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八年级数学下册 第五章 分式与分式方程 4 分式方程第1课时 分式方程的概念及解法教案北师大版

八年级数学下册 第五章 分式与分式方程 4 分式方程第1课时 分式方程的概念及解法教案北师大版

年级：
姓名：

7
4 分式方程
第1课时 分式方程的概念及解法

【知识与技能】
1.理解分式方程的概念;
2.会通过设适当的未知数并根据等量关系列出分式方程；
3.学生掌握解分式方程的基本方法和步骤.
【过程与方法】
通过列出的方程归纳出它们的共同特点，得出分式方程的概念.了解分式的概念，明确分式和整式的区别；经历和体会解分式方程的必要步骤；使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想.
【情感态度】
在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力.
【教学重点】
掌握分式方程的解法、解，分式方程要验根.
【教学难点】
掌握分式方程的解法、解，分式方程要验根.

一.情景导入，初步认知
在这一章的第一节《分式》中，我们曾研究过一个“固沙造林，绿化家园”的问题.面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成计划任务.原计划每月固沙造林多少公顷？
分析：这一问题中有哪些已知量和未知量？
已知量：造林总面积2400公顷实际每月造林面积比原计划多30公顷提前4个月完成原任务
未知量：原计划每月固沙造林多少公顷
这一问题中有哪些等量关系？
实际每月固沙造林的面积=计划每月固沙造林的面积+30公顷
原计划完成的时间-完成实际的时间=4个月
我们设原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要_____个月，实际完成一期工程用了______个月，根据题意，可得方程____________.
【教学说明】
为了让学生经历从实际问题抽象.概括分式方程这一“数学化”的过程，体会分式方程的模型在解决实际生活问题中作用，利用第一节《分式》中一个熟悉的问题，引导学生努力寻找问题中的所有等量关系，发展学生分析问题.解决问题的能力.
二.思考探究，获取新知
探究1：分式方程的概念
问题：甲.乙两地相距 1400 km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用 9 h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的 2.8 倍．
（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
（2）如果设特快列车的平均行驶速度为 x km/h，那么 x 满足怎样的方程？
（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需 y h，那么 y 满足怎样的方程？
问题：为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知七年级同学捐款总额为4800 元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多 20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等．如果设七年级捐款人数为 x 人，那么 x 满足怎样的方程？
【教学说明】
再次让学生经历从实际问题抽象.概括分式方程这一“数学化”的过程，体会分式方程的模型作用.回顾刚才我们得出的 4个方程：

它们和我们以前所碰到的方程一样吗？有什么不一样的地方？上面所得到的方程有什么共同特点？
【教学说明】
通过让学生通过观察.归纳.总结出整式方程与分式方程的异同，从而得出分式方程的概念
【归纳结论】
分母中中含有未知数的方程叫做分式方程
探究2：分式方程的解法
1.解下列分式方程：

【教学说明】
通过观察，使学生发现可以将分式方程通过去分母转化成一元一次方程来求解.通过教师对例题讲解，让学生明确解分式方程的一般步骤.
【归纳结论】1.解分式方程的一般步骤：
（1）去分母（即在方程的两边都乘以最简公分母），把原分式方程化为_____；
（2）解这个整式方程；
2.下列哪种解法准确？
解分式方程
解法一： 将原方程变形为
方程两边都乘以x-2,得：1-x=-1-2
解这个方程，得：x=4.
解法二： 将原方程变形为方程两边都乘以x-2 ,得：1-x=-1-2(x-2)
解这个方程，得：x=2
你认为x=2是原方程的根？与同伴交流.
【归纳结论】
增根概念：将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根；
认识增根：
① 增根是去分母后所得的根；
② 增根使最简公分母的值为 ；
③ 增根（填“是”或“不是”）原方程的根.
三.运用新知，深化理解

A．2个 B.3个 C.4个 D.5个
答案：B.
（）是分式方程,（）是整式方程.
答案：B;A、C
3.王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元.后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元，原定的人数是多少？如果设原定是x人，那么 x 满足怎样的分式方程?

解：方程两边都乘以y（y-1），
得2y2+y（y-1）=（y-1）（3y-1），
2y2+y2-y=3y2-4y+1，3y=1，
解得y=1/3.
检验：当y=1/3时，y（y-1）=1/3×1/3-1=-2/9≠0，
∴y=1/3是原方程的解，
∴原方程的解为y=1/3.

解：两边同时乘以（x+1）（x-2），
得x（x-2）-（x+1）（x-2）=3．
解这个方程，得x=-1．
检验：x=-1时（x+1）（x-2）=0，x=-1不是原分式方程的解，
∴原分式方程无解．
（3）
解：方程的两边同乘（x-1）（x+1），
得3x+3-x-3=0，解得x=0．
检验：把x=0代入（x-1）（x+1）=-1≠0．
∴原方程的解为：x=0.
（4）
解：方程的两边同乘（x+2）（x-2），得2-（x-2）=0，解得x=4．
检验：把x=4代入（x+2）（x-2）=12≠0．∴原方程的解为：x=4.

再两边同乘以3x-1，得3（3x-1）-1=2，3x-1=1，x=2/3.
检验：把x=2/3代入（3x-1）：（3x-1）≠0，
∴x=2/3是原方程的根．∴原方程的解为x=2/3．
（6）
解：方程两边同乘以2（3x-1），
得：-2+3x-1=3，解得：x=2，
检验：x=2时，2（3x-1）≠0．所以x=2是原方程的解.
【教学说明】
通过学生的反馈练习，考察学生对分式方程概念的理解；以及解分式方程.使教师能全面了解学生对解分式方程是否清楚，以便教师能及时地进行查缺补漏.
四.师生互动,课堂小结
1.什么样的方程是分式方程？
2.解分式方程的一般步骤：
（1）去分母（即在方程的两边都乘以最简公分母），把原分式方程化为_____；
（2）解这个整式方程；
（3）检验：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母的值不等于零的根是原分式方程的_____，使最简公分母的值等于零的根是原方程的_____.
五.教学板书

布置作业:教材“习题5.7”中第1、2、3题.“习题5.8”中第1、2题.

虽然在课堂上做了很多，但也存在许多不足的地方，以下是教师在教学中应该注意的地方：第一，讲例题时，先讲一个产生增根的较好，这样便于说明分式方程有时无解的原因，也便于讲清分式方程检验的必要性，也是解分式方程与整式方程最大的区别所在，从而再强调解分式方程必须检验，不能省略不写这一步；第二，给学生的鼓励不是很多.鼓励可以让学生有充分的自信心.“信心是成功的一半”，在今后的课堂教学中，应尊重其差异性，尽可能分层教学，评价标准多样化，多鼓励，少批评；多肯定，少指责.用动态的、发展的、积极的眼光看待每个学生，帮助他们树立自信心.赞美的力量是巨大的，有时，一句赞美的话，可以改变人的一生.一句肯定的话、一个赞许的点头、一张表示优秀的卡片，都是很好的鼓励，会起到意想不到的良好结果.