华理高数答案(上).pdf

教学内容：1.1实数集区间 1.2函数的概念1.3初等函数 1.选择题:*(1)%)=(8$3%)2在其定义域-8,+00)上是)(M最小正周期为3%的周期函数；(为最小正周期为2的周期函数;(0最小正周期为二的周期函数；(夕非周期函数.答(笈)*谈/)%=虫，一8，+勾，贝必方 Lj)(血-8,+8)单调减；(4农-8,+8)单调增；(0在(-8,0)内单调增，而在(0,+8)内单调减；(夕在(-8,0)内单调减，而在(0,+8)内单调增.答(笈)*(3)下列函数中为非偶函数的是)arccos%；(Cy=-33+4+X1+3%+4；2X-1(A)y=sin x-；T+1(如=厂二以力+Jl+%2)-Jl+%2答(B)*2.设一球的半径为r,作外切于球的圆锥,试将圆锥体积y表示为高力的函数，并指出其定义域。解：如图,故火=An 於ODBBC/.=AC R,r h(/)2 _ 於体积/=H r1凌3)2一 产(2r h X -1一工，1 x-X求其万=./44%（的是达式，并求“）及其2）,和/1凡)=gV%(=)_乂/%=一/+1解：力1时，V x)；-1 1 时,兄)=/人&(二1一%(=-才；(1(%)=/乂.g%(=1 x+=/+1“1 时，V x),一*+1,%一_,二.兄)=-%2,-1 J；1，.-.(0)=0,2)=22+1=52*5.设20 时，若/%）是（一，+8的奇函数，试写出。时，/%）的表达式;仅）若是（一叫+8的偶函数，试写出，0时，的表达式.解：x0,则一）o,A-x*2一”+%,）是奇函数，,./一%一/%,（）f(x)=-4-%)=-5+%+1(%0)(2)工0,则一%0,*1-A X 卜 2T+-；(-1),.，)是偶函数，/.fx)=-X 八)2(x 0).（%）_/（%）+）*6.设函数H%）在一/J L有定义，试证明 2 是一/L的偶函数，而%(%)=/（止八%）2 是卜/L的奇函数;仅）函数的和；试证明在区间1/有定义的函数2力）,总能分解为一个奇函数与一个偶试将函数/（%）=；表示为一个奇函数与一个偶函数的和.解：对于0（万=/(%)+/1%)2“x）=显然有斤彳卜/乂 J I 2 一甲,所以0（%及卜/，/1的偶函数。U（%）=而对于23y/(-x)=/*1/1J,(%)显然有 2,所以%(%)是-/，/1的奇函数.)/(%)一/(%)因为 2 2 而由知%2 和”2 分别为14/L的偶函数和奇函数,这样就证明了所需证之结论.后=/(4丁)+/-(%+小)-/-卜)(3)八,2 2w+%+y-j+x-i-x=-1-2 2*7求函数r=存二的反函数，并指出反函数的定义域。解.当力工一1 时，0歹+oo,由 y=-1 得 x=-Jj2+1故所求的反函数为 一%)=+1(0%+8)*8.已知人力)是二次多项式，且/(%+)_/万=8%+3,/(。)=0,求人).解：设/(%)=2+及+右，因为/(0)=0,所以右二0,而/(丁+一人力=(%+1 2+&%+-(ax1+b x)=2ax+a+b据题意有 2办+力=8%+3.2 8,z a 4.故 7 r解得，c i b 3?b 1,_/(力=4%2-xx+3 a b c-T=-1-7*9.求常数凡a j使M%一D%)T(力一1)4解:a b c _ ax 2+b x(x 1)+6X _(/+(e-2a-3)x+ax x-1(x-1)2 M%-1)2 M%-1尸比较系数可知有+方=0,c2a 3=1,=3解得a=&b=-3,c=4*io.根据下列给定的表达式，求工（%）=/%（谓重复合）的表达式:(1)小 1+9 乙解：/W=i+=2 时,/加）小+1用卜1+；+1=3 时,21+工+目=1+工2 22)1111 x/(+/M=i,二+211 x _1-1-H-=22t 2”2/_1 2=2 时,匕/H尸=一/(%)=附=3时,71+3?,x2XxJ1+24用数学归纳法可得“+7号50,-1 x 0；设/(%)=%,0 W jt 1；人力=Al-2x),*11.2-x,1 x 2.。求d%）的表达式和定义域；Q画出网力的图形 解：1+2才，0；2(1)41)=1-2x,0 x；0,%1.2夕才）的定义域*-/A sin =cos(17%)f cos*12.设 I 2J，求 I 2J解:+-cos 17j:*13.若/%）*十0世单调增加函数，且对一切%都有/（力区且十*“试证明X/W*WW%）K M（%）证明：.