寻出解题方向.

　　例2、（2004全国卷 I )设椭圆 的两个焦点是 ,且椭圆上存在点P使得直线 垂直。
　　（1）求实数m的取值范围;
　　（2）设L是相应于焦点 的准线，直线 与L相交于点Q，若 ，求直线 的方程.

　　分析:对于（1)，要求m的取值范围，首先需要导出相关的不等式，由题设知，椭圆方程为第一标准方程，因而这里应有 ， 便是特设条件中隐蔽的不等关系。
　　对于(2），欲求直线 的方程，注意到这里题设条件与点P的密切关系，故考虑从求点P坐标突破.

　　解：
　　（1）由题设知
　　设点P坐标为 ，则有

　　化简得 　　　　　　　　 ①
　　将①与 联立，解得
　　∵m>0，且
　　∴m≥1
　　即所求m的取值范围为 .

　　（2）右准线L的方程为
　　设点
　　∴ 　　　　　　　　　　 ②
　　(ⅰ）将 代入②得
　　 　　　　　　　　③
　　又由题设知
　　∴由③得 ，无解.
　　（ⅱ）将 代入②得
　　 　　　　　　　　 ④
　　∴由题设得
　　由此解得m＝2
　　从而有
　　于是得到直线 的方程为

　　点评:对于（1），解题的关键是发掘并利用题设条件中隐蔽的不等式 对于（2），以求解点P坐标 为方向,对已知条件 进行“数形转化”，乃是解决此类已知线段长度之比问题的避繁就简的基本策略.

　　二、“圆锥曲线的有关范围”之运用
　　我们在学习中已经看到，椭圆、双曲线和抛物线的“范围”，是它们的第一几何性质.事实上，我们研究“范围”，一在于认知:认知圆锥曲线特性；二在于应用：“应用”它们来解决有关问题。

　　例、以 为焦点的椭圆 与x轴交于A，B两点
　　（1)过 作垂直于长轴的弦MN，求∠AMB的取值范围；
　　(2）椭圆上是否存在点P，使∠APB＝120°？若存在,求出椭圆离心率e的取值范围.

　　解：
　　（1)基于椭圆的对称性，不妨设定 为右焦点，M在第一象限，则易得 ,
　　设A(－a，0）,B（a，0），则∠AMB为直线AM到BM的角，
　　又
　　∴利用公式得 　　　　　　　　①
　　此时注意到椭圆离心率的范围：0<e<1,
　　∴ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②
　　∴由①②得
　　由此解得

　　（2）设椭圆上存在点P使∠APB＝120°
　　基于椭圆的对称性,不妨设点P（x，y）在第一象限
　　则有x>0，y>0
　　∴根据公式得
　　整理得 　　　　　　　　　 ①
　　又这里 　　　　　　　　　　　　　　②
　　∴②代入①得 　　　　　　　　　　　 ③
　　此时注意到点P在椭圆上，故得 　　　　　　 ④
　　∴由③④得
　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤
　　由⑤得 　　　　　　　　　　　　　　 ⑥
　　于是可知，当 时,点P存在且此时椭圆离心率的取值范围为 ;
　　当 时，点P不存在。

　　三、“一元二次方程有二不等实根的充要条件"之运用
　　在直线与曲线相交问题中，直线与某圆锥曲线相交的大前提，往往由“相关一元二次方程有二不等实根"来体现。因此，对于有关一元二次方程的判别式△〉0，求某量的值时，它是去伪存真的鉴别依据,求某量的取值范围时，它是导出该量的不等式的原始不等关系.

　　例1、已知椭圆的一个顶点A(0,－1)，焦点在x轴上，且右焦点到直线 的距离为3，若斜率不为0的直线l与椭圆交于不同两点M、N，使M、N关于过A点的直线对称,求直线l的斜率取值范围.

　　解：（既设又解）设右焦点F(c,0),则由
　　又b＝1，∴
　　∴椭圆方程为 　　　　　　　　　　　　　　 ①
　　设直线l的方程为y＝kx＋m　　　　　　　　　　　　 ②

　　将②代入①得
　　由题意 　　　　　　　　　　 ③
　　且 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④
　　∴

　　∴点P坐标为
　　又根据题意知M、N关于直线AP对称，故有

　　 　　　　⑤
　　于是将⑤代入③得

　　因此可知，所求k的取值范围为 。

　　例2、已知椭圆C的中心在原点上,焦点在x轴上，一条经过点 且方向向量为 的直线l交椭圆C于A、B两点，交x轴于点M,又
　　(1）求直线l的方程；
　　（2）求椭圆C的长轴长的取值范围.

