江苏专转本高等数学真题(附答案).doc

2001年江苏省普通高校“专转本”统一考试
高等数学
一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1、下列各极限正确的是 （ ）
A、 B、 C、 D、
2、不定积分 （ ）
A、 B、 C、 D、
3、若，且在内、，则在内必有 （ ）
A、, B、,
C、, D、,
4、 （ ）
A、0 B、2 C、－1 D、1
5、方程在空间直角坐标系中表示 （ ）
A、圆柱面 B、点 C、圆 D、旋转抛物面
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
6、设，则
7、的通解为
8、交换积分次序
9、函数的全微分
10、设为连续函数，则
三、计算题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
11、已知，求.
12、计算.
13、求的间断点，并说明其类型.

14、已知，求.

15、计算.
16、已知，求的值.
17、求满足的特解.

18、计算，是、、围成的区域.

19、已知过坐标原点，并且在原点处的切线平行于直线，若，且在处取得极值，试确定、的值，并求出的表达式.

20、设，其中具有二阶连续偏导数，求、.

四、综合题（本大题共4小题，第21小题10分，第22小题8分，第23、24小题各6分，共30分）
21、过作抛物线的切线，求
（1）切线方程；
（2）由，切线及轴围成的平面图形面积；
（3）该平面图形分别绕轴、轴旋转一周的体积。

22、设，其中具有二阶连续导数，且.
（1）求，使得在处连续；
（2）求.

23、设在上具有严格单调递减的导数且；试证明：
对于满足不等式的、有.

24、一租赁公司有40套设备，若定金每月每套200元时可全租出，当租金每月每套增加10元时，租出设备就会减少一套，对于租出的设备每套每月需花20元的维护费。问每月一套的定金多少时公司可获得最大利润？

2002年江苏省普通高校“专转本”统一考试
高等数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1、下列极限中，正确的是 （ ）
A、 B、
C、 D、
2、已知是可导的函数，则 （ ）
A、 B、 C、 D、
3、设有连续的导函数，且、1，则下列命题正确的是 （ ）
A、 B、
C、 D、
4、若，则 （ ）
A、 B、 C、 D、
5、在空间坐标系下，下列为平面方程的是 （ ）
A、 B、 C、== D、
6、微分方程的通解是 （ ）
A、 B、 C、 D、
7、已知在内是可导函数，则一定是 （ ）
A、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D、不能确定奇偶性
8、设，则的范围是 （ ）
A、 B、 C、 D、
9、若广义积分收敛，则应满足 （ ）
A、 B、 C、 D、
10、若，则是的 （ ）
A、可去间断点 B、跳跃间断点 C、无穷间断点 D、连续点
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11、设函数是由方程确定，则
12、函数的单调增加区间为
13、
14、设满足微分方程，且，则
15、交换积分次序
三、计算题（本大题共8小题，每小题4分，共32 分）
16、求极限
17、已知，求
18、已知，求，
19、设，求
20、计算

21、求满足的解.

22、求积分

23、设 ，且在点连续，求：（1） 的值（2）

四、综合题（本大题共3小题，第24小题7分，第25小题8分，第26小题8分，共23分）
24、从原点作抛物线的两条切线，由这两条切线与抛物线所围成的图形记为，求：（1）的面积； （2）图形绕轴旋转一周所得的立体体积.

25、证明：当时，成立.

26、已知某厂生产件产品的成本为（元），产品产量与价格之间的关系为：（元）
求：(1) 要使平均成本最小，应生产多少件产品？
(2) 当企业生产多少件产品时，企业可获最大利润，并求最大利润.

