计算科学专业计算方法课程设计题.doc
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1、个人收集整理 勿做商业用途一 课程设计的目的计算方法是信息与计算科学专业的一门核心基础课。计算方法是研究各种数学问题求数值解的方法,离散化、递推化是它处理问题的主要手段,误差分析是它研究的核心问题,以计算机和数学软件为工具进行数值计算是它的显著特征。通过这门课程的学习与课程设计,为今后进行科学计算,对实际问题进行数值的或者图像的仿真模拟打下良好的实验基础。该课程设计的主要目的如下:1 能够运用所学的计算方法的理论和知识,在MATLAB下编程解决实际问题时。2 利用MATLAB下的GUI,开发一些应用程序软件包。3 培养一定的独立分析问题、解决问题的能力.二 课程设计要求1 分析题目,独立完成设
2、计概要。2 完整地给出主要功能模块的设计思想、方案和详细设计,并阐述理由。3 系统的开发与实现采用基于MATLAB的GUI技术。3 准备测试数据并上机调试通过。4 书写设计报告。设计报告应包括下面几个部分:(1)封面(填写设计题目、学院、专业、班级、学号、姓名)(2)问题的描述(细化设计的目的和要求)(3)基本功能(描述自己编制的程序可实现的基本功能)(4)设计概要(5)程序流程图(7)程序使用的说明(用户级接口或者重要的公有成员函数的用法说明(参数意义,返回值,注意事项,错误信息及其诊断,提供必要的例子或者图片帮助用户理解)(8)测试数据列表(9)测试结果(10)设计总结(心得体会,对设计或
3、者论文的评价,设计或者论文中存在问题及改进意见)(11)致谢(对指导教师、同学、参考文献作者及网络资源提供者的感谢)(12)参考文献(13)源代码(分文件列出(类的头文件在前,源文件在后)代码及必要的注释)说明:具体课程设计论文撰写,请参考论文模板。三 课程设计选题A类选题 数值计算软件包设计与开发(一) 插值软件包【问题描述】设计一个集成多种插值多项式逼近被插函数的数值与图像显示的软件包。【基本要求】用基于MATLAB下的GUI技术,设计相应的界面与程序。 (二) 常微分方程数值解软件包【问题描述】设计一个集成多种求常微分方程数值解方法的软件包.【基本要求】用基于MATLAB下的GUI技术,
4、设计相应的界面与程序。 (三) 数值积分软件包【问题描述】设计一个集成多种数值积分方法数值计算软件包.【基本要求】用基于MATLAB下的GUI技术,设计相应的界面与程序。 (四) 非线性方程求根软件包【问题描述】设计一个集成多种求非线性方程根方法的软件包。【基本要求】用基于MATLAB下的GUI技术,设计相应的界面与程序。 (五) 线性方程组求解软件包【问题描述】设计一个集成多种迭代法求线性方程组解的软件包。【基本要求】用基于MATLAB下的GUI技术,设计相应的界面与程序。B类选题 典型应用问题的求解(一) 利用蒙特卡罗方法计算圆周率【问题描述】蒲丰(Buffon)是法国著名学者,于1777
5、年提出了用随机投针试验求圆周率的方法。在平面上画有等距离为的一些平行直线,向平面上随机投掷一长为()的针.设投针次数为,针与平行线相交次数为.试求针与一平行线相交的概率.令表示针的中点,表示针投在平面上,点与最近一条平行线的距离,表示针与平行线的交角(如下图所示)。 显然 ,.随机投针的概率含义是:针的中点与平行线的距离均匀地分布于区间内,针与平行线交角均匀分布于区间内,与是相互独立的。而针与平行线相交的充分必要条件是:。我们把投掷针到平面上理解为向区域G内“均匀分布”地投掷点,而求点落入G中的概率,显然,这一概率为此此表明:可以利用投针试验计算值.当投针次数充分大且针与平行线相交次,可用频率
6、作为概率的估计值,因此可求得的估计值为【基本要求】1 设计一个界面,用于参数n,l,a的输入.2 点落入区域G的演示3 m的动态显示。4 给出的近似值.【系统实现】1 投针状态的生成,可由两个随机数表示。2 当投针次数n过大时,系统运行时间较长,可考虑使用进度长来显示所需运行的时间。(二) 利用蒙特卡罗计算二重积分【问题描述】设积分区域为矩形区域,被积函数为连续函数。利用蒙特卡罗方法,计算二重积分的近似值。【基本要求】1 给出具体的计算模型。2 设计一个界面,输入相应的参数,输出二重积分的近似值.(三) 光盘存储问题【问题描述】设有n个文件,每个文件所需的存储空间为不超过1G。欲将这n个文件存