　　解:
　　（1)由题意设椭圆C的方程为 .
　　∵直线l的方向向量为
　　∴ 亦为直线l的方向向量
　　∴直线l的斜率
　　因此,直线l的方程为
　　即

　　（2）设
　　将直线l的方程与椭圆方程联立,消去x得

　　由题设
　　 　　　　　　　　　　　　　　 ①
　　且 　　　　　　　　　　　　 ②
　　又这里M（1，0）
　　∴由 得
　　∴ 　　　　　　　　　　　　　　　　 ③
　　进而由③得 　　　　　　　　　　 ④
　　∴由④得 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤
　　∴②代入⑤得 　　　　　　　　 ⑥

　　 　　　　　　　　　　　　 ⑦
　　注意到由⑥得
　　故由⑦得
　　因而得1<a〈3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑧
　　∴由⑦解出 代入①并利用⑧得

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑨
　　另一方面，再注意到 ，
　　再由⑦得
　　 .
　　因此有
　　即所求椭圆C的长轴的取值范围为 。

　　点评：欲求圆锥曲线的某个重要参数的取值范围，需要利用或挖掘题目中的不等关系。在这里，我们由 导出关于a、b的等式⑦之后，一方面利用了本题中人们熟知的△〉0确定的不等式，另一方面又利用了颇为隐蔽的新设方程中的大小关系：a>b>0，双方联合推出2a的范围。这里的不等关系的充分挖掘与应用，乃是解题成功的关键。

　　四、“点在圆锥曲线内部的充要条件"之运用
　　所给问题中的某些点,注定要在相关圆锥曲线的内部。比如圆锥曲线的弦的内分点，又如圆锥曲线任意两弦的交点等.因此,点在圆锥曲线内部的充要条件，便成为寻求某量的取值范围的基本依据之一。其中，常用的充要条件为：
　　1、

　　2、

　　3、

　　4、

　　例、已知椭圆的焦点为 ,过点 且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B, ,又椭圆上不同两点A、C满足条件： 成等差数列。
　　（1）求椭圆的方程；
　　(2)设弦AC的垂直平分线方程为y＝kx＋m,求m的取值范围。

　　解：
　　（1）由题设得2a＝10，c＝4
　　∴a＝5,b＝3,c＝4
　　∴椭圆方程为

　　(2）（设而不解）设
　　则由题意得

　　 　　　　　　　　　　　　　　 ①
　　故有点
　　∵A、C在椭圆 上
　　∴

　　两式相减得
　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②
　　∴由①及所设得 　　　　　　　　　　　　 ③
　　∴弦AC的垂直平分线方程为

　　∴由题意得 　　　　　　　　　　 ④
　　注意到当x＝4时椭圆上点的纵坐标为 ，又点 在椭圆内部
　　故得 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤
　　于是由④、⑤得
　　∴所求的取值范围为

　　点评：此题解法充分体现了“以我为主”的思想。以我为主：以我所引入的参数诠释已知条件，以我所引入的参数构造弦的斜率，以我对这一解的认知决定解题策略……，本解法以运用自设参数为主而将所给的y＝kx＋m放在十分次要的位置,从而使我们一直沉浸在所熟悉的探索中，待抬头看题设时，解题已经胜利在望.想一想：这里为什么可以不用直线方程y＝kx＋m与椭圆方程联立。

　　五、“圆锥曲线的定义或几何性质中隐蔽的不等关系"之运用
　　“相等”与“不等"是辩证的统一，根据“相等”与“不等”之间相互依存的辩证关系,椭圆与双曲线定义中显示了明朗的“相等”关系，那么必然蕴含这隐蔽的“不等"关系。因此，对于椭圆或双曲线的探求范围问题,适时认知并发掘出本题的不等关系，往往成为解题成败的关键环节。圆锥曲线的定义中隐含的不等关系主要有：
　　1、

　　2、

　　例、已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ,若在其左支上存在点P且点P到左准线的距离与 成等比数列，求离心率e的取值范围.

　　分析：寻求e的范围的一般途径为
　　（1）认知或发掘出本题的不等关系;

　　（2）将(1）中的不等关系转化为关于a,b，c的不等式;

　　（3）将（2）中的不等式演变为关于e的不等式,进而通过解这一不等式导出所求范围.

　　其中,有关双曲线上点P处的两条焦点半径 的问题，定义中明朗的等量关系: 是认知或求值的理论基础;而定义中隐蔽的不等关系： 则是寻求参量范围的重要依据。

　　解：
　　（1)确立不等关系
　　注意到这里 　　　　　　　　　　　　 ①

　　（2）不等关系演变之一
　　设左支上的点P到左准线的距离为d，
　　则由题意得
　　 （变形目的：利用第二定义，寻找两焦半径与e的联系）
　　∴ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②
　　又点P在双曲线左支上
　　∴ （点P在左支这一条件的应用）　　　　 ③
　　∴由②③解得 　　　　　　　　　　　　　　 ④
　　∴将④代入①得 　　　　　　　　　　　　⑤

　　（3)不等关系演变之二：
　　由⑤得
　　故解得
　　于是可知,所求离心率e的范围为
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