历年考研数学数一至数四真题及解析.pdf

1996年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题详解及评析填空题设 lim *+2。-8,则 a _is Ix-a）【答】In 2.3axx-aba=e,于是=8n =ln 2（2）设,平面经过原点及点（6,-3,2）,且与平面41-+22=8垂直，则此平面方程为【答】2x+2y-3z=0【详解】原点与点（6,3,2）连线的方向向量为s=（6,-3,2）；平面4x y+2z=8的法向量为n=4,-1,2）,根据题意，所求平面的法向量为i j ksxn=6 3 2=2/+2 j 3k.4-12故所求平面方程为2（x 0）+2（y 0）3（z 0）=0,即 2x+2y-3z=0.（3）微分方程y 2y+2y=ex的通解为_.【答】y=Cex cos x+C2ex sin x+ex【详解】对应齐次方程的特征方程为分24+2=0,解得特征根为 4,2二1，【详解】因为limX8x+2ax-aXco=limx-a 3a由J a=l不是特征根，可设原方程的特解为=4e代入原方程解得A=1,故所求通解为y=Cex cos x+C2ex sin x+ex（4）函数m=In（九+五三”）在A（1,0,1）点处沿A点指向的方向导数为.【答】2【详解】因为du Imdu I&du Idy=0-2沿AB方向的单位向量为2 _2 故沿而方向的方向导数为1（5）设A是4x 3矩阵，且A的秩r（A）=2,而3=0-10 22 0，则r(Ab)=0 3【答】2.1 0 2【详解】因为|用=0 2 0=100,-10 3说明矩阵5可逆，故秩r（A8）=秩r（A）=2,二、选择题（1）已知a+y）d：:丁办为某函数的全微分,则。等于（x+y）(A)-1.(B)0.(C)l.(D)2.【答】应选(D).【详解】(x+a y)dx：”?y为某函数的全微分的充要条件是(-V+.V)-d y+Sx1(x+J ay(x+y)2J即(q _2)x _qy=_2%=0.当且仅当a=2时上式恒成立，故正确选项为(D).(2)设有二阶连续导数,且(0)=0/吗邛?=1,则 r l(A)0)是/(力的极大值.(B)”0)是“X)的极小值.CO(0,/(0)是曲线y=f(x)的拐点.(D)/不是“X)的极值，(0,0)也不是曲线=”的拐点【答】应选(B).【详解】由题设lim4=1根据极限的性质知，存在x=0的某邻域，|.r|x在此邻域内有 W。.即/(-V)0.又根据泰勒公式，f(x)=/+F(O)x+qx 2其中在0与X之间，从而“X)=/(0)+匕”0)可见/(0)是/(X)的极小值，故正确选项为(B)(3)设“0(=1,2,)，且收敛，常数/二，则级数(1)”|n t a n|a2n=i k 2 J=i k n)(A)绝对收敛.(B)条件收敛.(C)发散.(D)敛散性与4有关.【答】应选(A).【详解】由于（-2=n t a n ,出”，nn而lim几t a n=4,所以当充分大时,A%n t a n a2n 02小）（1）尸=2/I(0).lim-_!*0,可见应有K=3故正确选项为可）.a00A（5）四阶行列式00。2b3b2a300的值等于打00%(A)axa2x3x bb2b3b4.(B)a1a2a3a4+bQ2b3b4.二 2 lim-!7Ty*二。）x 0(C)(。2 _ 姑2)(34-姑4)(D)(a2a3-b2b3)(%一人也)【答】应选（D）【详解】0按第一行展开，a,0 00 a2 b20 4 a3&o。40=a a2么00a244a3004a30000b2b2一他aa4a2a2(a2a3 贴3)(q 4-姑4).故正确选项为（D）.三、（1）求心形线r=+cos。）的全长，其中10是常数.【详解】因为r（。）=-asin 0,ds=J/（6）+r2（。）初=la cos-d0利用对称性知,所求心形线的全长s=2 2acosd0=Sa sin|T=Sa J o 2 2 0（2）设%=10,斗+1=）存（=1，2,），试证数列的极限存在，并求此极限.【详解】由月=10,x2=J 6+1=4知,.v,x.设对某个正整数大有五 xk+l则%=j6+x*+%=%.故由归纳法知，对一切正整数%都有%茗z，即数列%为单调减少数列.又显然有x,0（=1,2,），即%,有下界，根据单调有界数列必有极限知，数列七的极限存在.it!lima;=,对x“+=J 6+xn 两边取极限，得“=j6+”,从而 ci a 6=0解得a=3或。