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收益率曲线计算方法浅析
杨华

目前债券绝大部分是银行间品种，只能在银行间交易，只有少量可以跨市场交易，考虑到我国债券市场的情况，直接以市价估值显然不合适，一个原因是，某些债券很少有交易，甚至一段时间都没有一笔发生，另外一个原因是，即使有交易，价格的真实性和代表性也不能保证，而报价也是如此，这样采用收益率曲线进行估值是比较合适的。收益率曲线的生成主要包括以下几种方法：
1） 存续期限法（Duration）
该方法由Macaulay提出，依照麦氏存续期限的定义，存续期限相同的债券，不论息票利率如何、不论是附息债还是零息债券，皆视为具有相同有效期限的债券，在其他因素如流动性等相同的情况下，市场对具有相同存续期限的附息债和零息债所要求的到期收益率必须是相等的，因此可以通过各债券的到期收益率和久期绘制出来，图形上相当于将到期收益率曲线向左移动（并非平移），如下图所示：

这种方法比较简单，但其对即期收益率的估计比较粗糙，计算久期的本身就蕴含了收益率曲线为水平形状的假设

2） 一般计量方法
计量方法假定即期利率和时间因子存在着某种特定的函数关系，再以相应的计量方法对函数中的系数进行估计，从而得到一个适用于所有到期期限的即期利率曲线。
在即期利率方式下，债券价格有如下的表达式：

其中，PV为债券的现价（全价），C为票息，M为本金，N为剩余附息次数，ti为各期附息或还本的剩余时间，y(ti)为相应的即期利率。
令为折现函数，则

我们可以假定函数D(t)可以近似表示为t的多项式函数（任意一个连续可微函数可以用多项式逼近），这样，债券现值也就成为一个多元多项式函数，将市场上的各附息债券的现价、到期日期、票息等代入，就可以形成一组方程，其中包括待解的多项式的系数，利用上述的计量方法算出这些系数，就可以得到各期的即期收益率。
这种方法的优点是，除了能够在统计上检验曲线的拟合情况以及参数的显著性特征外，还可以得到即期利率的解析表达式，根据即期利率同远期利率的内在关系，能够方便的得到远期利率的表达式。但这种方法的缺点是模拟的误差较大，虽然可以通过提高多项式的次数来解决，但会造成结果的不稳定。
计量方法的具体算法如下：
设
由于D(0)=1,所以ɑ0=1,假设本金M=100元，票息不变（即为固定利率债券），则有：

对于每一个附息债券，我们可以计算出上面的x0,x1,x2,x3,而对于交易所市场上的债券集，就可以得到一组含待定系数的等式，这样我们就可以通过最小二乘估计或者极大似然估计得到这些待定系数的最优解。具体地，对于k个债券的情形，我们得到k个线性等式：

令
在考虑进残差项，线性拟合方程为：
，其中,var(ε)=σ2Ik ,Ik为k阶单位矩阵。
这样就可以得出待定系数向量β的估计值为：
（1）
实际中，各债券对应的误差项εi的方差可能并不相同，而是随着债券到期期限越长，变得越大，再用（1）来估计，拟合的误差就会较大。
现假设var(ε)=σ2Ω,其中，则β的相应估计值为：
（2）
上式中wi可以去成如下的值：
，其中Di为债券i的修正久期。
根据计算得到的β，就可以计算各到期日的折现率，得出各个到期日的即期收益率，进而绘制出即期收益率曲线。而且对于参数的显著性，线性拟合的准确度可以做相应的统计推断。总体上，可以按照如下的两个步骤进行：
第一步：样本券的选择
样本按照各期限区间上个债券的发行规模、剩余期限、流动性水平、交易活跃程度等标准进行筛选。区间的制定可参考中央国债结算公司等，将指标年限划分为1年、2年、3年、5年、7年、10年、15年、20年等。以所有符合条件的债券的历史交易数据为依据，按照交易量、换手率等指标进行排序；同等条件下，优先选取交易量大而稳定、较近期发行的固定利率债券。并定期对筛选的样本债券进行调整。
第二步：根据上述的算法，计算各期的即期利率并绘制曲线图。

2）Spline方法
这种方法相当于将上面的折现函数D(t)分成几段，然后对于每段采用上面的计量方法，同时保持整段曲线的连续，函数及其微分函数在各段交接点处连续。最后将折现函数表示成分段的多项式函数。采取这种方法，是为了提高拟合度，同时减少多项式的次数，但对于在何处分段，有不同的方法，可以按照市场债券到期的分布情况进行分段，或按照长、中、短期分段等。
现假设将贴现函数分成m段，且在每段上表示为3次多项式的函数，这样在整个区间上的贴现函数可以表示为：

相应的待定系数向量β也有m个：β1，β2，…，βm,而贴现函数连续可微的条件表示为：

以上的限制条件共3m-3个方程，3m个待定系数，有无数可行解。同前面一般计量方法，在k个债券的情况下同样可以得到k个线性等式，不同的是，每个等式中，至多将包含3m个待定系数，这是因为每只债券不同期限的现金流将根据到期期限的不同选择相应的贴现函数，即选择相应的待定系数，特别地，对跨越整个区间的长期债券来说，等式中将取满所有3m个待定系数。
假设：

再设：

并将限制条件写成：
的形式，其中：
为(3m-1)×3m矩阵
我们同样得到拟合方程：
，根据误差协方差矩阵的不同，我们可以得到在上述限制条件下的估计为：

这样就可以估计出所有3m个待定系数，从而得到整个区间的贴现函数和即期收益率函数。
在得到即期收益率的多项式表达后，我们就可以绘制即期收益率曲线，并且对市场上的债券进行定价，从而发现被高估或者低估的债券，对于市场定价偏离一定程度的债券，可以给出买入或卖出的投资建议，当然这种投资建议没有考虑流动性等因素，而是仅从即期利率结构出发给出的。除了上述的方法外，还可以通过更复杂的利率模型来生成，这里省略。
上述不同的方法生成的收益率曲线会有所不同，同时收益率曲线的生成结果也和样本的选择有关，从样本范围的选取来看，应按照经验选择成交相对比较活跃的品种，同时期限尽可能平均分布并跨越较大的范围，这里有几个问题，首先是选取的时间长度问题，如果仅仅以某一天的收盘价为样本数据，可能样本量严重不足，因此时间长度可以扩展为一周或者两周，既可以使样本量增大，期限涵盖加宽，同时也使得交易活跃的券种的影响力加大（权数增大）。其次对于长期国债，由于在银行间市场可能几个周甚至几个月没有成交，因此可以找交易所券种21国债（7）和03国债（3）代替，这样可以使期限延长至20年，对于30年超长期债券，可以不加入曲线的生成。另外，对于跨市场券种，尽可能以交易所价格信息为准。

　杨华，1997年获上海交大管理学院学士学位，2002年获北京大学数学科学院硕士学位，目前在兴业银行资金营运中心从事债券组合研究工作。

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