7、入容量为2G的光盘,应选择多少张光盘,又该如何安排文件来进行存储,使所有光盘剩余空间之和达到最小。这是一个多背包问题,可考虑使用贪心法来求解。【基本要求】1 建立文件存储光盘的策略模型。2 设计一个界面,可以输入所有文件存储容量,单张光盘容量。输出每张光盘所存储文件的容量。(四) 进水与出水问题研究水池内有2000m3盐水,含盐2kg,现以每分钟6 m3速度向池中注入含盐率为0.5 kg/m3的盐水,同时又以每分钟4 m3的速度从池中抽出搅拌均匀的盐水,每隔10分钟计算池中的水的体积、含盐量和含盐率。试用计算机模拟实际过程,将摸拟数据列表,从表中查出含盐率达到0.2kg/ m3时所用的时间。(
8、五) 分形图形的描绘【问题描述】组成部分以某种形式与整体相似的形体,称为分形。由生成元产生的分形是一种规则分形,是数学家们按一定规则构造出来的,相当于物理学中的模型,人们用这些人为构造出来的分形的性质来说明自然界中的实际问题。早在一百多年前,就有一些数学家构造出一些边界形状极不光滑的图形,这些图形长期以来被视为“病态”图形,只有当人们需要用到反例时才想到它们。这类图形有Cantor三分集、Koch雪花曲线、Weierstrass函数曲线、Sierpinski垫片等,它们的构造方式都有一个共同特点,即最终图形F都是按照一定规则R通过对初始图形F0不断修改得到的。找出绘制这些分形图像的方法,绘制这
9、些经典的分形图像。根据生成分形图像的规律,你创作出一至两幅分形图形。【基本要求】1 设计一个绘制常见分形图像的界面,并绘制这些经典的分形图形.2 总结分形图像的生成规律,自行设计分形图像。(六) 利用插值原理进行图像放大【问题描述】将一个图像放大,一般需要增加图像的像素点,而像素点的增加,可以根据插值原理来选取。【基本要求】1 对一幅图像,建立不同插值方法进行放大的处理界面。2 给出原图像经过放大后的图像。3 对各种插值方法放大图像的优缺点进行评价.C类选题 仿真系统设计与开发(一) 拉格朗日中值定理的仿真证明【问题描述】若在上连续,在上可导,则至少存在着一点,使得这是数学分析中著名的拉格朗日
10、中值定理。给出这一定理的计算机仿真证明。【基本要求】1 设计界面,输入函数和闭区间,演示拉氏中值定理的几何意义.2 给出计算近似值的计算方法,并将它输出在屏幕上。(二) 哥西中值定理的仿真证明若,在上连续,在上可导,且,则至少存在着一点,使得这是数学分析中著名的哥西中值定理.给出这一定理的计算机仿真证明。【基本要求】1 设计界面,输入函数、和闭区间,演示哥西中值定理的几何意义。2 给出计算近似值的计算方法,并将它输出在屏幕上。(三) 定积分第一中值定理的仿真证明若在上连续,则至少存在着一点,使得这是数学分析中著名的定积分中值定理。给出这一定理的计算机仿真证明.【基本要求】1 设计界面,输入函数
11、和闭区间,演示定积分中值定理的几何意义。2 给出计算近似值的计算方法,并将它输出在屏幕上.(四) 定积分第二中值定理的仿真证明若在上连续,则至少存在着一点,使得这是数学分析中著名的定积分中值定理.给出这一定理的计算机仿真证明。【基本要求】1 设计界面,输入函数和闭区间,演示定积分中值定理的几何意义。2 给出计算近似值的计算方法,并将它输出在屏幕上。(五) 龙格现象的演示【问题描述】对于龙格函数,在定义区间上,根据插值条件,其中,,作拉格朗日插值多项式。当时,龙格函数图像与其拉氏插值函数图像,在区间端点处,具有十分显蓍的差异.这是计算方法中一个十分有名的实验,称着龙格现象。试对于任意函数,定义区