=2（舍去，因为%0）故所求极限值为。=3.四、(1)计算曲面积分。(2元+2*)/2+2%6仅其中$为有向曲面1=冗2+2(0(%1)，S其法向量4 s轴正向的夹角为锐角.【详解1】用高斯公式，以5表示法向量指向z轴负向的有向平面z=l(x2+)，2l),。为S 1在x 0 y平面上的投影区域，则J J（2x+z）dydz+zdxdy=挣（2%+z）dydz+zdxdy-jj（2x+z）dydz+zdxdy s S+S S=-J U（2+-J j-dxdyCD【详解2】z于是7呵)町:-(-)性3万=-F 712_ 71一一5.用矢量投影法，因为=2x,z；=2yjj（2x+z）dydz+zdxdy=J j（2x+z）（-z：）+zxdy s S=J J（4x2 2xz+zdxdys=J J-4/-2xx2+j2+x2+）/卜/dyD=J：(7(-4r2 cos2 3-2r3 cos 6+r2)_ 71【详解3 直接投影法，曲面S在yOz平面上投影Dyz对应两个曲面：”是%=J z y2,0 Wz W1,其方向指向前侧,因此积分取正号，见x=J z-y2,0Vz W1,其方向指向后侧，因此积分取负号，再记与表示S在工。y平面上的投影区域，则J j(2x+z dydz+zdxdy=J J(2&上+z/ydz+J J-+zdydz+jj(f+y2 ixdyDyz Dyz Dxy=-4jj z-y2dydz+jj(x2+y2 yixdy%=-4(时；石了火+呵，-rdr_ 式一.(2)设变换“=x 2y.可把方程6W+dj_-慧=0化简为=0,求常数。v=x+ay dx dxdy dy dudv、*珈&dz&dz 二 dz dzdx du dv dy du dv矍_受 2匹 取dx1 du2 dudv dv2 d2z 0 d2z/、d2z d2zdxdy du2 7 dudv dv2d2z A d2z A d2z 2 z-7=4-4a-+优一彳.dy2 du2 dudv dv2将上述结果代入原方程，经整理后得(10+57)Z+(6+a-a2 v 7dudv v=0依题意知a应满足6+a-a2=0,且 10+5a w 0,解之得a=3.五、求级数 n=2,1 的和.8 1【详解】令=，贝IJn=2-18 n=2 -1力宁炉-1 1个炉+12-1 2xin+x,xn 1。炉 1 22M 几 2xtf n 2因为t=_ln(l x),于是有=i x i i i5(A)=-2ln|-r)+2+4V+27ln_AlAl 0,曲线y=/（x）上点（x,/（x）处切线在Y轴上得截距等于g j；/求/（X）的一般表达式.【详截】曲线y=/（x）上点（x j（x）处切线方程为r-./（A-）=/（A-）（X-A）,令x=0得截距y=f（x）-xf x）由题意有即 3(x)=0；积分得 xf x)=Cv因此 x）=Gln x+Q（其中G、g为任意常数）.七、设 x）在0上具有二阶导数，且满足条件x）|Va,（x）|vb其中、b都是非负常数，c是（0）内任意一点，证明IP-2【详解】对/(x)在x=c处用泰勒公式展开，得“x)=/(c)+f(c)(x-c)+(x-c)2(*)其冲 S=c+6(x-c),0 6l.在(*)式中令=0,则有O)=c)+/k)(O c)+gO c，OC1,在(*)式中令x=l,则有y(l)=/(c)+/(c)(l-c)+(l-c)2,021,上述两式相减得于是又因当c e(0,1)时，有(1-c+/M 1,故 (c)|2a+3八、设4=E-。其中E是阶单位矩阵，彳是维非列向昂，是目的转患证叨:(1)A2=A的充要条件是“4=1;(2)当？4=1时，4是不可逆矩阵.【详解】(1)A2=(E-毙了)(E-2打了)=E-2*7+&/=_(2一9打WA2=AE-(2-)r=-*(-1)=0 因为 J wO,所以打wO故的充要条件为j=i；(2)方法一：当 4=1 时，由4=44。有 一打4=4 4=0,因为J wO,故Ax=0有非零解，因此|A|=0,说明A不可逆.方法二：当？自=1,由A2=Ao A(A)=0,即E A的每一列均为Ax=0的解，因为E 4=打？。0,说明Ax=0有非零解，故秩(A)i-4)(A-9),-3 3 2-3所求特征值为 4=，4=4,=9.(2)由特征值可知，/(%,12，%3)=1表示椭球柱面.