=/才+Ay)(小；(2)判定函数/(%)的奇偶性。解：取=夕=00寸，有/(Q=/(+/(0),故/(0)=0.(2)取/=一力，有/(P=/3+人力，于是/才+人幻=0,即(/3%=一，%(-oo,+co),因此./(%)是奇函数第2章(之1)第2次作业教学内容：2.1导数概念*1.设人力=/+2试用导数定义求/(%).lim，%+/仅)_ 1而(+y+2,+Ar)-jr3-2x解：v-o N x A。Ar=3/+2.7*2.试用导数定义计算下列函数的导数：/(XT,求/”)；(2)力，)=8-，求欢2)；1/)=3/2一/,求,(-1)/(I)=hm%一向解：(1)Ar1 _1:lim=lim-1o Ar A.r-o 1+/Vr(2)g鼻.8-(/+A/3)-8-/3 1./3-(/+A/3)二 lim-lim-“()A/4f o A/3-(/+3/2A/+3/A/+A/3)=lim-A/-0 A/=Hili J-3/2-3zA/-A/2)_即/(/)=一3/,，g(2)=-12.，二而Ie/（i 3（/+八，2）一一3/一，0 A/zto A/6/A/+3A，一 A/lim-/f。A/lim(6/+3A/1A/f0d(/)=6/1,(p(l 扣7*3.求曲线P=2/在点产=（1，2）处的切线方程.解：曲线在点尸处切线的斜率为%-1 所以切线方程为 少=4（%-1 12.8*4.化学反应速率通常是以单位时间内反应物浓度的减少或生成物浓度的增加来表征。设有一化学反应，反应物浓度。与反应开始后的时间,之间有如下关系：试表出时刻I。到时刻 止段时间内的平均反应速率；倒）表出在时刻的瞬间化学反应速率。=4）解：I。；.-X/）f x）,V.=lim v=lim 八 7（2 I E。t-t。*5,1s/_ 7已知沿直线运动物体的运动方程为：，求物体在时刻乙。一I的（瞬时）速度。解:/+A/,-A/_/(/+A/)_ 1A/A/+A/).ZV r 1 1v-lim=lim -=-3 t 4/+A/r1 1Vq=v=物体在时刻/。=2的（瞬时）速度 4 4*6.在作等速旋转时，角速度是旋转角度与所花时间之比，已知非匀速旋转时，旋转角e与时间t有如下关系：9=可,）。试导出非匀速旋转时的（瞬时）角速度彼，）表达式._ 8（，+/-p t（）解：A。=。（/+A/-）0/J）A/A/,（、6（/+A/O t（力 奴/）=hm =hm-金铲tJ。A/A/9*7.在时间段流经导线某个截面的电量为A”则称A/为时间段上的平均电流强度,记为7,现已知时间段，内流经导线这个截面的电量为式,)，试求在时刻,导线于该截面 上的电流强度4/)夕/()解：a夕zv 夕/()-77-a/,-A/力一次，)，I=lim I=lim=lim-=q(t A/-0 A/70/f0 A/第2章(之2)第3次作业教学内容：2.2.1函数极限的定义lim cos x-cos*1.试证：M.证明：W0,取3=，7%满足条件卜一即,有C.彳一曲I c.力一司cosx-c os j:0=2sin-sin-2sin-x-xQ 0,限定 1%+31,则有4%2,-5x-l-3$_2向x-x-1 3ioR_2图斗臼所以只要取=min(3*l),当0,限定|%4|4,则有0彳8,即04而，若使卢4Jx+2 2Jx-2=-4|取 0,当卜-43时，有|石-2|0,3 0,“一工=Ax)-A一8(2)V0,若限制)。当/X时，必有21_()=2r 2-牙=e即2/W=01+7,x0+lim fx=lim(1+x2=1h0-xf0-*5.讨论下列函数在所示点处的左右极限：(1)/(1)=%一%在力取整数值的点;解：I)%。为整数，lim-%)=lim x-x)X4q+X Jq+(2)符号函数sgn%在点力=0处.11=lim 彳-lim x =/一*o+Xf 珀+o 40=U,lim/(%)=lim(%)x,t0-.r=lim%-lim x _(n0-旬 一“0 Wo 1 1H lim sgn x=lim 1=1/x-0+.r-0+,lim sgn x=lim(-1)=-1.r-0-0-*6.从极限的定义出发，证明：linin x=ln/（4 0）证明：只需证明 3d 0,0 x-x03 i|%ln 即可。XIn 力匕。=In se由于：,x即:T X e e ee%。