八年级数学北师大版下学期期中复习.doc

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年 级
初二
学 科
数学
版 本
北师大版
内容标题
初二数学北师大版下学期期中复习
编稿老师
巩建兵

【本讲教育信息】
一。 教学内容:
期中复习

二. 教学目标：
1．一元一次不等式和一元一次不等式组的解法及应用．
2．分解因式．
3．分式运算和分式方程．
4．比例线段，相似三角形的判定、性质和应用．

三。 知识要点分析：
1．一元一次不等式和一元一次不等式组
（1）一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法类似，根据不等式的基本性质将其变形为ax＞b（或ax＜b）的形式，再将x的系数化为1．所不同的是，若a＜0，不等号的方向要改变．
（2)对于一元一次不等式组,先解不等式组中的每一个不等式，再利用数轴求它们解集的公共部分．
（3）一元一次不等式kx＋b＜0(或kx＋b＞0）的解集，就是直线y=kx＋b上满足y＜0（或y＞0)的那条射线（不包含端点)所对应的自变量的取值范围．
2．分解因式
分解因式的常用方法：（1）提公因式法:am＋bm＋cm=m（a＋b＋c);（2)运用公式法：①平方差公式:a2－b2=（a＋b）（a－b）;②完全平方公式:a2±2ab＋b2=(a±b）2．
3．分式
（1）分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变．
(2）分式有意义的条件：分母不等于零,即B≠0→有意义．
（3）分式值为零的条件:分子等于零且分母不等于零,即A=0，B≠0→=0．
(4）分式的乘法法则：×=,分式的除法法则:÷=×=．
（5）同分母分式加减法法则：±=，异分母分式加减法法则:±=±=．
(6)解分式方程的基本思想:分式方程→整式方程．
（7）在解分式方程“去分母”时方程两边所乘的最简公分母如果为零就会产生增根,所以解分式方程必须验根．
4．比例线段，相似三角形的判定、性质
（1）比例的性质：①=ad=bc；②==；③==；④===…=（b＋d＋f＋…＋n≠0）=．
（2）相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
（3）两三角形相似的条件：①两角对应相等的两个三角形相似;②三边对应成比例的两个三角形相似;③两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．

【典型例题】
知识点1:一元一次不等式和一元一次不等式组
例1．解不等式组并写出非负整数解．
题意分析：非负整数是指大于或等于0的整数．
思路分析：先解不等式，再利用数轴找出解集的公共部分，求出不等式组的解集,最后在其解集中找出非负整数．
解：解不等式①得x≤1，
解不等式②得x＜4．
在数轴上表示不等式①、②的解集，如图所示：

这两个不等式解集的公共部分是x≤1．
所以不等式组的解集是x≤1，非负整数解有0、1．
解题后的思考:求不等式（组)的特殊解时，要注意两点:一是正确求解不等式（组），二是正确理解像“整数、负整数、非负整数、非正整数等”这些词语．

例2．某社区计划购买甲、乙两种树苗共600棵,甲、乙两种树苗单价及成活率见下表:
种类
单价（元）
成活率
甲
60
88％
乙
80
96%
（1）若购买树苗资金不超过44000元，则最多可购买乙树苗多少棵？
（2）若希望这批树苗成活率不低于90%，并使购买树苗的费用最低，应如何选购树苗？购买树苗的最低费用为多少？
题意分析：“不超过"是指小于或等于，“不低于"是指大于或等于．
思路分析：（1）如果设购买了乙种树苗x棵，其费用为80x元；那么购买甲种树苗就是（600－x）棵，其费用是60（600－x）元．二者相加小于等于44000．即60（600－x)＋80x≤44000，解得x≤400．(2）一共购买600棵,成活率不低于90%，即成活的棵数要求大于等于540棵．甲的成活率是88%,乙的成活率是96％，甲、乙两种树苗共600棵，成活棵数是（600－x）×88%＋x×96%．即（600－x）×88％＋x×96％≥540．解得x≥150，在这个范围内成活率不会低于90％，由于乙种树苗的单价是80元，甲种树苗的单价是60元，所以x的值越大，总费用越大．显然当x取最小值的时候，费用最低．将x=150代入50(600－x）＋80x就是最低费用．
解：（1)设最多可购买乙树苗x棵，则购买甲树苗（600－x）棵,
60（600－x）＋80x≤44000，
解得x≤400．
答：最多可购买乙树苗400棵．
（2)设购买树苗的费用为W，则W=60（600－x）＋80x，
即W=20x＋36000,
根据题意，（600－x）×88%＋x×96％≥540．解得x≥150．
当x=150时，W取最小值．
W最小=20×150＋36000=39000．
答:当购买乙树苗150棵时费用最低,最低费用为39000元．
解题后的思考：这是一道设计方案型的题目,解决这类问题要注意最优方案应满足的条件．
小结：解不等式的基本思路是把未知数移到不等号的一边，已知数移到不等号的另一边,注意系数化为1时不等号的方向是否需要改变；解不等式组时先解每一个不等式，再找它们解集的公共部分，可借助数轴,既直观,又准确．