十、填空题(1)设工厂A和工厂3的产品率分别为1%和2%,现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件、发现是次品，则该次品属A产品的概率是_.3【答】7【详解】设事件A=抽取的产品为工厂A生产的,6=抽取的产品为工厂8生产的,C=抽取的是次品，则尸（A）=0.6,尸伊）=0.4,尸（CI A）=0.0 1,P（CI B）=0.0 2,由逆概率公式知 P（A）-P（C A）尸（aic）.2 7 P（c）P（A）P（CI A）+P（B）P（CIB）0.6x 0.0 10.6x 0.0 1+0.4x 0.0 237设乙是两个相互独立且均服从正态分布N的随机变量,则随机变量归-司的数学期望E（归司）=【详解】因为是两个相互独立且均服从正态分布故Z=4也服从正态分布，且 E（Z）=EJ-E=O,D（Z）=D4+D=；+；=1,即Z N（0,l）.是H一、设斗是两个相互独工n.服从I，（J 一分布的两个随机变量，已知二的分布律为=i=g,i=1,2,3,乂谩 X=ma x g）,y=min(i)写出二维随机变量(x,y)的分布律;123123(2)求随机变量X的数学期望E(X).【详解】(1)由X=min依77).的定义知，P X 尸历=i=I，尸 X=2,Y=2=Ph=2=2=Ph=2.p =2=P X=3,Y=3=P值=3,=3=Pt=3.p5=3=p X=2,丫=1二尸归=2+尸归=2,7=1=尸 X=3,y=2=P J=2,=3+P J=3,=2:7 2p x=3,y=i=i=-；I J 9 9故所求的分布律为2-.9 2-9(2)X的边缘分布为1231J _ 92929201929300j_ 9故X的数学期望为X123pj_9395913 5?E（X）=-x l+-x 2+-x 3=.v 7 9 9 9 91996年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学二试题详解及评析一、填空题2l则IL(1)设 y=x+e 2【答】I详解 1 y=x+e22,3 +e 2.2所以y=-.-x=o 3(2)J 卜+a/1 x2 jt Z x=_.【答】2.【详解】(3)微分方程y-+2y+5y=0的通解为【答】y=ex(C,cos2x+C2 sin 2x).(详解】特征方程+24+5=0的解为4=一1 2i,所以通解为y=(G cos 2x+C2 sin 2x)(4)limx sin In|1+|-sin In|1+|=_.x 8 x)v x)【答】2.【详解】方法一：令工=t，则由洛必达法则知X原式=limDsin ln(l+3f)-sin In(1+1)=lim co;=limffO=2t3 is In(1+3?)-cos ln(l+r)-v 7 l+3r 7 1+r.3 1 11+3，1+z方法二：直.接利用三角函数和差化积公式.原式=1+2口 4i+i 1+ilim 2x sin-cos 土f 2 2X-8 2Xf 8 X+l（5）由曲线y=x+,x=2及y=2所围图形的面积3=x【答】In 2-L2详解 S=J f x+j-2 dx=(-x2+nx-2xj =n2-二、选择题（1）设当Xf 0时，/一（。九2+Z?X+1）是比2高阶的无穷小，则(A)a=,b=1.2(C)a=,Z?=12(B)a=,b=(D)a=l,b=1【答】应选（A）【详解】方法一：由于x f0时，=1+X H-%2+。（%22 1则由X7()x f 0 入2=0必有解得1-/?=0,-6?=02a=1.2方法二:因，-(+云+1)e-2a.x-blim-=lim-D X1 10 2x又 lim 2x=0,lim(ex-2ax-b=-bXf 0 Xf 0 )必有b=,从而原式=lin/-2-b=lim e-2a=i-24=0.x-o 2x x f o 2所以。=.2(2)设函数在区间(_及3)内有定义，若当工(一3)时，恒有卜/,则x=0必是/(%)(A)间断点.(B)连续而不可导的点(C)可导的点，且/=0(D)可导的点，/W0【答】应选(C).【详解】山定义./(.V)-,/(0)/(-V)/(.V)lim-lim-lim x=0,x-0 x x f 0%r f0山题设必有 f(O)=O因此/(o)=o(3)设/(x)处处可导，则(A)当 lim/(x)=-go,必有 lim f(x)=-cc,rn n rn o /(B)当 lim/(x)=-oo,必有 lim=-8,(C)(D)当 lim f(x)=+8,必有 lim f(x)=+oo,x-+oo、x+x 、7当 lim f(x)=+oo,必有 lim f(x)=4-oo,X-+0 0 7 bX 7【答】应选(D).