x0(ee-1)x-x0 x ee-1)取一则当0,一现|5时，有ln|%ln%|0)即：f r。lim yz j a*7.设f。-,若存在%。的某个去心邻域使当陷为/）时，成立/0,试问是否必有力0成立，为什么？解：不一定。如*在%=。点.第2章（之3）第4次作业教学内容：2.2.2极限的性质 2.2.3无穷小与无穷大 1.填充题:12lim Ax)=+8*(1)用*X语言写出极限8八 的定义为：V 0,1TO,n/(%)olim f(x =-oo用M-S语言写出极限-。+。的定义为：V J/0,mb0,/=fx)0,/(%)。*(2)设“5+1)2,则当 一 时人幻为无穷小；当上一 时,/(%)为无穷大。答案：1.2.选择题：乙、1 1/(力二一COS-zv*(1)设)，则%一0时，八”()(A)是无界量，也是无穷大量；(B)是无界量，不是无穷大量；(C)不是无界量，是无穷大量；(D)不是无界量，也不是无穷大量.答(B)r2 _1-L当11 时，/(%)=士一1 的极限()*(2)%1(等于2;(夕)等于0;(6)为8；(切不存在但不是无穷大.答：(D)lim tan 妆 arctan-=*(3)x13tt jr（MO；（0不存在；（C）不；（夕不2 2答:A用无穷大定义证明：lim J=+oo.c 1+01Y_ 1*3 74 1任给”0,令7L 解得：0%1三解：,M取5=，则当0%10,当0卜不|用时，有恨）|0,当0+以取3=min（仇，2），当 卜一%。1（+）二所以*%0时，/3+赵力）是无穷大第2章（之4）第5次作业教学内容：2.2.4极限的运算法则A-D1.选择题14*(1)下列叙述不正确的是()A.无穷大量的倒数是无穷小量；B,无穷小量的倒数是无穷大量；C.无穷小量与有界量的乘积是无穷小量；D.无穷大量与无穷大量的乘积是无穷大量。答(0*(2)下列叙述不正确的是()A.无穷小量与无穷大量的商为无穷小量；B.无穷小量与有界量的积是无穷小量；C无穷大量与有界量的积是无穷大量；D.无穷大量与无穷大量的积是无穷大量。答(C)当力一/时,力是无穷小*(3)(M充分但非必要条件(方)必要但非充分条件充分必要条件(夕既非充分条件，亦非必要条件设%*(4)I 当=0(A)b-3,=3；(B)b-6f(),=3,可取任意实数；(D)b=6,2.求下列极限：(1)口汽 Hm*1 3%-1；*7r aJ-x 2 rlim-/-/lini*(4)fhJ%+53；*(5 卜，是lim人力=力”的：()17)答：c且 lim/(%)=3,则x0(4=3；河取任意实数。答：D9(3)lim(2x 1 c$s2,r-21一5；*2a/i+1-Ji+x2 Jl+%1.15痴(户+2)2_(产_2)2*(6 产8(炉+1)2+(7-1)2.(是正整数)lim 口”，+1 解：（1广-1吧（3%-12r2-Q/小、lim-=lim x+3 6(2),一3 X-3 13、厂,/lim(2%-1 斗 0-41cos-2%1有界,/.lim(2%-1 c|os-=0 21五-2=血(G2)(F+3Tm(4)z4j%+5_3-4 jt+5-9 z4(xjr 2)(J%+5+3(五-2)(a+2).dx+5+3 6 3=lim 尸-=14&+2 4 2它 T./J1+%1 Jl+%2-1、原式=lim(-=)a。Jl+%1 Jl+%11 Jl+_r+1)=1 lim/-5 Jl+.2+1=1Q r2/、原式=lim-(6)-2(x2/7+1)=4 lim.-T8 I1+%2=4若lim削)=0,且在；r()的某去心邻域内4)w 0,lim 4*)=4*3.f zrog(%)则lim/（力必等于0,为什么？16解型*心翳）=4。设lim/+呼+%+5=3,试确定分分之值*4.L x 1/+ax1+x+b c因 lim-=3解：7%T，故 lim(_1x3+ax1+x+b +8+2y-i2=0 即 b=a 2则limX-1x3+ax1+x+bx2-l-lim(才一1x3-1x-1-a+-x2-i y-i)=31+a-22=2+a=3.,.0=1,b=T设*5.ZU）在=/处可导，求极限lim）高一.以幻%x x0原式=向一一步*+一才7。-,)fm X-XQ X XQ=-hm _ 0+lim/(%)if*。X-XQ o第2章（之5）第6次作业教学内容：2.2.4极限的运算法则E 2.2.5无穷小的比较*1.