12、间a,b以及n,演示是否存在着这种现象.【基本要求】设计界面,输入函数、闭区间和n,演示是否存在着龙格现象.(六) 闭区间的有限覆盖定理的仿真证明【问题描述】如果开区间的集合S盖住了一个有界的闭区间I,那么从S中必可选出有限个区间,它们也可以盖住闭区间I。这就是数学上著名的有限覆盖定理。对于某个给定的闭区间I和一系列开区间集合S,判断S是否可覆盖I.若S可覆盖I,则采用某种挑选策略,选出有限个区间,使它们可盖住I。【基本要求】1 设计被盖闭区间I,覆盖开区间集合S的输入界面.2 寻找S能否盖住I的判定条件.3 当S可盖住I时,寻找从S中挑选有限个开区间的策略(如使总区间的长度最小),使它们能覆
13、盖住I4用图像来演示其覆盖的状态,为使所演示的图像更逼真,应设置绘图的比例.(七) 埃特金加速法的演示【问题描述】将一般迭代通过埃特金加速法,将它改造成一个加速收敛的方法。并对其是否收敛,以及加速效果加以演示。【基本要求】设计界面演示其收敛性和收敛效果。(八) 用正交函数作最小二乘拟合的演示【问题描述】对于给定的数据点集以及权函数,构造带权正交的多项式,其中, ,而系数,满足以下关系式,所得到的最小二乘拟合函数为其中,系数满足以下关系式 这里,n可以事先给定,也可以通过仿真实验,确定n值.【基本要求】设计界面演示用最小二乘法拟合出来的多项式对离散数据点的拟合效果,离散数据点的输入,n值的输入以
14、及最小二乘拟合函数的输出。(九) 高尔顿钉板试验问题【问题描述】四级高尔顿钉板如下图所示,10个圆点示意10颗钉子,分别在1,2,3,4层上钉上1,2,3,4颗,下层钉了位于上层两颗钉子的中央位置,有一个球从顶部滑下,碰到第一层钉子将各以1/2的概率向左或向右滑入第二级,再滑至第三级,等等,一个一个地投放某个数量(例如100个)的球,滑入底层的收集槽内后,由概率得知将按一定的分布(二项分布)B(4,1/2)的近似图形堆积.我们希望能用动态图形在计算机屏幕上示意X的n次独立重复试验是二项分布B(n,1/2),即,这里,的意义是一小球钉板底层(标有0,1,2,3,4)的槽的号数,再用对分布函数和假
15、设检验法验证试验结果的正确性。【基本要求】设计界面演示高尔顿板实验,统计出相应数据,检验它是否服从B(4,1/2)分布。(十) 处处连续但处处不可微函数演示【问题描述】大约1860年前后,数学史上发生了一件引人注目的事情,魏尔斯特拉斯(Weierstrass。K)发现了在上处处连续但处处不可微的函数,他的例子于1874年由他的学生发表:其中,是正奇数且(例如,),这个函数有时称为魏尔斯特拉斯函数。继魏尔斯特拉斯之后,不断有人举出这样的例子,其中,被公认为形式与思想都比较简单的是,由范。德。瓦尔登(Van der Waerden。B.L。)于1930年给出的下述函数:对,设,即与离它最近的整数点
16、的距离,其中表示不超过的最大整数.的图象是以1为周期的折线,在0,1上的端点是(0,0)(1/2,1/2)(1,0)。对,,则在R上连续但处处不可微。1918年,克诺普(Knopp,K。)在一篇论文中给出了构造无处可微连续函数的一般方法,发现函数可以有处处连续但无处可微这样的反常性质,对于区分连续性与可微性,加深对函数本身的了解有重大推动作用.对诸如此类的病态函数的研究直接促进了实变函数论的建立.现在已经知道,处处连续但无处可微的函数是非常多的,它们的集合是贝第2范畴集.通过绘制这类病态函数的图象,直观地揭示其处处连续但处处不可微的特性,使学生能更好地理解函数的连续性与可微性。【基本要求】1
17、设计界面,输入相应参数,作这类病态函数图象.2 设计一个对图象局部可进行放大的功能,以便与读者更仔细地观察这类病态函数的任意点附近的细节。(十一) 黎曼定理的仿真证明【问题描述】在级数的收敛理论中,黎曼曾证明了这样的一个具有挑战性的定理:设有任意项级数,如果它条件收敛,则改变级数项的位置,可使改变后的级数发散。对于任意给定的实数,适当改变级数中项的位置,可使其级数收敛于。这一定理的发现与证明,对解决数学史上的第三次危机(即由微积分所带来的危机),提供了极大的帮助。交错级数是一个著名的条件收敛级数,以此例作为具体对象,研究黎曼定理的正确性。【基本要求】1 从理论上证明:改变条件收敛级数的某些项的
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