【详解】方法一：利用举反例排除不正确选项.令/(x)=X，则 1蛆/(X)=8,但/(X)=1,可见(A)、(C)均不正确.因而只有(D)是正确选项.方法二：若 lim f(%)=+8,则存在M 0及0 0,当%时,f(x)M于是当时，有/(Xm)=/(4)(X-4)M(x-%)从而有/(x)/(x0)+M(%-%).+00(%+oo)(4)在区间(-co,+oo)内，方程一cosx=0(A)无实根.(B)有且仅有 个实根(C)有且仅有两个实根(D)有无穷多个实根【答】应选(C)详解令/(九)+卜,COS X,由于一%)=/(九),故为偶函数,因此只需考虑/(X)=0在(0,+8)内的实根情况.当x NO时，/(X)=|x p+|耶-cosx,1,3 f(x)=x 4+x 2+sin xv 7 4 2“见，当x 40,马时，/(x)O,/(x)在10,9；内单调增加，且/=-1,/m1,因此x)=0在o,：|上有唯一实根；当寸，x)0,故在(0,+8)上x)仅存在唯一实根根据x)关于y轴对称的性质，=0在(-8,+8)上有且仅有两个实根.(5)设x),g(x)在区间可上连续，且&(%)%(加为常数),由曲线y=g(x),y=f(x),x=a及x=b所围成平面图形绕直线y=机旋转而成的旋转体积为(A)J：7i2m一+g(切/(x)一 g(切dx,(B)f 71 2m-f(x)-g(x)f g dx,租-x)+g(x)/(x)-g(x)dx，(D)f/篦-【答】应选(B)【详解】因为V=j dx-dx=2m-/(x)-g(x)/(x)-g(x)jx所以正:确选项应为(B)三、计算j；J l-e2dx.【详解】方法 原式=exdxJ*-lf in 2 rT./.1112 pin 2L+V32V3T-方法二:人-X M,I/-cost.令 e=sin t,贝U dx=-dt,sin?原式=方法三:E募山T7TJ sin tdt6=-ln(cscz+cot r)|J令=钉则dx1+sin x【详解】方法一:方法二1-sin x2COS tdx t a n x-F Ccosx2X(71+t a n、21+t a n 2-+c1+t a n 2x=f f(u2 du(3)设 2,其中式)具有二阶导数，且K)W0,”=仆2)【详阶】因为所以dy dtdx2 dtydx）dx/（产）dt1 一 y(4)求函数/(x)=0在x=0点处带拉格朗日型余项的阶泰勒展开式.【详解】/(x)在在x=。点处带拉格朗日型余项的n阶泰勒展开式为：了)=。)+0卜+。/。)/+.+:/20)/+1/(“)(%)/其中0。1,可见，关键是求出了(X)在在X=0点的左阶导数y(t(0),A=0,l,2,-,/!+l由于占T/何(x)=?)：5(=12,+1)(1+x)所以n+y(A)=l-2A-+2+.+(-l)-2A-+(-iy11-(001)(1+。町(5)求微分方程y+y=/的通解.【详解】对应的齐次方程的特征方程为：22+2=0解得;1=0,2=1故齐次方程的通解为y=C,+C2e-x设非齐次方程的特解为：x(狈2+以+。),代入原方程，得1,1 ca=,b=-l,c=2,3因此，原方程得通解为1y 二 一 3X，-+2x+G+x(6)设有-正椭圆柱体，其底面得长、短分别为2q,24用过此柱体底面得短轴与底面成a角的平面截此柱体，得一楔形体(如图)，求此楔形体的体积V。【详解】方法一：底面椭圆的方程为：2 2r+3=1,以垂直于y轴的平行平面截此楔形体所得的截面为直角三角形，其一直角边为 a b小f,令直角边长为-亲 t a n%故截面面积为2s(y)吟t a n cr楔形体积为后V=2.2a2 b t a n ady=-t a n a方法二:2 2底面椭圆的方程为二+二=1,以垂百于X轴平行平面截此楔出体所得的截面为矩杉,a b其一边长为2y=2b.1-,令一边长为x t a n a,故截面面积 V aS(x)=2bxyjl-1 t a n a楔形体的体积四、计算不定积分Ja r ct a n x x2(l+x2)dx【详解】方法一：a r ct a n x.r a r ct a n x.r a r ct a n x,-V7=2 dx-Y-dx x2(l+x2)J X2 J 1+X2a r ct a n x 1(1,x2-a r ct a n x)+In-+C x 2V 7 2 1+x2方法二：令 x=t a n t,则原式=j f(esc2 r-ijdt=t cot t+t cot/+In I sin t+(J 1 1 21 2x,x 1五、设函数f(x)=x3,-1x 2(1)写出/.