试求下列极限:(1)+2 刈.3x+1 7lim(-尸(2)t 3+力(3)2lim(1+3%尸 才，o17111解:(1)limXf 01、1(2)(3)*2.*3。+2x)lim(1+2才 2 寸,r-0,3%+1.-7 lim(-)i-3+%=lim(1+3+x23+.r3+%-lim e x=e*2喇（1+3力皿=屋试求/（%）=cosjr的导数。解:cos(jr+Ar J cos%limAr-0limArf0/=c()sXT-2 sin x2)Ax.Arsin 2lim-sinAr-0Ax-sin=-sin x,sin x研究极限lim 2cos.i0 x原式二lim2 sin 一 2.10 彳解:xc.ax-2sin 2,.ax2sin-=ax（0）的存在性-a由于左、右极限不相等，所以原极限不存在184.选择题1 y I设a(x)=-,0(%)=3 3F，则当%-1时()*+x(力与伙力是同阶无穷小，但不是等价无穷小；4a力与。(了)是等价无穷小；T4才是比例力高阶的无穷小；)&才是比a(%)高阶的无穷小.答：A设/(%)为可导函数且满足lim 一 4=t,则曲线=/%)在点*d 2%(a,人)处的切线斜率为()(M2(0-1(6)1 6-2r/14一/一%)1.力一/()1：lim-=lim -=fa)=-1分析：2/2 x 2,答(功*制3)设/才=(2+N)sm%,则在=。处()(A)，(b)/(0)=。/()=1(D)不可导L X-/(0).sin X2+H)lim-_=lim-=2%Tf 0 彳)答(M*5.适当选取，、左的值，使下式成立：Jl+tan%-Jl+sin力数(当).,1COSA,sin x(-)n-f：-：tan 彳一 sm x c os rVl+tan jr-Vl+sin x=/=笑=解.Vl+tan jr+A/l+sin x Jl+tan%+Jl+sin%19sin x-2 sin 2 2(J1+tan%+J1+sin%)cos%,2-(-)2 32 _彳彳一时，sin%上式等价于 1+14./=1,k=3 46.当了 一 时，试确定下列各无穷小对力的阶数.%(力+1)*(1)/+10000/.*1+必*7.,/lim解：z(2),r lim4fod+10000/(1+桁)彳a()cos-x=10000阶数为2。=lim牙一0-产11+盯阶数为1.其中Q(X)为力的高阶无穷小.(T 0)%=0,试证明M1+D02 Xx+，%w 0,函数%)在力=0点处可导.Q(才证明：由于“3时，是无穷小量,1cos%是有界量，所以lim/()-/(0),lim)cosl%=0,X，0 XX，/(1)在=0处可导*8.设limXf0J+/(力一cos%)=(0),试确定，力之值20解:因lim.rf 0W2+(占一 cos%)则4a+x(b-cos x),lim-=2.rf 0 Km ill，2 J/+%2(dCOS%)贝-=-1)=0 zB,11。X,得分=1代回原式lim/r-=2=1/r-4a1+P(1-cosx)a/2故知=4,，=1为所求_ a)-tan 5x*9,设 ,其中R(幻在=0处可导，且M0)=o,d(0)=1试证明4%)5%,(%.0)证明:/(力(X%)tan5%tan5%a一以0),lim=lim-=lim-=5(p(0)=5x-0 力 x-0/.10%力/(%)与5%为同阶无穷小(兄-0时)设力力=4*,*10.(1 其中奴力在=0处可导，且0（0）=0,求lim/（力.才f 0lim.万=._0 解：Q)*n.（1）若当看（某个定数）时，恒有/（%）彳仁物，（且L知 lim/(x)=lim%=(/)lim)=A#-+8%+8 0 证明.*f+8（2）若对于一切正数）,都有出)_ 0当乙时，有女幻 4+,令*=0 x（%,%,%）则当了时，同时成立/一(夕)r Z(X)A+8 f+8.+J/+1 lim-1+J1+，及.力=limT87f+8211-=2lim(p(x)=2利用(1),知第2章（之6）第7次作业教学内容：2.3.1函数连续的概念 2.3.2连续函数的运算性质 2.3.3初等函数的连续性*1证明:.从定义出发证明函数/彳）=订在任一点%。（）处连续。分析:函数/（%）二石在任一点与（0 h连续.22*2.讨论函数*3.小)=|x|sin 0,%=0在=0点的连续性.lim/f x)=lim IJ sin =0=/O)解：a ioi 1 x函数在点=连续.sin%+e2r/U)=-1、，一当,在=0处连续，则a,%w 0ax，当=0答：-14.