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九年级数学下册 第2章 圆知识归纳湘教版

九年级数学下册 第2章 圆知识归纳湘教版

年级：
姓名：

9
圆
24.1 圆
定义：（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
　　 （2)平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。
　　圆心：（1）如定义（1）中，该定点为圆心
　　（2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。
　　（3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。
　　（4） 垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。
　　注：圆心一般用字母O表示
　　直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。
　　半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。
　　圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。
　　圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
　　圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。
　　圆的周长与直径的比值叫做圆周率。
　　圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。
　　直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。
　　圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr2，用字母S表示。
　　一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。
　　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
　　在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
　　在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。
　　周长计算公式
　　1.、已知直径：C=πd 　　2、已知半径：C=2πr 　　3、已知周长：D=c\π
　　4、圆周长的一半:1\2周长(曲线) 　　5、半圆的长：1\2周长+直径
　　面积计算公式：
　　1、已知半径：S=πr平方 　　2、已知直径：S=π（d\2）平方 3、已知周长：S=π(c\2π)平方
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
1. 点和圆的位置关系
① 点在圆内点到圆心的距离小于半径 ② 点在圆上点到圆心的距离等于半径
③ 点在圆外点到圆心的距离大于半径
2. 过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。
3. 外接圆和外心
经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。
外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
4. 直线和圆的位置关系
相交：直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。
相切：直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。
相离：直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离。
5. 直线和圆位置关系的性质和判定
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么
① 直线和⊙O相交；② 直线和⊙O相切；③ 直线和⊙O相离。
圆和圆
定义：
两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆的外离。
两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做两个圆的外切。
两个圆有两个交点，叫做两个圆的相交。
两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做两个圆的内切。
两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆的内含。
原理：
圆心距和半径的数量关系：
两圆外离＜＝＞ d＞R+r 两圆外切＜＝＞ d=R+r
两圆相交＜＝＞ R-r<d<R+r(R>＝r) 两圆内切＜＝＞ d=R-r(R>r)
两圆内含＜＝＞ d<R-r(R>r)
24.3 正多边形和圆
1、正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
　　2、正多边形与圆的关系：
　　(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形。
　　(2)这个圆是这个正多边形的外接圆。
　　3、正多边形的有关概念：
　　(1)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心。
　　(2)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径。
　　(3)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离。
　　(4)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角。
　　4、正多边形性质：
　　(1)任何正多边形都有一个外接圆。
　　(2)正多边形都是轴对称图形，当边数是偶数时，它又是中心对称图形，正n边形的对称轴有n条。
　　(3)边数相同的正多边形相似。
　　　　重点：正多边形的有关计算。
　　　　知识讲解
　　1、正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。
　　例如：正三角形、正四边形(正方形)、正六边形等等。如果一个正多边形有n条边，那么，这个多边形叫正n边形。
　　再如：矩形不是正多边形，因为它只具有各角相等，而各边不一定相等；菱形不是正多边形，因为，它只具有各边相等，而各角不一定相等。
　　2、正多边形与圆的关系。
　　正多边形与圆有密切关系，把圆分成n(n≥3)等份，依次连结分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形。
　　相邻分点间的弧相等，则所对的弦(正多边形的边)相等，相邻两弦所夹的角(多边形的每个内角)都相等，从而得出，所连的多边形满足了所有边都相等，所有内角都相等，从而这个多边形就是正多边形。
　　如：将圆6等分，即，则AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA。

　　观察∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F所对的弧可以发现都是相等的弧，所以，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F。
　　所以，将一个圆6等分，依次连结各分点所得到的是⊙O的内接正六边形。
　　3、正多边形的有关计算。
　　(1)首先要明确与正多边形计算的有关概念：即正多边形的中心O，正多边形的半径Rn——就是其外接圆的半径，正多边形的边心距rn，正多边形的中心角αn，正多边形的边长an。
　　(2)正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形，等腰三角形的顶角就是正n边形的中心角都等于；如果再作出正n边形各边的边心距，这些边心距又把这n个等腰三角形分成了2n个全等的直角三角形。

　　如图：是一个正n边形ABCD……根据以上讲解，我们来分析RtΔAOM的基本元素：
　　斜边OA——正n边形的半径Rn；
　　一条直角边OM——正n边形的边心距rn；
　　一条直角边AM——正n边形的边长an的一半即AM＝an；
　　锐角∠AOM——正n边形的中心角αn的一半即∠AOM＝；
　　锐角∠OAM——正n边形内角的一半即∠OAM＝[(n－2)·180°]；
　　可以看到在这个直角三角形中的各元素恰好反映了正n边形的各元素。
　　因此，就可以把正n边形的有关计算归纳为解直角三角形的问题。
　　　4、正多边形的有关作图。
　　(1)使用量角器来等分圆。
　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形。
　　(2)用尺规来等分圆。
　　对于一些特殊的正n边形，还可以用圆规和直尺作出图形。
　　①正四、八边形。

　　在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。
　　②正六、三、十二边形的作法。
　　　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。
　　显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。
　　同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O12等分……。
　　　5、正多边形的对称性。
　　正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心，如果正多边形有偶数条边，那么，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。
　　如：正三角形、正方形。
24.4 弧长和扇形面积
知识点1、弧长公式
因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：，
说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不要错写成。
（2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。

知识点2、扇形的面积
如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，所以圆心角为1°的扇形面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。
又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：。

知识点3、弓形的面积
（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。
（2）弓形的周长＝弦长＋弧长
（3）弓形的面积
如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。

当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示， 
当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示，
当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示，
注意：（1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。

圆周长
弧长
圆面积
扇形面积
公
式

（2）扇形与弓形的联系与区别
（2）扇形与弓形的联系与区别
图
示

面
积

知识点4、圆锥的侧面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2，圆锥的侧面积，圆锥的全面积

说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。
（2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。
知识点5、圆柱的侧面积
圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，若圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的侧面积，圆柱的全面积
知识小结：
圆锥与圆柱的比较
名称
圆锥
圆柱
图形

图形的形成过程

由一个直角三角形旋转得到的，如Rt△SOA绕直线SO旋转一周。
由一个矩形旋转得到的，如矩形ABCD绕直线AB旋转一周。
图形的组成
一个底面和一个侧面
两个底面和一个侧面
侧面展开图的特征
扇形
矩形
面积计算方法