知识点2：分解因式
例3．完成下列各题：
（1）分解因式x（x＋4）＋4的结果是__________．
（2）20082－20072＋20062－20052＋…＋22－12=__________．
思路分析：（1）应该先做乘法，再运用公式法分解．（2)20082－20072可用平方差公式运算得（2008＋2007）×1，这里不要把2008＋2007计算出来，否则下一步计算将变得十分困难．20062－20052及以后各加数也用类似的方法．
解：（1）(x＋2)2（2）2017036
解题后的思考：在实际运算过程中,有时不要急于计算，先观察、找方法,再计算．贸然计算可能会使问题更复杂．

例4．已知a2＋a－1=0,求代数式a4－2a2＋a的值．
题意分析：已知一个关于a的方程，求代数式的值,通常的思路是根据已知求出a的值，再代入求解,这种方法往往非常复杂．
思路分析：把所求代数式变形，或者把已知和所求都变形,找出它们所含的相同式子,再以整体代入的方法求解．
解：由a2＋a－1=0
a4－2a2＋a=a(a3－2a＋1）
=a（a3－a－a＋1）
=a［a（a2－1）－a＋1］

解题后的思考：本题变形方法较多，可有多种不同的解法，如a2－2a＋1－2a2＋a=－a2－a＋1=－（a2＋a－1）=0．
小结:因式分解是整式乘法的逆运算,其主要作用是用于分式约分、解方程、简化计算、求代数式的值．

知识点3：分式
例5．已知x=－2，求（1－)÷的值．
题意分析：要求值的代数式是分式的混合运算．
思路分析：按照分式的运算法则，先计算、化简,再代入未知数的值求解．
解：（1－）÷
=(）÷
=·
=
当x=－2时,原式===－．
解题后的思考：求代数式的值，能化简的要先化简再代入求值．

例6．某项工程，原计划50人在若干天内完成，开工时由于采用新技术，工作效率提高了60%,现只派40人去工作，结果比原计划提前7天完成任务，求原计划工作多少天？
题意分析:此项工程如果50人用x天完成，则每天可完成，每人每天可完成．
思路分析：解此题的关键是准确用代数式表示出每人每日的工作效率，等量关系是：原来每人日工作效率×（1＋60％）=现在每人的日工作效率．
解:设原计划用x天完成，则现在实际只用了（x－7)天,原来每人日工作效率为，现在每人日工作效率为．依题意列方程，得：
×（1＋60%)=．
整理,得1。6×40（x－7)=50x．
所以x=32．
经检验x=32是原方程的解．
答:原计划要工作32天．
解题后的思考:列分式方程解应用题的步骤和列整式方程解应用题的步骤相同：①弄清题意;②设定未知数;③根据题目中的等量关系列出分式方程；④解分式方程；⑤检验并写出问题的答案，检验时既要检验得到的根是不是分式方程的增根，又要检验是否符合实际．
小结：对分式的考查主要是：分式有意义的条件、分式值为零的条件、分式的运算、分式方程的解法及应用题．

知识点4：比例线段，相似三角形的判定、性质
例7．如图所示，D是△ABC的边AB上的一点,当∠1=__________，∠2=__________时，或=__________=__________时，△ADC∽△ACB．

题意分析：添加一个条件使△ADC∽△ACB．
思路分析：要使△ADC∽△ACB,根据相似三角形的定义，三组对应角分别相等，三组对应边成比例，由图可知，∠A为公共角，∠1的顶点与∠ACB的顶点重合．所以点A与点A对应，点C与点B对应，点D与点C对应，所以∠1=∠B，∠2=∠ACB，==．
解：∠B,∠ACB，，
解题后的思考：在找对应边、对应角时，应先观察图形，找出图形中的条件，如公共角、公共边等，再找出对应顶点、对应边和对应角．在写相似表达式时,应尽量把对应顶点的字母写在对应的位置上．

例8．如图所示，地面上直立着的两根高压电线杆相距50m(CD的长度），分别在高为30m的A处和20m的B处用钢索将两电线杆固定．
（1）求钢索AD和钢索BC的交点E处离地面的高度．
(2）若两电线杆的距离（CD的长度)发生变化，点E离地面的高度是否随之发生变化?说明理由．

题意分析：根据题意可知△ACD和△BCD都是直角三角形,且AC=30m，BD=20m，求点E到CD的距离，当CD的长度变化时，点E到CD的距离是否发生变化．
思路分析：所求距离不能用勾股定理求解，应考虑相似三角形．
解:（1）作EF⊥CD于F，
因为AC⊥CD，BD⊥CD，所以AC∥BD∥EF．
所以△DEF∽△DAC，△CEF∽△CBD，
所以=,=．
所以＋=＋==1．
因为AC=30，BD=20,所以＋=1，解得EF=12（m)．
即钢索AD与钢索BC的交点E离地面的高度是12m．
(2)若两电线杆的距离(CD的长度）发生变化，点E离地面的高度不发生变化．因为从（1）中可知，CD为任意长时总有：＋=1,EF(＋)=1．所以EF=．故EF的长度与CD的长度无关．
解题后的思考：当图形中有平行线、对顶角、公共角等与相似三角形有密切关系的条件时,可利用相似三角形的性质求解．
小结：相似三角形判定方法的作用:①可以用来判定两个三角形相似;②间接说明角相等，线段成比例;③间接为计算线段长度及角的大小创造条件．
总结：本讲内容多为基础性知识，各类考试难度一般不大,通常以填空题、选择题和简单的解答题为主．学习时注意和相关知识的对比和联系．

