六年级上册数学《圆》知识点整理.doc

认识圆及圆周长
1、圆的定义： 圆是由 曲线 围成的一种平面图形。
2、圆心： 将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。如下图
中，中心的一点 O。一般用字母 O表示。它到圆上任意一点的距离都相等．
（画圆切忌别忘记标圆心 0）
3、半径： 连接 圆心 到圆上任意一点 的线段 叫做半径。一般用字母 r 表示。如下图红色线。
把圆规两脚分开， 两脚之间的距离 就是圆的半径。
4、直径： 通过圆心 并且 两端都在圆上 的线段 叫做直径。 一般用字母 d 表示。 如下图蓝色线。
直径是一个圆内最长的线段 。
8
5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 如果已知的是直径，我们要把直径除以 2 换
成半径 , 确定圆心，然后才开始画圆。 （画圆给出半径标半径 r=? ，给出直径标直径 d=?）
要比较两圆的大小，就是比较两个圆的 直径 或半径。
6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。 同圆中所有的半径、直径都相等。
7．在同圆或等圆内，直径的长度是半径的 2 倍，半径的长度是直径的

1
2

。

用字母表示为： d = 2r 或 r =

d
2

或 r=d ÷ 2
8、轴对称图形： 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是
轴对称图形。折痕所在的这条 直线 叫做对称轴。
9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。 这些图形都是轴对称图形。
10、常见图形的对称轴 :
只有 1 一条对称轴的图形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
只有 2 条对称轴的图形是：长方形 只有 3 条对称轴的图形是：等边三角形
只有 4 条对称轴的图形是：正方形 ;
1
有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。圆是轴对称图形，有无数条对称轴，
对称轴就是 直径所在的直线 。
11、正方形里最大的圆。两者联系： 边长＝直径；
圆的面积 =78.5%正方形的面积
画法：（1）画出正方形的两条对角线；
（2）以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。
12、长方形里最大的圆。两者联系： 宽＝直径
画法：（1）画出长方形的两条对角线；
（2）以对角线交点为圆心，以宽为直径画圆。
13、同一个圆 内的所有线段中，圆的直径是最长的。
14、车轮滚动一周前进的路程就是车轮的周长。
每分前进米数（速度）＝车轮的周长×转数
15、任何一个圆的周长除以它直径的商都是一个固定的数， 我们把它叫做 圆周率。
用字母 π 表示。 π 是一个 无限不循环小数 。π＝3.141592653⋯ ⋯
我们在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值3.14。π>3.14
16、如果用 C 表示圆的 周长 ，那么 C＝π d 或 C = 2 πr
17、求圆的半径或直径的方法： d = C÷π r = C÷ π÷2= C÷2π
18、半圆的周长等于圆周长的一半加一条直径。
C 半圆= πr＋2r=5.14r C半圆 = πd÷2＋d=2.57d
19、几个直径和为 n 的圆的周长 =直径为 n 的圆的周长（如图）
圆的面积
1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母 S（大写） 表示。
1
2
上图中阴影部分就是该圆的面积。
2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的
角叫做圆心角。
2
3、圆的面积推导：
圆可以切拼成近似的长方形， 长方形的面积与圆的面积相等 （即 S长方形＝S圆）；
长方形的宽是圆的半径（即 b＝r）；
长方形的长是圆周长的一半（即 a＝C÷ 2=πr）。
即：S长方形＝ a × b
↓ ↓
S圆＝ πr × r

2
＝πr

2
所以，S圆 ＝ π r

注意：切拼后的长方形的周长比圆
的周长多了两条半径。 C 长方形＝2πr＋2r =C 圆＋d
圆面积公式

圆的面积公式： S

2
圆 =πr

2 = S ÷ π
；变形可得到： r

1
2
2 圆的面积公式： S =πr

÷2 或 S =

1
2
2 πr

1
2
4 圆的面积公式： S =πr

÷4 或 S =

1
2
4 πr
注：已经圆的面积可以用变形公式求出圆的半径 。
4、环形的面积：（环形的面积等于外圆面积与内圆面积的差）
4 5
一个环形，外圆的半径是 R，内圆的半径是 r。（R＝r＋环的宽度．）
环形的面积公式： S 环 = πR－2πｒ2 或S 环 = π（R2－ｒ2）。 如：上图中大圆的半径 R=6cm，小圆半径 r=2cm，阴影部分（圆环）的面积
得： S 环 = π（62－22）cm2=32π（cm2）
注意：求环形的面积， 一定要先想法分别求出外圆的半径 （R）和内圆的半径 （r），
再代入公式计算 。一步一步的来，这样不容易错误。
注意用公式 S 环 = π（R2－ｒ2）计算时，要先算出 2 个平方数，再相减。
切忌相减后再平方 。
2
n
5、扇形的面积计算公式： S扇 = πr （n 表示扇形圆心角的度数 ）
×
360 2
注：扇形公式其实很好理解的， S=πr 是圆的面积，圆一周是 360°，旋转一度得
2
到的面积是：S=πr
如上图。

1
360

，如果是 n 度，自然是 S

2
扇 = πr ×
×

n
360

。注意 n 是圆心角，
3
6、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数 。而
面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍 。
例如：在同一个圆里，半径扩大 3 倍，那么直径和周长就都扩大 3 倍，
而面积扩大 9 倍。
7、两个圆：半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方 。
如：两个圆的半径比即： r ：r =2∶ 3，那么这两个圆的直径比和周长比都是
2∶ 3，而面积比是 4∶ 9。
8、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即： 4∶ π
圆的周长是直径的 π倍， 圆的周长与直径的比是 π：1
圆的周长是半径的 2π倍 ，圆的周长与半径的比是 2π：1
9、当长方形，正方形， 圆的周长相等时 ，圆面积最大，正方形居中，长方形面
积最小 。反之， 面积相同时 ，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。
10、确定起跑线
（1）每条跑道的长度 = 两个半圆形跑道合成的圆的周长 + 两个直道的长度。
（2）每条跑道直道的长度都相等，而各圆周长决定每条跑道的总长度。
（因此起跑线不同）
（3） 每相邻两个跑道相隔的距离是： 2×π跑×道的宽度
（4）当一个圆的半径增加ａ厘米时， 它的周长就增加２πａ厘米； 当一个圆的直
径增加ａ厘米时，它的周长就增加 πａ厘米。
常用的 3.14 的倍数：
3.14 ×2＝6.28 3.14×3＝9.42 3.14×4＝12.56
3.14 ×5＝15.7 3.14×6＝18.84 3.14×7＝21.98
3.14 ×8＝25.12 3.14×9＝28.26 3.14×12＝37.68 3.14×14＝43.96
3.14 ×16＝50.24 3.14×18＝56.52 3.14×24＝75.36 3.14×25＝78.5
3.14 ×36＝113.04 3.14×49＝153.86 3.14×64＝200.96 3.14×81=254.34
常用的平方数： 1
2＝1 22＝4 32＝9 42＝16 52＝25 62＝36
2＝49 82＝64 92＝81 102＝100 112＝121 122＝144 132＝169 7
2＝196 152＝225 162＝256 172＝289 182＝324 192＝361 202＝400 14
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