试利用极限四则运算的性质，重要极限，等价无穷小，基本初等函数连续性及变量变换 与极限过程改写等各种已知结果，求下列极限：.tan(x2-1)lim-彳-1 1x-*Xtanf jr2-1)x-sin(jr2-1)lim-=lim 己-z-=17 j(1-1)cos(%-1)解：x.tan jr-sin xlim-0(arcsin 才.tan-sin x.tan x-(1-cosjr)lim-=lim-(arcsin 力(arcsin%)2,X,八 1-cos jr-,tan x-x,arcsin x-x0时，有 2所以2 X x-=lim-2-原式%2*(3)c os X计算极限lim23解：因当-0 e e=e(ecosi 1)-x*27i+x22 2%X=2-e(cosx-l)2-/故原式=lim3/2.*(4)计算极限!吧芸潦君解:因当了-0时1-cos x为 2ln(l+%2)72 esinr-l-sin4 原式=lim;一0 12用1设人幻=仃 试讨论/（%）的连续性.cos，1 0.r 10lim/(x)=lim cos=0,“rf-i+o-i+o 2/（i0）。/ei+o 故/4 任=-1 处不连续在=1处，/U+0)=lim(X-1)=0,才f 1+0/(I-0)=lim cos =0,.31-0 277,川)=COSy=0,/（l-0）=次）=六0）故/乂在%=1处连续24第2章（之7）第8次作业教学内容：2.3.4函数的间断点及其分类 2.3.5闭区间上连续函数的性质 2.4.1函数可导与连续的关系 2.4.2函数的和差积商的求导法 则y-1函数 的间断点为=1、2,则此函数间断点的类型为（）*1.x 3%+24%=1,2都是第一类；B.%=1,2都是第二类;C.力=1是第一类，=2是第二类；D.%=1是第二类，力=2是第一类.=sin-*2.设 才一，则=T是人幻的 间断点；=是人行的间断点；彳=1是人后的 间断点.答案：1、无穷；2、可去；3、跳跃.*3.对怎样的值，点/W=P-4x-a的可去间断点？lim解：函数在可去间断点处%=极限必存在。由极限基本定理，设/一4x-a二A，贝IJ必有%=是函数力时的无穷小。而lim，-4=司4 x-a另一方面,lim a xa+）a%W=0 J所以由储_4=o得=2。经验证，当=2 时,lim%一存在，故=2为所求.4指出ZU）,的间断点,并判定其类型.*4,卜-眄*25解.=0,力=1,%=7,2/T,，7T,，都是/(%)的间断点在力=兀(。0,处，sin nn-0,lim/(6=oox m故=兀,2m 3兀,是/(%)的第二类间断点.x x-1)在力=0 处，/(0)无意义，.o x-1 sin x=-1,x=0是外方的可去间断点.-1在=1 处/(1-0)=,/(1+0)=sin 1x=是/(力的跳跃间断点sinT/(1-Q W/U+0)、/=*5、指出下面函数的无穷间断点：1-cos X“sm x解：依题意，=0及%=五(=1,2,)是的间断点.而2X、.1 cosx.2 1lim/(%)=lim-=lim-=io zoxsin%z。”2.故=不是无穷间断点.1-cosx.1-c os(2tt-x).y(2/hr-x)2 z z 八、lim；-=lim-=lim-=0(/0)又 xtze xsin x 4_2后 一%sin(2观 一%)-x kn-x)lim cos=oo(4=0,l,2)而 X-2&+乃 jrsin%函数人幻的无穷间断点为=冗，3匹5凡*6.设%/%)在【连续,且0-小)(1。试证：存在”，吏)=1成立.1证：构造函数H)=/*,则)在1h连续。且月4。3,凡1)=/1什14。则由闭区间上连续函数的零值定理知，必存在一个。，1更&)=,即)=&成立.证毕.26*7,证明方程=sin 至少)有一个不超过+3的正数根.证：令兄)=%_in A么则用0必在，上上续。且有N。)=一 Fab=)41-sin+，生0,或由闭区间上连续函数的零值定理知必存在一个(0,+0,使得凡“=0,即=sin4+2 证毕.*8.如果/(“)在区间(区,连续，不 七是该区间内任意个点，试证明在汆)=/1%+)+/%()储，,L至少存在一点。，使得 证：因为函数/(力)在卜儿 出区“k连续。