初中生解分式方程疏忽检验步骤的成因与对策研究.doc

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解分式方程的典型失误及分析
江西省赣州市会昌县教研室（342600） 刘 鑫
2010年江西省中等学校招生考试数学试题第18题是解分式方程，其分值为7分，试题如下:
解方程：
其正确解答应为：
解:方程两边同乘以，得
。
化简得
解得 。
检验：当时.
所以，是原分式方程的解。
笔者在阅卷过程中,发现考生的答题有以下八种典型的失误：
1．漏乘不含分母的整式项
解:方程两边同乘以，得
.

此方程无解，所以原方程无解。
【分析】本解答的错误之处为:并不是方程两边的每一项同乘以最简公分母,只有方程左边的分式项乘以了最简公分母，而方程右边的整式项“1"却没有乘以最简公分母，造成漏乘。产生此类错误的原因是考生断章取义地理解“去分母”这一步骤，而对其算理却没有深刻理解。
一般来说，解分式方程的基本思路是运用化归思想把分式方程转化为整式方程,其方法是方程的两边同乘以各分母的最简公分母，其依据是等式的性质.
2．所乘因式不是最简公分母
解：方程两边同乘以，得
.
…………
【分析】本解答的错误之处为：方程两边所乘的整式不是最简公分母，而是机械地把各分式分母拼奏而成的积,这就产生一个较复杂的整式方程，导致后面的解答更加繁琐，造成不必要的麻烦.
为了把分式方程转化为整式方程，须将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，这个整式通常取方程中各分式的最简公分母，这样既能约去各分式的分母，又能保证约分后的商式最简单,从而产生一个最简单的整式方程，便于化简、求根。对于分母都是多项式的分式方程,找最简公分母时应先将各分母分解因式，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母才是最简公分母。
3．先通分，再去分母
解：由原方程得

.

.
检验：当时.
所以，是原分式方程的解。
【分析】本解答的错误之处为：受分式运算的干扰和思维定势的影响，考生首先对方程进行通分，然后再去分母，此类考生去分母的根据可能有两个，其一是两边乘以最简公分母,其二是利用“两个分式相等，若分母相等，则分子必相等” 的道理，不管是哪个根据，都是多此一举，增加解方程的步骤.说明该考生对解分式方程的算理理解不深刻,对解分式方程的步骤不熟练.
对于分式方程,有时也确实可以采用通分的方法求解，但必须把所有的项移到一边进行通分，如果分子、分母有公因式时必须约去，利用“分数的值为零，分母不等于零而分子必等于零”的性质进行求解，采用此法可以避免产生增根，可以不必验根，但运算与书写较麻烦。
4．随意漏括号
解Ⅰ：方程两边同乘以，得
。
解得.
检验：当时≠0。
所以，是原分式方程的解。
【分析】粗略一看，本解答好象没有错误，但进行深层次的分析，还是可以发现其中的不足之处：最简公分母不是以因式分解后的形式呈现。考生可能是认为试题太简单，口算就能确立最简公分母，不必写得那么详细.这虽然是个不扣分的错误，但是,这样书写有两个危险,其一是难以准确确立最简公分母，其二是约分时容易出错，这说明此类考生的解题习惯不好。
解Ⅱ：方程两边同乘以，

…………
【分析】本解答的错误之处有二：其一是最简公分母不是以因式分解后的形式呈现;其二,最简公分母是多项式,但未加括号，乘以公因式后,原分式的分子也没有括号，这样书写，下一步运算要么无法进行，要么运算出错。产生的原因是没有整体意识、没有充分认识分数线有除法和括号的双重作用。
【纠正】如果考生确实要呈现去分母的详细过程，可以如下呈现：
解：方程两边同乘以，

…………
5．胡乱添等号
解:方程两边同乘以,

.
检验：当时.所以，是原分式方程的解.
【分析】本解答的错误之处为：也是受分式运算的干扰和思维定势的影响,未能区分分式加减运算是恒等变形，而解方程是根据等式的性质，每一次运算只是保持等式的两边相等，但前后两个等式形式上一般不相同、前后两个等式的左（或右）边不一定相等。
6．解题过程不换行
解:方程两边同乘以,得。解得.
检验：当时.所以,是原分式方程的解。
【分析】本解答的书写象写纯文字的文章一样，从左至右，写满一行再换行，这虽然不是什么错误，但也有不足之处-—不美观、与教科书上的例题格式不同，在考试时这样书写解题过程，不便于学生进行检查,也不利于阅卷教师进行快速阅卷。
7．没有验根
解：方程两边同乘以，得
.
化简得
解得.
【分析】本解答的错误之处为：缺少验根这个步骤。
为什么要验根?
解分式方程时，两边同乘最简公分母，这是一个含有未知数的式子，而不是一个确切的非零常数，因当初不知道未知数的取值，也就无法确定所乘最简公分母的值是否为零，因此，将分式方程化为整式方程后，未知数允许值的范围扩大了，不能保证新方程与原分式方程同解.新方程的解若不使原分式方程的分母为零,它才是原分式方程的解；新方程的解若使原分式方程的分母为零，它就不是原分式方程的解，是原方程的增根，应舍去。所以解分式方程必须验根
怎样验根？
验根的方法有二，其一是把解整式方程求出的根简便地代入去分母时所乘的最简公分母。其二是把求得的根分别代入原分式方程的左边与右边，分别计算其值，不适合的根是增根，应舍去，此法较繁.
对于本题的验根，最起码应表述为“经检验,是原分式方程的解”。
8．没有结论
解：方程两边同乘以，得
.
化简得
解得.
检验：当时。
【分析】本解答的错误之处为：缺少结论,最后应该加一句话“所以，是原分式方程的解”.
【教学反思与建议】我们进行分式和分式方程的教学时,不但要让学生明白分式方程的特殊之处，还要让学生深刻理解公分母、最简公分母等概念，掌握如何确立最简公分母;通过举例，让学生归纳验根的必要性，悟出解分式方程的算理，从而按步骤熟练地解分式方程，并过程完整、格式规范地书写解题过程．

注：本文发表在2010年《中学数学教学参考》（初中）第8期