2003年江苏省普通高校“专转本”统一考试
高等数学
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1、已知，则 （ ）
A、2 B、4 C、0 D、
2、若已知，且连续，则下列表达式正确的是 （ ）
A、 B、
C、 D、
3、下列极限中，正确的是 （ ）
A、 B、 C、 D、
4、已知，则下列正确的是 （ ）
A、 B、
C、 D、
5、在空间直角坐标系下，与平面垂直的直线方程为 （ ）
A、 B、
C、 D、
6、下列说法正确的是 （ ）
A、级数收敛 B、级数收敛
C、级数绝对收敛 D、级数收敛
7、微分方程满足，的解是
A、 B、
C、 D、
8、若函数为连续函数，则、满足
A、、为任何实数 B、
C、、 D、
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
9、设函数由方程所确定，则
10、曲线的凹区间为
11、
12、交换积分次序
三、计算题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
13、求极限
14、求函数的全微分
15、求不定积分
16、计算

17、求微分方程的通解.

18、已知，求、.

19、求函数的间断点并判断其类型.

20、计算二重积分，其中是第一象限内由圆及直线所围成的区域.

四、综合题（本大题共3小题，第21小题9分，第22小题7分，第23小题8分，共24分）
21、设有抛物线，求：
（i）、抛物线上哪一点处的切线平行于轴？写出该切线方程；
（ii）、求由抛物线与其水平切线及轴所围平面图形的面积；
（iii）、求该平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积.
22、证明方程在区间内有且仅有一个实根.
23、要设计一个容积为立方米的有盖圆形油桶,已知单位面积造价：侧面是底面的一半，而盖又是侧面的一半，问油桶的尺寸如何设计，可以使造价最低？
五、附加题（2000级考生必做，2001级考生不做）
24、将函数展开为的幂级数，并指出收敛区间。（不考虑区间端点）（本小题4分）
25、求微分方程的通解。（本小题6分）
2004年江苏省普通高校“专转本”统一考试
高等数学
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
1、，是： （ ）
A、有界函数 B、奇函数 C、偶函数 D、周期函数
2、当时，是关于的 （ ）
A、高阶无穷小 B、同阶但不是等价无穷小 C、低阶无穷小 D、等价无穷小
3、直线与轴平行且与曲线相切，则切点的坐标是 （ ）
A、 B、 C、 D、
4、设所围的面积为，则的值为 （ ）
A、 B、 C、 D、
5、设、，则下列等式成立的是 （ ）
A、 B、 C、 D、
6、微分方程的特解的形式应为 （ ）
A、 B、 C、 D、

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
7、设，则
8、过点且垂直于平面的直线方程为
9、设，，则
10、求不定积分
11、交换二次积分的次序
12、幂级数的收敛区间为

三、解答题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）
13、求函数的间断点，并判断其类型.

14、求极限.

15、设函数由方程所确定，求的值.

16、设的一个原函数为，计算.

17、计算广义积分.

18、设，且具有二阶连续的偏导数，求、.

19、计算二重积分，其中由曲线及所围成.

20、把函数展开为的幂级数，并写出它的收敛区间.

四、综合题（本大题共3小题，每小题8分，满分24分）
21、证明：，并利用此式求.

22、设函数可导，且满足方程，求.

23、甲、乙二城位于一直线形河流的同一侧，甲城位于岸边，乙城离河岸40公里，乙城在河岸的垂足与甲城相距50公里，两城计划在河岸上合建一个污水处理厂，已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管道的费用分别为每公里500、700元。问污水处理厂建在何处，才能使铺设排污管道的费用最省？

2005年江苏省普通高校“专转本”统一考试
高等数学
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
1、是的 （ ）
A、可去间断点 B、跳跃间断点 C、第二类间断点 D、连续点
2、若是函数的可导极值点，则常数 （ ）
A、 B、 C、 D、
3、若，则 （ ）
A、 B、 C、 D、
4、设区域是平面上以点、、为顶点的三角形区域，区域是在第一象限的部分，则： （ ）
A、 B、
C、 D、0
5、设，，则下列等式成立的是 （ ）
A、 B、 C、 D、
6、正项级数(1) 、(2) ，则下列说法正确的是 （ ）
A、若（1）发散、则（2）必发散 B、若（2）收敛、则（1）必收敛
C、若（1）发散、则（2）可能发散也可能收敛 D、（1）、（2）敛散性相同
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
7、 ；
8、函数在区间上满足拉格郎日中值定理的 ；
9、 ；
10、设向量、；、互相垂直，则 ；
11、交换二次积分的次序 ；
12、幂级数的收敛区间为 ；
三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）
13、设函数 在内连续，并满足：、，求.
14、设函数由方程所确定，求、.