【模拟试题】（答题时间：50分钟）
一．选择题
1．不等式2x－6＜0的解集是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＞－3 D．x＜－3
2．把多项式2x2－8x＋8分解因式，结果正确的是( ）
A．（2x－4）2 B．2（x－4)2 C．2（x－2）2 D．2（x＋2）2
3．已知xy=mn，则把它改写成比例式后,错误的是( ）
A．= B．= C．= D．=
4．化简（a－)·的结果是( )
A．a－b B．a＋b C． D．
5．若分式的值为零,则x的值为( ）
A．1 B．－1 C．1或－1 D．0
＊6．以下两个图形必定相似的是（ )
A．有两条边对应成比例的等腰三角形
B．有一角是25°的等腰三角形
C．有一个角是100°的等腰三角形
D．有一个角相等，两边成比例的三角形
**7．若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3 B．m＜3 C．m≥3 D．m=3
＊＊8．在△ABC中，AB=24，AC=18,D是AC上一点，AD=12,在AB上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与△ABC相似，则AE的长为（ ）
A．16 B．14 C．16或14 D．16或9

二．填空题
1．不等式3x＋2≥5的解集是__________．
2．已知=3，则=__________．
3．已知：△ABC∽△A’B'C',△ABC的三边之比为3∶4∶5．若△A’B’C'的最长边为20cm,则它的最短边长为_________cm．
4．若的值为零，则x的值是__________．
5．若a2＋a－1=0,则2a2＋2a＋2008=__________．
6．若分式方程=有增根，则m的值为__________．
*7．某公司打算至多用1200元印制广告单．已知制版费50元，每印一张广告单还需支付0.3元的印刷费，则该公司可印制的广告单数量x（张）满足的不等式为__________．
＊*8．如图所示是甲、乙两家商场销售同一种产品的售价y（元）与销售量x(件）之间的函数图象．下列说法:①售2件时，甲、乙两家售价相同；②买1件时，买乙家的合算；③买3件时，买甲家的合算；④乙家的1件售价约为3元．其中正确的说法是__________．（填序号）

三．解答题
1．解不等式组,并在所给的数轴上表示出其解集．
2．先化简，再求值：（1－）÷,其中x=2．
3．如图，已知：△ADE∽△ABC,AD∶AB=1∶3，AE=4cm．求EC的长．

＊4．某工程队承接了3000米的修路任务，在修好600米后,引进了新设备，工作效率是原来的2倍,一共用30天完成了任务．求引进新设备前平均每天修路多少米．
＊＊5．某公司计划生产甲、乙两种产品共20件，其总产值w（万元）满足:1150＜w＜1200,相关数据如下表．为此，公司应怎样设计这两种产品的生产方案．
产品名称
每件产品的产值(万元）
甲
45
乙
75

【试题答案】
一．选择题
1．B 2．C 3．C 4．B 5．B 6．C
7．A【解不等式组得，从数轴上看，当m≤3时其公共部分是x＞3】
8．D【当∠ADE=∠C时，=,AE=16；当∠ADE=∠B时，=，AE=9】

二．填空题
1．x≥1 2．5 3．12
4．－3【由︱x︱－3=0得x=±3．当x=3时，x2－2x－3=0;当x=－3时，x2－2x－3≠0．所以满足条件的x的值是－3】
5．2010【由a2＋a－1=0得a2＋a=1， 2a2＋2a＋2008=2（a2＋a）＋2008=2010】
6．3【解=得x=m＋1，若方程有增根则增根为4，此时m=3】
7．50＋0。3x≤1200
8．①②③【由图像可知,当x=2时y甲=y乙；当x＜2时，y甲＞y乙；当x＞2时，y甲＜y乙．当x=1时，y甲=3，y乙≈2】

三．解答题
1．－1≤x＜3，(在数轴上表示略)．
2．原式==1．
3．因为△ADE∽△ABC,所以AD∶AB=AE∶AC．因为AD∶AB=1∶3,AE=4cm，所以1∶3=4∶AC,解得AC=12cm,所以EC=AC－AE=12－4=8cm．
4．设引进新设备前平均每天修路x米，则引进新设备后每天修路2x米．根据题意，得＋=30．解得x=60．经检验，x=60是原方程的解，且符合题意．答：引进新设备前平均每天修路60米．
5．设计划生产甲产品x件，则生产乙产品(20－x）件，根据题意，得，解得10＜x＜．因为x为整数，所以x=11，此时,20－x=9(件）．答：公司应安排生产甲产品11件,乙产品9件．