(x)的反函数g(x)的表达式；(2)g(x)是否有间断点、不可导点，若有，指出这些点.【详解】(1)由题设，X)的反函数为a r ct a n xx.1 z、2+ln(a r ct a n X)+CViW 2)g(x)=Vx,-1 x=元，代入原方程，有2x 3-2-l=0从而解得唯一的驻点x=l.在(*)式两边对x求导得(3y2 2,+x)y+2(3y-l)y2+2y-1=0,因此 y=_L0(i，i)2故驻点x=l是y=y(x)的极小点.七、设在区间可上具有二阶导数,H/（a）=f（b）=0,f（a）f（b）0,证明:存在 e（a,。）和 （。，使/（）=。及/（7）=0-【详解】方法一（用反证法）若不存在使/（）=。，则在区间（。泊）内恒有./。或x）0,不妨设x）0（对x）0,类似可证），则/（z,）=limZ Wz Z B=limZ Wo,xf x b xtit x bj la=lim-h m 0.i x-a x-a从而/（a）/（b）VO,这与已知条件矛盾,即在（a涉）内至少存在一点9使9=0再由a）=/M）=/及罗尔定理,知存在口（。看）和小e（J,b）,使/（4）=/（%）=（）.又在区间%,%上，对/,（x）应用罗尔定理，知存在 e（7,%）u（a,。），使/“（）=0.方法二：不妨设f（a）0,f仅）0（对/（。）0，（/0时类似可证）,即lim 0,lim 0,x-+x a xib-x b由极限的保号性，存在出（。,。+4）和他一心使得/（须）0及）0,其中4,名为充分小的正数，显然石2在区间%，2上应用介值定理知，存在“（和引口口使/二。以下证明类似方法-八、设/（九）为连续函数，y+ay=/（x）（1）求初值问题J _ 的解/（X）,其中。是正常数；、Lo（2）若|/（刈4%（女为常数），证明：当X20时，有）.【详解】(1)原方程的通解为y(x)=eS J 7(%)eaxdx+c=1尸(x)+C,其中尸(x)是x)冷的任一原函数 由 y(O)=O,得C=.F(O)故 y(x)=e F(x)-F(O)=：小”0或者在原方程的两端同乘以e,得ye,x+ayeL=fxeL从而 所以或(2)f(X)e-f(t)eaIdtke 0(或谒=C)力任意(4)设其中q*a,(i*j;i.j=1,2,.n).则线性方程组A=B的解是 I【答】x=(l,0,0/【详解】由|4=国：岂“(卬-%),故4，=8有惟一解，L由克莱姆法则知惟一解 为勺=今=向=1,2,其中D,是把|41中第j列元素用B代替后所得行列式，显 然 D,=)471,D2=-=Do=0.故线性方程组4r x=B的解为x=(l,0,-,0 f.(5)设由来自正态总体X N(,0.9)容量为9的简单随机样本，得样本均值又=5,则未 知参数的置信区度为0.95的置信区间是.【答】(4.412,5.588)【详解】因为Z=4(N(0,1),P 1.96 Z 1.96=().95,故的置信区度为0.95的置:信区间为(7-0.3x 1.96,7+0.3x 1.96),即(4.412,5.588).、选择迎“os 0(1)累次枳分仔/可：cose,r si)m可以写成（4）阿尸曲（叽团厂”小四乂1/5（D）l/Xr A）的【答】应选（。）积分区域：有：0%2+,2 0,y 0.因此在直角坐标系下可化为累次积分为:原式=域 x，y）分可见（。）为正确选项.（2）下述各选项正确的是（A）若；和都收敛，则y收敛.=1 n=n=loc co coZ|“M收敛则X；与，；都收敛 n=l n=l n=0 0 1（C）若正项级数Z.发散，则“-=1 nX co（。）若级数收敛，且av（=l,2,），则级数WX也收敛.n=l n=l【答】应选（A）【详解】因（“+v）2=；+”；+2j V2（；+V；）,由题设+V)收敛，根据正项级数的比较判别法知(“+V,)2也收敛.n=n=l(8)(C)(D)均可举出反例说明不成立.(3)设w阶矩阵4非奇异(22),4.是矩阵4的伴随矩阵，则(4*)*=4(4*)*=4(4*)*=川(0(4*)*=*-【答】应选(C)【详解】涉及伴随矩阵4*,首先想到公式A A*=A*A=E.A=AA-1,于是(A-y=(|A|A-|)*=|1A|A-|.