初一数学绝对值典型例题精讲(2).doc
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1、初一数学精讲 绝对值 内容概述第三讲 绝对值 绝对值是有理数中非常重要的组成部分,它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石,希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。 绝对值的定义及性质绝对值 简单的绝对值方程 化简绝对值式,分类讨论(零点分段法) 绝对值几何意义的使用绝对值的定义及性质绝对值的定义:在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值,记作|a|。绝对值的性质:(1) 绝对值的非负性,可以用下式表示:|a|0,这是绝对值非常重要的性质; a (a0)(2) |a|= 0 (a=0) (代数意义) -a (a0) (3) 若|a|=a,则a0;若|a|
2、=-a,则a0;(4) 任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数,即|a|a,且|a|-a;(5) 若|a|=|b|,则a=b或a=-b;(几何意义)(6) |ab|=|a|b|;|=(b0);(7) |a|=|a|=a;(8) |a+b|a|+|b| |a-b|a|-|b| |a|+|b|a+b| |a|+|b|a-b|例1(1) 绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个?(2) 若ab|ab|,则下列结论正确的是( )A.a0,b0 B.a0,b0 C.a0,b0 D.ab0(3) 下列各组判断中,正确的是( )A若|a|=b,则一定有a=b B.若|a|b|,则一定有a
3、bC. 若|a|b,则一定有|a|b| D.若|a|=b,则一定有a=(-b) (4) 设a,b是有理数,则|a+b|+9有最小值还是最大值?其值是多少?分析:(1) 结合数轴画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的整数有3,4,有4个(2) 答案C不完善,选择D.在此注意复习巩固知识点3。(3) 选择D。(4) 根据绝对值的非负性可以知道|a+b|0,则|a+b|9,有最小值9巩固 绝对值小于3.1的整数有哪些?它们的和为多少?:绝对值小于3.1的整数有0,1,2,3,和为0。巩固 有理数a与b满足|a|b|,则下面哪个答案正确( ) A.ab B.a=b C.ab D.无法确定分析:选择D
4、。巩固 若|x-3|=3-x,则x的取值范围是_分析:若|x-3|=3-x,则x-30,即x3。对知识点3的复习巩固巩固 若ab,且|a|b|,则下面判断正确的是( ) A.a0 B.a0 C.b0 D.b0分析:选择C巩固 设a,b是有理数,则-8-|a-b|是有最大值还是最小值?其值是多少?分析:|a-b|0,-8-|a-b|-8,所以有最大值-8例2(1)(竞赛题)若3|x-2|+|y+3|=0,则的值是多少?(2)若|x+3|+(y-1)=0,求的值分析:(1)|x-2|=0,|y+3|=0,x=2,y=-3,= (2)由|x+3|+(y-1)=0,可得x=-3,y=1。=-1 n为偶
5、数时,原式=1;n为奇数时,原式=-1小知识点汇总:(本源 |a|0 b0) 若(x-a)+(x-b)=0,则x-a=0且x-b=0; 若|x-a|+(x-b)=0,则x-a=0且x-b=0; 若|x-a|+|x-b|=0,则x-a=0且x-b=0; 当然各项前面存在正系数时仍然成立,非负项增加到多项时,每一项均为0,两个非负数互为相反数时,两者均为0简单的绝对值方程【例3】(1) 已知x是有理数,且|x|=|-4|,那么x=(2) 已知x是有理数,且-|x|=-|2|,那么x=(3) 已知x是有理数,且-|-x|=-|2|,那么x=(4) 如果x,y表示有理数,且x,y满足条件|x|=5,|
6、y|=2,|x-y|=y-x,那么x+y的值是多少?分析: (1)4,-4 (2)2,-2, (3)2,-2 (4)x=5,y=2,且|x-y|=y-x,x-y0; 当x=5,y=2时不满足题意;当x=5,y=-2时不满足题意; 当x=-5,y=2时满足题意;x+y=-3;当x=-5,y=-2时满足题意,x+y=-7。【巩固】巩固|x|=4,|y|=6,求代数式|x+y|的值分析:因为|x|=4,所以x=4,因为|y|=6,所以y=6 当x=4,y=6时,|x+y|=|10|=10; 当x=4,y=-6时,|x+y|=|-2|=2; 当x=-4,y=6时,|x+y|=|2|=2; 当x=-4,
7、y=-6时,|x+y|=|10|=10【例4】解方程:(1) (2)|4x+8|=12 (3)|3x+2|=-1 (4)已知|x-1|=2,|y|=3,且x与y互为相反数,求的值分析:(1)原方程可变形为:|x+5|=,所以有x+5=,进而可得:x=-,-; (2)4x+8=12,x=1,x=-5 (3)此方程无解 (4)|x-1|=2,x-1=2,x=3,x=-1,|y|=3,y=3,且x与y互为相反数,所以x=3,y=-3,【例5】 若已知a与b互为相反数,且|a-b|=4,求的值分析:a与b互为相反数,那么a+b=0。 = 当a-b=4时,且a+b=0,那么a=2,b=-2,-ab=4;
8、 当a-b=-4时,且a+b=0,那么a=-2,b=2,-ab=4; 综上可得=4化简绝对式【例6】(1) 已知a=-,b=-,求的值(2) 若|a|=b,求|a+b|的值(3) 化简:|a-b|分析:(1)原式= (2)|a|=b,我们可以知道b0,当a0时,a=-b,|a+b|=0;当a0时,a=b,|a+b|=2b (3)分类讨论。 当a-b0时,即ab,|a-b|=a-b; 当a-b=0时,即a=b,|a-b|=0; 当a-b0时,即ab,|a-b|=b-a。【巩固】 化简:(1)|3.14-| (2)|8-x|(x8) 分析:(1)3.14,3.14-0,|3.14-|=-3.14
9、(2)x8,8-x0,|8-x|=x-8。【例7】有理数a,b,c在数轴上对应点如图所示,化简|b+a|+|a+c|+|c-b|CB0A分析:|b+a|+|a+c|+|c-b|=b+a-(a+c)-(c-b)=2b-2c【巩固】已知a,b,c在数轴上的位置如图所示,化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|a0cb分析:|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|=-a+b-c-a+c+b-a=2b-3a【巩固】数a,b在数轴上对应的点如图所示,是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a|a0b分析:|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a|=-(a+b)+(b-a)+b-(-2a)
10、=b【例8】(1)若a-b且,化简|a|-|b|+|a+b|+|ab| (2)若-2a0,化简|a+2|+|a-2| (3)已知x00,|y|z|x|,求|x+z|+|y+z|-|x-y|的值分析:(1)若a-b且,a0,b0,a+b0 |a|-|b|+|a+b|+|ab|=-a+b-a-b+ab=ab-2a (2)因为-2a0,所以a+20,a-20,|a+2|+|a-2|=(a+2)-(a-2)=4 (3)由x00可得:y0|z|x|,可得:yxz;原式=x+z-y-z-x+y=0【巩固】如果0m10并且mx10,化简|x-m|+|x-10|+|x-m-10| 分析:|x-m|+|x-10
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