15、计算.

16、计算

17、已知函数，其中有二阶连续偏导数，求、

18、求过点且通过直线的平面方程.

19、把函数展开为的幂级数，并写出它的收敛区间.

20、求微分方程满足的特解.

四、证明题（本题8分）
21、证明方程：在上有且仅有一根.

五、综合题（本大题共4小题，每小题10分，满分30分）
22、设函数的图形上有一拐点，在拐点处的切线斜率为，又知该函数的二阶导数，求.

23、已知曲边三角形由、、所围成，求：
（1）、曲边三角形的面积；
（2）、曲边三角形饶轴旋转一周的旋转体体积.

24、设为连续函数，且，，
（1）、交换的积分次序；
（2）、求.

2006年江苏省普通高校“专转本”统一考试
高等数学
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
1、若，则 （ ）
A、 B、 C、 D、
2、函数在处 （ ）
A、连续但不可导 B、连续且可导 C、不连续也不可导 D、可导但不连续
3、下列函数在上满足罗尔定理条件的是 （ ）
A、 B、 C、 D、
4、已知，则 （ ）
A、 B、 C、 D、
5、设为正项级数，如下说法正确的是 （ ）
A、如果，则必收敛 B、如果，则必收敛
C、如果收敛，则必定收敛 D、如果收敛，则必定收敛
6、设对一切有，，
，则 （ ）
A、0 B、 C、2 D、4
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
7、已知时，与是等级无穷小，则
8、若，且在处有定义，则当 时，在处连续.
9、设在上有连续的导数且，，则
10、设，，则
11、设，
12、 . 其中为以点、、为顶点的三角形区域.
三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）
13、计算.
14、若函数是由参数方程所确定，求、.

15、计算.
16、计算.

17、求微分方程的通解.

18、将函数展开为的幂函数（要求指出收敛区间）.

19、求过点且与二平面、都平行的直线方程.

20、设其中的二阶偏导数存在，求、.

四、证明题（本题满分8分）.
21、证明：当时，.

五、综合题（本大题共3小题，每小题10分，满分30分）
22、已知曲线过原点且在点处的切线斜率等于，求此曲线方程.

23、已知一平面图形由抛物线、围成.
（1）求此平面图形的面积；
（2）求此平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积.

24、设，其中是由、以及坐标轴围成的正方形区域，函数连续.
（1）求的值使得连续；
（2）求.

2008年江苏省普通高校“专转本”统一考试
高等数学
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
1、设函数在上有定义，下列函数中必为奇函数的是 （ ）
A、 B、
C、 D、
2、设函数可导，则下列式子中正确的是 （ ）
A、 B、
C、 D、
3、设函数，则等于 （ ）
A、 B、 C、 D、
4、设向量，，则等于 （ ）
A、（2，5，4） B、（2，－5，－4） C、（2，5，－4） D、（－2，－5，4）
5、函数在点（2，2）处的全微分为 （ ）
A、 B、 C、 D、
6、微分方程的通解为 （ ）
A、 B、
C、 D、
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
7、设函数，则其第一类间断点为 .
8、设函数在点处连续，则＝ .
9、已知曲线，则其拐点为 .
10、设函数的导数为，且，则不定积分＝ .
11、定积分的值为 .
12、幂函数的收敛域为 .
三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）
13、求极限：
14、设函数由参数方程所决定，求

15、求不定积分：.
16、求定积分：.

