数列经典例题(裂项相消法).doc
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1、(完整版)数列经典例题(裂项相消法)数列裂项相消求和的典型题型1已知等差数列的前n项和为则数列的前100项和为()A B C D2数列其前项之和为则在平面直角坐标系中,直线在y轴上的截距为()A10 B9 C10 D93等比数列的各项均为正数,且()求数列的通项公式;()设求数列的前项和4正项数列满足()求数列的通项公式;()令求数列的前项和5设等差数列的前项和为,且()求数列的通项公式;()设数列满足求的前项和6已知等差数列满足:的前项和为()求及;()令求数列的前项和7在数列中()求的通项公式;()令求数列的前项和;()求数列的前项和8已知等差数列的前3项和为6,前8项和为4()求数列的通
2、项公式;()设求数列的前项和9已知数列满足且对都有()求;()设证明:是等差数列;()设求数列的前项和10已知数列是一个公差大于0的等差数列,且满足()求数列的通项公式;()数列和数列满足等式求数列的前项和11已知等差数列的公差为2,前项和为,且成等比数列(1)求数列的通项公式;(2)令求数列的前项和.12正项数列的前n项和满足:。(1)求数列的通项公式;(2)令数列的前n项和为,证明:对于都有.答案:1A;2B3解:()设数列an的公比为q,由a32=9a2a6有a32=9a42,q2=由条件可知各项均为正数,故q=由2a1+3a2=1有2a1+3a1q=1,a1=故数列an的通项式为an=
3、()bn=+=(1+2+n)=,故=2()则+=2(1)+()+()=,数列的前n项和为4解:()由正项数列an满足:(2n1)an2n=0,可有(an2n)(an+1)=0an=2n()an=2n,bn=,bn=,Tn=数列bn的前n项和Tn为5解:()设等差数列an的首项为a1,公差为d,由S4=4S2,a2n=2an+1有:,解有a1=1,d=2an=2n1,nN()由已知+=1,nN*,有:当n=1时,=,当n2时,=(1)(1)=,n=1时符合=,nN*由()知,an=2n1,nN*bn=,nN*又Tn=+,Tn=+,两式相减有:Tn=+(+)=Tn=36解:()设等差数列an的公差
4、为d,a3=7,a5+a7=26,有,解有a1=3,d=2,an=3+2(n1)=2n+1;Sn=n2+2n;()由()知an=2n+1,bn=,Tn=,即数列bn的前n项和Tn=7解:()由条件有,又n=1时,故数列构成首项为1,公式为的等比数列,即()由有,两式相减,有:,()由有Tn=2Sn+2a12an+1=8解:()设an的公差为d,由已知有解有a1=3,d=1故an=3+(n1)(1)=4n;()由()的解答有,bn=nqn1,于是Sn=1q0+2q1+3q2+nqn1若q1,将上式两边同乘以q,有qSn=1q1+2q2+3q3+nqn上面两式相减,有(q1)Sn=nqn(1+q+
5、q2+qn1)=nqn于是Sn=若q=1,则Sn=1+2+3+n=,Sn=9解:()由题意,令m=2,n=1,可有a3=2a2a1+2=6再令m=3,n=1,可有a5=2a3a1+8=20()当nN*时,由已知(以n+2代替m)可有a2n+3+a2n1=2a2n+1+8于是a2(n+1)+1a2(n+1)1(a2n+1a2n1)=8即bn+1bn=8bn是公差为8的等差数列()由() ()解答可知bn是首项为b1=a3a1=6,公差为8的等差数列则bn=8n2,即a2n+1a2n1=8n2另由已知(令m=1)可有an=(n1)2an+1an=2n+1=2n+1=2n于是cn=2nqn1当q=1
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