由闭区间上连续函数最值定理有m=min/(%)M=max,/(%)X X X X x x 七八&-+)+/%4注)所以，再由闭区间上连续函数的介值定理，知命题得证。证毕.*9,证明方程“5-3%=1至少有一个根介于1和2之间.解：设/(力=丁 一3%-1,/(%)在1,2 上连续，且/=30,由零值定理知至少存在一点自(1,?,使人自)=0即方程%5-3%=1至少有一个根介于1和2之间*10.若/(%)在(-8,+8 连续，且也)=，试证明/W在(一8,+8/有 界.证明：依题意，取2=1，tT,当W*时，有“幻一4i,于是川|/(力一4+|4O,Vg-X-T,西|/U)|取=max(必,1+M,则在(一叫+8)上有“利-成立/(二(x-)|cos X*11.讨论 2 1nx-2处的可导性。,在/(%)一/年)(力一 7)|c osMv lim-二 lim-乙-二 0兀 71 兀 冗，/(%)在力=5处可导X1,x 1 y=*12.试问曲线2%,“1 解：没有。在点(1/h是否有切线，为什么？试简单说明之.lim片:2-1+x-1lim今rx-lim=w lim 仅21I+X 以一 x-1即曲线在点(LI)处没有切线.*13,设4方在(-8,+8)上有定义，在此定义域上恒有/(%+1)=2/(%),且在0,上有/(方=Mi-讨论/(/在=o处的可导性.解:-1-0.解：人力在0点处可微，所以必连续。/(0-0)=lim f(x)=lim ex-1,()一,/(0+0)=lim fx)=lim(ax+场=bx-0+.r-0+,.b=,ex-h ex-1/(O)=lim-=lim-=1(F%(F%Z(O)=lim 竺上+x 二1*i5设-41，其中4%)在=处连续且出以)=o，讨论/“)在=处的连续性与可导性.解.！山/(%)=1回一4双了)=/卜)二./(%)在了=处连续./(%)-/()r|,、八hm LL二 hm -L g(r)=0a。x-a xa x-a/(%)在=以处可导.*16.设在点力处可导。试证明：()(力，仁川(%+%+0%(V)%妙)r+t)f 才 W(x)29证明.左超“廿卜，#7=()/+廿/二右式第2章(之8)第9次作业教学内容：243反函数的求导法则 式 2.4.4复合函数求导法则 2.4.5基本求导公*1.求下列各函数的导数:(1)/=cot%CSC%.(2)secx八二 Ji(5)y=x ex In x.3(7)p=2d+-log 3 e；X解.(1)cot xcscx+csc2 X(3)jl-ln%)(5)ex(lr x+ln x+1)(3 7=M/-ln 力.9(6)p=(cos%+sin 力；(8)y=24 tan x+sec x.(2)兰Man 1-2)x(4)(%+l)/In x 1#(6)lex cos x.3 6/一-x(8)2r In 2-tan x+2X sec2%+sec xtan x2.求下列函数的导数：*(l)p=sin(3/r+l)；解：y=cos(3/+1)3 2=6cos(3/+1).USiYy=*42)力+3 y30V=4 解：2.T-1Y l%+3 J+3)2二4(21)：小+6-2x+l=(KT28(21)3(%+3)5*虫3)y-ln2sin(x+1),2cos(%+l)y=解:2sin(x+1)=cot(jr+l)*(4)*(5)P=+五(1+2(%+3)-(2-1)11x3解：八1户1解：y=2x+j x*(6)P=M(%+J1+昌;解：P=J1+/*(7)2=sin=sin(力2)；解.y-sin 2x-sin(*)+2xsin 2-cos(f)；1=arccos*(8)x.H解：八2 G 1_2r%y-e sin*(9)3；31-2一。1%、r c(-2 sin Icos-)；解：夕二 3 3 3x+1 y-arctan-*(10)x 1._ 解：八/+1.3.求下列函数在指定点处的导数值:2(1)八不求厂；(2)歹=arctan/,求/(0)(4)人=*5,求八“占(5)7=(arcsin x)求 八2)(6)八*3在求7(1)10 1，1 百d If解答：.9；(2).2.In 3.(5).18(6).44.*设/)为可导函数)=/池”)_3林”求同力).解：(方=3Wcos/./(sin/)+sin/(%)/(%)3C0S/(r)-In 3*(2)设 P=/(sec%)sec4(tan%),其中融。,。()为可导函数，求/(%).