17、设平面经过点A（2，0，0），B（0，3，0），C（0，0，5），求经过点P（1，2，1）且与平面垂直的直线方程.

18、设函数，其中具有二阶连续偏导数，求.

19、计算二重积分，其中D是由曲线，直线及所围成的平面区域.

20、求微分方程的通解.

四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
21、求曲线的切线，使其在两坐标轴上的截距之和最小，并求此最小值.

22、设平面图形由曲线，与直线所围成.
（1）求该平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积.
（2）求常数，使直线将该平面图形分成面积相等的两部分.

五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）
23、设函数在闭区间上连续，且，证明：在开区间上至少存在一点，使得.

24、对任意实数，证明不等式：.

2009年江苏省普通高校“专转本”统一考试
高等数学
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
1、已知，则常数的取值分别为 （ ）
A、 B、 C、 D、
2、已知函数 ，则为的
A、跳跃间断点 B、可去间断点 C、无穷间断点 D、震荡间断点
3、设函数在点处可导，则常数的取值范围为 （ ）
A、 B、 C、 D、
4、曲线的渐近线的条数为 （ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
5、设是函数的一个原函数，则 （ ）
A、 B、 C、 D、
6、设为非零常数，则数项级数 （ ）
A、条件收敛 B、绝对收敛 C、发散 D、敛散性与有关
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
7、已知，则常数 .
8、设函数，则＝ .
9、已知向量，，则与的夹角为 .
10、设函数由方程所确定，则＝ .
11、若幂函数的收敛半径为，则常数 .
12、微分方程的通解为 .
三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）
13、求极限：
14、设函数由参数方程所确定，，求.

15、求不定积分：.
16、求定积分：.

17、求通过直线且垂直于平面的平面方程.

18、计算二重积分，其中.

19、设函数，其中具有二阶连续偏导数，求.

20、求微分方程的通解.

四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
21、已知函数，试求：
（1）函数的单调区间与极值；
（2）曲线的凹凸区间与拐点；
（3）函数在闭区间上的最大值与最小值.

22、设是由抛物线和直线所围成的平面区域，是由抛物线和直线及所围成的平面区域，其中.试求：
（1）绕轴旋转所成的旋转体的体积，以及绕轴旋转所成的旋转体的体积.
（2）求常数的值，使得的面积与的面积相等.

五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）
23、已知函数，证明函数在点处连续但不可导.

24、证明：当时，.

2010年江苏省普通高校“专转本”统一考试
高等数学
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
1.设当时，函数与是等价无穷小，则常数的值为 ( )
A. B. C. D.
2.曲线的渐近线共有 ( )
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
3.设函数，则函数的导数等于 ( )
A. B. C. D.
4.下列级数收敛的是 ( )
A. B. C. D.
5.二次积分交换积分次序后得 ( )
A. B.
C. D.
6.设，则在区间内 ( )
A. 函数单调增加且其图形是凹的 B. 函数单调增加且其图形是凸的
C. 函数单调减少且其图形是凹的 D. 函数单调减少且其图形是凸的
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
7.
8. 若，则
9. 定积分的值为
10. 设，若与垂直，则常数
11. 设函数，则
12. 幂级数的收敛域为

三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）
13、求极限

14、设函数由方程所确定，求

15、求不定积分

16、计算定积分

17、求通过点，且与直线垂直，又与平面平行的直线的方程。

18、设，其中函数具有二阶连续偏导数，求

19、计算二重积分，其中D是由曲线，直线及轴所围成的闭区域。

20、已知函数和是二阶常系数齐次线性微分方程的两个解，试确定常数的值，并求微分方程的通解。

四、证明题（每小题9分，共18分）
21、证明：当时，

22、设其中函数在处具有二阶连续导数，且
，证明：函数在处连续且可导。

五、综合题（每小题10分，共20分）
23、设由抛物线，直线与y轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为，由抛物线，直线与直线所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为，另，试求常数的值，使取得最小值。