(|A|A-1f=川内巾厂(4)设有任意两个n维向量组t Xj,ocm和，4，若存在两组不全为零的数4,4n和 占，&，(占+4)。1+(&+%)%,+(4-占)4+(4-&)&二0,则(人)即，4和都线性相关.，和4,以都线性无关.(C),+&，/-,4，-4线性无关.(。)%+4,am+Bm，aam-&线性相关.【答】应选)【详解】由题意知，4,，儿”和勺，,左”，两组数均不全为零，将已知条件整理后得4(%+分1)+4(+&)+1(%-+&(%-力)=。由向量组的线性相关性定义知%+44+4,q-尸1，,心-乩线性相关.(5)已知 0 P(B)+8=limXf+8-x+x-h(+ex1+/1x.e-1-In-l+ex l+ex=0+0=0.所以+0 xeoy dx=0+In 2=In 2.六、设在闭区间0,1上可微，满足条件1)=21货dx,试证:存在兴(0,1),使得/+)=0.【详解】设尸(x)=(x),由积分中值定理,知存在;7 e10,；：使 fxf(x)dx=F(x)dx=F(r1由己知条件，有1 1/(1)=21：V(.v)t/x=2-F(7)=F(7).山于尸(1)=/。)=尸()，并且旦(x)在内,1上可导.故由罗尔定理知：存在J e(,1)u(0,1),使得下(J)=0,即/图+(3=().七、设某种商品的单价为。时,售出的商品数量。可以表示成2=-c,其中。、仄c均 p+b为整数，且Q Z?C.(1)求P在何范围变化时，使相应销售额增加或减少.(2)要使销售额最大，商品单价p应取何值？最大销售额是多少？【详解】(1)设售出商品的销售额为火，则ab-cp+b(P+4令 R =0,得 Po=J b=(a y/bc)0.当0.0,所以随单价P的增加，相应的销售额也将增加.当p J(ja-痴)时，有R 0时，原方程化为其通解为ln(z+J 1+3)=-ln%+G，或 z+J 1+Z=.代回原变量，得通解y+yfx2+y2=C(x 0).当0相同.九、设矩阵A10000 0 0 0 y i1 2(1)已知A的一个特征值为3,试求y;(2)求矩阵尸，使(AP)T(AP)为对角矩阵【详解】(1)因为000 XE-A=A-1()()-140000A-y-100-1/L-2(22-l)A2-(y+2当4=3时,代入上式解得)，=2.于是A=0100100000210012(2)由A7=A,得(4尸)7(4尸)=尸742尸，0、1而矩阵42=001 0 00 0 00 5 40 4 5方法一：考虑二次型XT X=x；+x；+8X3X4=X)2+%2+5X3+-|X44令必=X，%=%2，=%r n Fl10 0 00 10 00 0 0 1-1 0 0 o-0 10 0则有（AP/（AP）=0 0 5 090 0 0-5方法二:先求出A?的特征值4二1（三重），A2=9.对应于4=1的特征向量为olx （l,0,0,0）r,a9=（0,1,0,0）r,cx3=（0,0,-11）,.经正交标准化后，得向量组P -（1,0,0,0）7,/72=（0,1,0,0）7,3=0,0,-,-,对应于4=9的特征向量为%=（0,0,1,1），经单位化后，得凤=，0,1,等令1001尸=（四，尸2,四，尸4）=000 000_V|FV2V0O拒-2拒-2则1T 0P742P=（ap）t（ap）=000 0 01 0 00 1 00 0 9十、设向量多,。2,区十齐次线性方程组A 二。的一个基础解系，向量/不是A%=0的解，即4月W0.试证明:向量组四/+%线性无关.【详解】设有一 组数尢&，使得攵,+号（,+6）=0,即，i=l I i=l J z=l上式两边同时左乘矩阵A,有+/=（4）。=0.k/=1）/=1因为A/wO.故k+fk=0,从而，由式得，（的汝=0,/=1由于向量组名,是基础解系，所以=k2=-=kn=0.因而:由式得化=0.因此，向量组%线性无关.十一、假设一部机器在一天那发生故障的概率为02机器发生故障时全天停止工作，若一 周有5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获得利润5万元发生二次故 障所获利润0元；发生二次或二次以上故障就耍亏损2万元.求周那期望利润是多少？