解:yx)=sec tan/(sec%),sec(0(tan 方)+sec(0(tan 力)tan(tan 力)sec2 上”(tan x)/(sec x)32*5.设，/（%）=maxf r,*,/卜（8,+8）,试讨论/（力的可导性,并在可导点处求出八力）.x,x 0fx)=力 0 JT 1解：由于 I所以/（0）不存在，/不存在,x w 0,1w 1时当2%,x 0,/(%)=1,0%1.*6.设Ge+）及-如，其中0在（-8，+8）有定义且在r=0可导,求八0）的值.h m-/（。）:lim S 分。一知-0解：%1。x二血+-的+胆瞬一/叫=2的，）-。b x-b xa设 尸In J=（忖 1）求反函数的导数武力.7.*（1）V1+-T.，二 1解：/一 1x y)-x2*（2）设/=/（力具有连续的一阶导数，已知/（2）=1,/（2）=e,则尸（%）1日=._解：.第10次作业33教学内容：2.4.6隐函数的导数及对数求导法 2.4.7由参数方程确定的函数的导数 2.4.8极坐标系下曲线的切线问题1*()验证由方程xr-In y=1所确定的隐函数 歹=火方满足方程j2+(r-i)y=oy17+%/-=0证明：y,两边同乘D得y i)y=0*m2)设片乂力由方程e+sin(9=歹确定，求/(0)解：ef y+x j-H y+cos()=y当=0时八1,代入上式有 八0)=2*(3)设片沙(%)由方程6+yx=2所确定，求pl).解：(匕+川n%)+/(y+-yf)=0 x y当彳=1时=1,代入上式有 二一1*2.已知p是由方程xcosp+e，=1所确定的隐函数，求了及该方程所表小的曲线在点(0,0)处的切线方程.,cos r,y 解.cosj-jrsin y-y+e-V=0 得 xsin y-Qy/(0)=-1,。,0)点切线方程为p=-%设3.*-e cos确定了函数p=p(),求之.j=e2/sin t dx解:Ay e2/(2sin/+cos/)ez(2sin t+cos/)dx ecos/2-2/sin X2)(cos/2-2/sin/2)34%=1+/所确定，试求y=e2f dxx=2设歹=乂力由方程*(2)=2e2，包=2e?包=至出 dt t=,dx 2 3%=cos/已知曲线Z的参数方程为 1/则曲线Z在/=三处的法线p=sin 24.*2方程为_答 4%-0夕+1=0 x=ef-j:c os/-1 上.八、,、*八2 所确je的曲线歹=大方在=0卜二,+/处的切线方程.试求由*(2)解：由-1知当.0时，,=0=o+/口 dx t dx.dy且=e-cos/+xsin t =2/+1dt dt,dtdy dx _ 1 dy 一 1,1,一，Mi dt 2 dx 故所求切线方程为7=2万W 十%解:设y=5.*(1)(11)2切5%2，求J.In pl=In 1 31 2 In x lj In 5%-2|y _ i 2 5y 3(%+1)x-3(5%2)35,_:力+1(jr I)2 V 5jt 22 53(%+1)%1 3(5 j:-2)*2)设 p=心了 J%?+l)Jsin 4,(0 X0）上任意点4=（%,乂）（/wO/o W0）处的切线在 两坐标轴之间的线段为定长.证明：对曲线方程求导有:2-2-x3+-y 3y=03 3y y()=-1%/U oJ1二A所以知曲线在4点的切线斜率为切线方程为:3j_ 2 11 1 2令歹二,得”=芯41+%o=W3,切线与轴的交点为二（芯”,0）,L 2 1 2 1 2令=0,得歹+乂 切线与沙轴的交点为36所以切线在两坐标轴间的线段长为：2+（痴3）2=*8.求三叶玫瑰线P=sin（38）（，0）上对应于 4的点处的切线方程（直角坐标形式）.%二今山（38）cos。dy d1 uy du du dx2 du1,、2dx)*3.设其中/()二阶可导，求心解：p=/(E)Qr+Ary=).卜+s 2+/(W)12针十增2 2 2*4.求由方程炉+尸二所确定的隐函数4%)的二阶导数。2-2-3，=。3 3解：两边同时对“求导数，得两边同时再对力求导数，得4 2_|户+U，(川+产 =0y=a3x 3P整理得 3-%=JTT7 d2_ 2*5.设7二二，试证货.38*6.设*=0（歹）是夕=/（%）的反函数，/（%）*。，且/（%）存在，证明:小)F7CT.9:3/(3-/)-7W证：（1）由反函数与直接函数导数的关系，知有/（%）。于是（）=5）=4tf-=_/（力.