24、设函数满足方程，且，记由曲线与直线及y轴所围平面图形的面积为，试求

2001年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案
1、C 2、D 3、B 4、D 5、A 6、2
7、，其中、为任意实数
8、 9、 10、
11、 12、
13、是第二类无穷间断点；是第一类跳跃间断点；是第一类可去间断点.
14、1 15、 16、
17、，
.
18、解：原式
19、解：“在原点的切线平行于直线”即
又由在处取得极值，得，即，得
故，两边积分得，又因曲线过原点，
所以，所以
20、，
21、（1）；（2）；（3），
22、
.
23、由拉格朗日定理知：
，

由于在上严格单调递减，知，因，故
.
24、解：设每月每套租金为，则租出设备的总数为，每月的毛收入为：
，维护成本为：.于是利润为：

比较、、处的利润值，可得，
故租金为元时利润最大.
2002年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案
01－05、ACABD 06－10、CBABB 11、1 12、， 13、0
14、 15、 16、 17、1
18、，
19、解：令，则时，时，，
所以
20、原式
21、 22、
23、（1）
（2）
24、（1）
（2）
25、证明：，因为，所以是偶函数，我们只需要考虑区间，则，.
在时，，即表明在内单调递增，所以函数在内严格单调递增；
在时，，即表明在内单调递减，又因为，说明在内单调递增.
综上所述，的最小值是当时，因为，所以在内满足.
26、（1）设生产件产品时，平均成本最小，则平均成本
， （件）
（2）设生产件产品时，企业可获最大利润，则最大利润
，
. 此时利润（元）.

2003年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案
1、B 2、C 3、D 4、C 5、D 6、B 7、B 8、C 9、 10、 11、0
12、 13、原式
14、 15、
16、原式
17、 18、、
19、是的间断点，，
是的第一类跳跃间断点.
20、
21、（i）切线方程：； （ii）
（iii）
22、证明：令，，，因为在内连续，故在内至少存在一个实数，使得；又因为在内大于零，所以在内单调递增，所以在内犹且仅有一个实根.
23、解：设圆柱形底面半径为，高位，侧面单位面积造价为，则有

由（1）得代入（2）得：
令，得：；此时圆柱高.
所以当圆柱底面半径，高为时造价最低.
24、解：，，，…
，
，，，…，
，
收敛区间
25、解：对应特征方程，、，所以，因为不是特征方程的根，设特解方程为，代入原方程，解得：.

2004年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案
1、A 2、B 3、C 4、B 5、A 6、D 7、
8、 9、 10、
11、 12、
13、间断点为，，当时，，为可去间断点；当，，时，，为第二类间断点.
14、原式.
15、代入原方程得，对原方程求导得，对上式求导并将、代入，解得：.
16、因为的一个原函数为，所以，

17、
18、；

19、原式

20、，
21、证明：令，

故，证毕.

22、等式两边求导的即且，，， ，，，

所以，由，
解得，
23、设污水厂建在河岸离甲城公里处，则
，，

解得（公里），唯一驻点，即为所求.

2005年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案
1、A 2、C 3、D 4、A 5、A 6、C 7、2 8、 9、 10、5
11、 12、
13、因为在处连续，所以，
，
，故.
14、，.
15、原式
.
16、原式

17、，
18、，，

平面点法式方程为：
，即.
19、
，收敛域为.
20、，通解为

因为，，所以，故特解为.
21、证明：令，，且，，，
由连续函数零点定理知，在上至少有一实根.
22、设所求函数为，则有，，.
由，得，即.
因为，故，由，解得.
故，由，解得.
所求函数为：.
23、（1）
（2）
24、解：积分区域为：，
（1）；
（2），.