【详解】以X表小一周5天那机器发生故障的天数，则X服从参数为（5,0.2）的二项分布:pX=k=C1 0.2-ON-乂攵=0,1,2,3,4,5）,pX=0=0.85=0.328,-X=l=G0.2 Q U=0.410,p X=2=Cg 0.22-O.83=0.20 5,3=1-P X=0-P X=1-P X=2）=0.0 57.以y表示所获利润，则x=o,x=l,X=2,X 3.E（Y）=10 x 0.328+5x 0.410+0 x 0.20 5-2x 0.0 57=5.216（万元）.10,一（I-2.十二、考虑一-元二次方程f+Bx+C=0,其中6、。分别是将一枚色子（骰子）接连掷两次 先后出现的点数.求该方程有实根的概率p和有重根的概率q.【详解】一枚色子（骰子）掷两次，其基本事件总数为36方程组有实根的充分必要D2条件是52 2 4c或4易见B123456r2使cw 的基本事件个数4012466r2使C=的基本事件个数010100由此可见，使方程有实根的基本事件的个数为 1+2+4+6+6=19,19因此p=.D方程有重根的充分必要条件是笈=4。或C=-,满足此条件的基本事件共有2个，因此 4_2_ J _ 36-18十三、假定X,X2,X”是来自总体X的简单随机样本；已知石（X）二%（%=1,2,3,4）.证 明：当充分大时，随机变量1 z =-y X,2,近似服从正态分布，并指出其分布参数.“,=|【详解】依题意X,X2,X”独立同分布，可见X；,X；,X；也独立同分布.由 E（X）=4（k=1,2,3,4）.,、行E（X：）=%,D（X,2）=E（X,4）-E（X,2）2=a4-a f,1 2E（Z.）=-*E（X；）=a”n i=l1“1，（Z）=/d（X；）=7（%-a ri j=fi因此，根据中心极限定理U穹三的极限分布是标准正态分布，即当充分大时，z“近似服从参数为1%,%-的正志分1996年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心1996年全国硕士研究生入学统一考试 经济数四试题详解及评析一、填空题(1)设lim(匕三)=上则常数a=_.X-8%J Y【答】2【详解】左边=lim(l+L)x=e、X8 X右边=tedt=f tdef=te f eldt=ccea ,Joo Jx Ico Joo由左边=右边，得=a/-*，解得a=2.(2)设 z=,/()可导，贝ij 位；+yz；=.【答】2z【详解】因为会/1+沙个:讨卜亚闫一-修*曰+W/OC+W(口于是(3)设/，(in%)=1+%,贝U/(无)=.【答】x+ex+C【详解】令In x=Z,则 x=d,于是由题设有)=1+一,即/卜)=1+乙培训网：北京市海淀区.王庄路1号清华同方科技广场B座609电话：627010551996年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心故f(x)-(+exdx=x+ex+C.(4)设 A=123024005,A*是A的伴随矩阵,则(A*【答】110 j_ 5 31000_ 5 2 502【详解】因为AA*=|A,从而A=A 1011015 3 10001525012(5)设X是一个随机变量，其概率密度为/(%)D(X)=【答】【详解】6r+8 po iE(X)=J xfxdx=J xfxdx+x(l x)dx=0,D(X)=E(Xh=V jcfxdxJ-CO=|x1 2(1+x)dx+J。x2(1 x)dx=g.1+x 若-1 1-x0 x0“1)一 一)2x=-1,则曲线y=/(九)在点处的切线斜率为培训网：北京市海淀区.王庄路1号清华同方科技广场B座609电话：62701055,-2-1996年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心(A”.(5)-1.(C)1.(。)-2.【答】应选(D).【详解】本题实际上是要求/(1),由题设lim/(l)-/(l-x)=llim/(l-x)-/(l)x-0 2x 2 尤0-x得广=-z(2)下列广义积分发散的是(o)r _Lx xhl2x【答】应选(A).1 i【详解】由于x=O是的间断点，且lim司产=1,根据极限判敛法便知sin x 2。1(3)设维列向量a=(；,O,O,g j,矩阵/二二七+2。%其中E是阶单位矩阵，则AB等于(A)O.(B)E(C)E(D)E+aTa【答】【详解】AB-(E-aTa)(E+20ra)-E+20ra-0ra-20ra=E+ci1 a-2a7(acJ)a=E+aTa-2 aTa=E.2(4)设矩阵4/的秩为R(A)=加).,所以4V=b 一定有解,又z 刀，故有无穷多解.