“（）=/（%）dy dx dy/（%）irm 0=3/2/)防5*7.设=cos2 3x 求).=(1+cos 6%)解：2y=；6cos(61+1/2/八人)由归纳假设，知命题得证。证毕.*10.利用莱布尼兹公式，求函数歹解：由于当24时，(/)()三。所以,*=i廿t#=o w7 (5二 6-er+-6x eA+2 3 4=/(_?+15/+60%+60)冷”)-=o.产二寸7MM)人。(口，那么当=+1时，川+(+!2”一】1股-Un m+1 m 加+1)1)UJ U+1J)/的5阶导数.利用莱布尼兹公式可求得 3/-e r+,I 3,e 1-J 40第12次作业教学内容：3微分设 义用二(cos%),in i+tan 2%,(0 jr 0,且初彳)处处可微，求出*3.解：0(%)记二d%),则In吠力 _ 奴工)_=0()成=(p u)武力一 0(“In仪分dxIn q yx)0(%)dx*4求由方程“3+产3位=0(0)所确定隐函数,p=K%)的微分立解:由/3+式3叼=0,得3x2 dx+3 y2 dy-3ydx+=0,ay-x1.dr=-dx y-ax41*5.求由方程1sin力-cos(力+y)=0所确定隐函数p=犬)的微分段.解.由 dy-sin jt+jc os j：66:+sin(x+y dx dy)=04日 7 pcosx+sin(%+y).得 dy-；-ax sinx+sin(x+j)*6.用微分方法计算疡的近似值.解：令/W=6，/(%卜/0)+/(%),1%0=27.Ar=-1V26 3-=2.95927*7.用微分代替增量，计算cosl51的值.5 77/(%)=cos%.力o=15O=一，Ar=l=-解：6 180,/(151)cosl50-(sin 150)n180=-竟747*只在一个内半径为55/外半径为5.2?的空心铁球的表面上镀一层厚0.005勿z的金，已知铁的密度为7.8 6g/cm3,金的密度为18.9g/cm3,试用微分法分别求这 个金球中含铁和金的质量。4/=+,o=5.A/j-0.2.】=7.8 6,解：3mx x 7.8 6 4叫之.乙=7.8 6 x 207r 493.6(g),r2=5.2,M=0.005,p2=18.9,m2 18.9x4%(5.2)2,0.005=32.1(g)42单摆振动周期7=2tt J/,其中g=98 0cm/s2,摆长/=9.8 cm,要使周期*9.V S增大0.01s,摆长需增长多少？77THdT=-=l 解：.lx 叵Tx 7198而0.010.31()*10.设扇形的圆心角a=60,半径火=100，如果火保持不变，a减 少30,问扇形面积约改变多少？如果。=60不变，火增加1c加，问扇形 面积约改变多少？S=-a2解：扇形面积公式为 2,ASb()Aa=-2()=-43.63(1)视。为变量，则 da 2 360=1火 At?=土 100 1=104.7(2)视火为变量，则 d4 3*11.测得一个角大小为45,若已知其相对误差为3%,问由此计算这个角的正弦函数值所产生的绝对误差和相对误差各是多少？解：设角度为,于是夕=sin;r,由微分近似计算，有cos%-Ar|=cos45-x3%145 x x 3%=0.016662 4(1)|修卜眸甸二第13次作业教学内容：3.2微分中值定理43*1.试求在内对函数%）=arcsin%应用拉格朗日中值定理时匕的值.解：/（%）=arcsin%在-1,1上连续，在内可导艮啖力）在-1,1满足拉格朗日中值定理的条件令/解）=下名/(D-/H)1-(-1)712得至i（一U）内的解自=Ji-4 V 71即存在1=4 n，使/U）二空普U=l，2）*2.设 力,o,/（%）=,，则在%力内使（/）力一夕=5-0成立 x的点自（）（Z）只有一点（切有两点（Q 不存在，（夕是否存在，与涉的具体数值有关答（。*3.设/%）=乂_ 力 Jb x-c x-d）（其中,不用求/（力）,说明方程/（%）二 有几个实根，指出它们所在的区间。解：显然，”）在名刈及乙三卜闭区间上连续，且在（,图4，c，k（内射导，又 因为有/“）=/4 3/c（=/X。）由罗尔中值定理，至少存在三点卷式名刈t忑3k g/（,）使得/怎)=/以=)/go)44又/（%）是一个实系数一元三次多项式函数，所以方程,/（%）=。在实数范围内最多只有三个根，亦即当忑2,43。它们的所在