2006年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案
1、C 2、B 3、C 4、C 5、C 6、A 7、2 8、 9、 10、
11、 12、1
13、原式
14、，
15、原式
16、原式

17、方程变形为，令则，代入得：，分离变量得：
，故，.
18、令，，，
故，.
19、、，
直线方程为.
20、，.
21、令，，，，，，
，；所以，，故，即.
22、，
通解为，由得，故.
23、（1）
（2）
24、

（1），由的连续性可知
（2）当时，，
当时，
综上，.

2007年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案
1、B 2、C 3、C 4、A 5、D 6、D 7、 8、1 9、 10、
11、 12、
13、解：.
14、解：方程，两边对求导数得，故.
又当时，，故、.
15、解：
.
16、解：令，则.
17、解：，

18、解：原方程可化为，相应的齐次方程的通解为.可设原方程的通解为.将其代入方程得，所以，从而
，故原方程的通解为. 又，所以，于是所求特解为.（本题有多种解法，大家不妨尝试一下）
19、解：由题意，所求平面的法向量可取为
.
故所求平面方程为，即.
20、解：.
21、解：（1）；
（2）由题意得. 由此得. 解得.
22、解：，.
由题意得、、，解得、、
23、证明：积分域：，积分域又可表示成：

.
24、证明：令，显然，在上连续. 由于，故在上单调递增，
于是，当时，，即，又，故；
当时，，即，又，故.
综上所述，当时，总有.

2008年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案
1、B 2、A 3、D 4、C 5、A 6、B 7、0 8、3 9、（2，17）
10、 11、 12、
13、，令，那么
.
14、

15、

16、
＝
17、由题意得：，那么法向量为

18、

19、

20、积分因子为
化简原方程为
在方程两边同乘以积分因子，得到
化简得：
等式两边积分得到通解
故通解为
21、令，那么x和y的偏导分别为，
所以过曲线上任一点的切线方程为：
当X＝0时，y轴上的截距为.
当y＝o时，x轴上的截距为
令，那么即是求的最小值.
而，故当时，取到最小值4.
22、（1）.
（2）由题意得到等式：
化简得：
解出a，得到：，故
23、令，那么，
由于，并且在上连续.
故存在，使得，即.
24、将用泰勒公式展开得到：
代入不等式左边：

2009年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案
1、A 2、B 3、C 4、B 5、D 6、C 7、 8、
9、 10、 11、2 12、
13、，.
14、，，
.
15、令，

16、令，当；当.

17、已知直线的方向向量为，平面的法向量为.由题意，所求平面的法向量可取为.又显然点在所求平面上，故所求平面方程为，即.
18、

19、；
20、积分因子为
化简原方程为
在方程两边同乘以积分因子，得到
化简得：
等式两边积分得到通解
故通解为
21、（1）函数的定义域为，，令得，函数的单调增区间为，单调减区间为，极大值为，极小值为.
（2），令，得，曲线在上是凸的，在上是凹的，点为拐点.
（3）由于，，，故函数在闭区间上的最大值为，最小值为.
22、（1）. .
（2）由得.
23、证（1）因为，，且，所以函数在处连续。
（2）因为，，所以. 由于，所以函数在处不可导.
24、证 令，则，，由于当时，，故函数在上单调增加，从而当时，于是函数在上单调增加，从而当时，，即当时，

2010年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案
1、A 2、C 3、B 4、D 5、D 6、C
7、 8、2 9、 10、 11、 12、
13、原式=.
14、
15、原式
16、变量替换：令，，，
原式
17、，，，
所求直线方程为
18、；
19、
20、特征方程的两个根为，特征方程为，从而；
是特征方程的单根，，可设，即设特解为，
，，，代入方程得
，，通解为

21、构造函数，，，在上单调递增，，，在上单调递增，，，即。
22、，连续性得证；
，可导性得证。
23、，
，
，
，令得，最小值为
24、，
，，，
，

从而

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