(A)、(B)中“任意”应改为“存在”；(C)中若改为通过初等变换(包括行、列变换)，则必可化为(E,“,0)的形式.只有(D)为正确答案.(5)设随机变量X服从正态分布(,)，则随cr的增大，概率P|X-川cr(4)单调增大.(8)单调减小.(C)保持不变(。)增减不定【答】应选(C).【详解】由于X-NJ,4),贝IJ=-(0,1),(J可知此概率不随b和的变化而改变.、(本题满分6分)设/(%)=Lcos产力,jJ ox 0.培训网：北京市海淀区.王庄路1号清华同方科技广场B座609电话：62701055-4-1996年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心【详解】(1)由lim-(1-cos x)=lim=1,x-0-X XT。-Xlim cos t2dt=lim 中=i,x-0+%J o x-0+1可知 lim/(x)=l=/(0).x-0于是，函数/(x)在九=0处连续，(2)分别求/(%)在x=0处的左、右导数.,1 2(1 cos%)(0)=lim-Z-1 x-0-1 1 x2(1-cosx)-x2 2 sin x-2x=lim-=lim-o-x 3x 2cosx-2=lim-x-。-6x-sin x=h m-io-3=0,4（）=曾 yu；cb-COS 12dt-X Y Jolim-z-0+Xlim x 70+cos x2-1 2x-2x sin x1=lim-x-0+2=0由于左、右导数都等于0,可见/（九）在x=0处可导，且/（0）=0.四、（本题满分6分）求不定积分!（a r csin x）2dx.【详解】方法一：f(a r csin x)2dx=x(a r csin x)2-f 2：。dx.ll-x2=九(a r csin x)2+62701055培训网：北京市海淀区.王庄路1号清华同方科技广场B座609电话:-5-1996年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心=x(a r csin x)2+2y/l-x2 a r csin x-J 2dx=x(a r csin x)2+2J l f a r csinx-2x+C.方法二：令=a r csinx,贝U x=sinu,dx=cosudu.J(a r csin x)2 dx=J w2 cos udu=J u2d sin w=u1 sin w+2w cos w-2j cos udu=u2 sin u+2u cos w 2sin w+C=x(a r csin x)2+2y/l-x2 a r csin x-2x+C.五、(本题满分7分)设/(X)、g(x)在区间-。同(。0)上连续,g(x)为偶函数,且了(X)满足条件/(x)+/(-x)=A(A为常数).(1)证明 J=a。(2)利用(1)的结论计算定积分J/sin x Ia r ct a n eXdx.2【详解】J：(x)dx=J：/(x)g(x)dx+J；(%)dx,x=t 一j：/(T)g(T)d=J：x)g(x)dx.于是J：(%)d九=/(x)g(x)dx+f x)gx)dx=J；“%)+/)g(%)公=A；gxdx.(2)取/(i)=a r ct a n eX,g(x)=Mn R,a=(iJ/(x)、g(x)在-三,三 上连续 g(x)为偶函数，由于培训网：北京市海淀区.王庄路1号清华同方科技广场B座609电话：62701055-6-1996年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心(a r ct a n a r ct a n=0,可见 a r ct a n ex+a r ct a n ex=A,令无=0,得 2 a r ct a n ex=A,故 A=1.即 x)+r)=、.于是，有n_ 力工 J I J I|sin x|a r ct a nexdx=|sin-|=(-cos2=.六、（本题满分6分）设某产品的需求函数为。=Q（P）,收益函数为K=P。,其中P为产品价格，。为需求量（产品的产量），。（尸）是单调减函数.如果当价格为线对应产量为Q o时，边际收益=0,收益对价格的边际效应也=c1.求4和【详解】由收益函数K=P0,对。求导，有需p+Q掾dRdQ Q=Qq得及土 b-由收益函数K=P。,对P求导，有