粒子物理与核物理实验中的数据分析-第二讲.pptx
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1、2024-05-261粒子物理与核物理实验中的粒子物理与核物理实验中的数据分析数据分析杨振伟杨振伟清华大学清华大学第二讲:基本概念(续)第二讲:基本概念(续)1艾滋病检验结果再认识艾滋病检验结果再认识2024-05-262 对于个人而言,对于个人而言,0.032 是主观概率。如果没有是主观概率。如果没有其它额外的信息时,应把其它额外的信息时,应把 0.001 当作相对频率解释。当作相对频率解释。但是往往在病毒检验前,该相对频率被当作一种信但是往往在病毒检验前,该相对频率被当作一种信念来处理个人是否患病。念来处理个人是否患病。如果还有其它额外的信息,应该给出不同的先如果还有其它额外的信息,应该给
2、出不同的先验概率。这种贝叶斯统计的特点必定是主观的。例验概率。这种贝叶斯统计的特点必定是主观的。例如,受检者有过吸毒历史。一旦验前概率改变,贝如,受检者有过吸毒历史。一旦验前概率改变,贝叶斯定理就会告诉患病的可能性。对阳性结果的诠叶斯定理就会告诉患病的可能性。对阳性结果的诠释就会改变。释就会改变。问题:能否构造含自变量的概率?问题:能否构造含自变量的概率?22024-05-263随机变量与概率密度函数随机变量与概率密度函数假设实验结果为假设实验结果为 x (记作样本空间中元素记作样本空间中元素)的概率为的概率为那么概率密度函数那么概率密度函数 p.d.f.定义为定义为 f(x),它对全部样本空
3、间,它对全部样本空间S 满足满足定义累积分布函数为定义累积分布函数为对于离散型随机变量对于离散型随机变量3 分位数、中值与模分位数、中值与模2024-05-264分位分位点点 x 定义为随机变量定义为随机变量 x 的值,它使得的值,它使得 这里这里 0 1。因此可以容易求出分位点。因此可以容易求出分位点随机变量随机变量 x 的的中值中值定义为定义为 随机变量随机变量 x 被观测到大于或小于中值的概率是相等的。被观测到大于或小于中值的概率是相等的。模模定义为使概率密度函数值达到极大的随机变量值。定义为使概率密度函数值达到极大的随机变量值。42024-05-265直方图与概率密度函数直方图与概率密
4、度函数概率密度函数概率密度函数 p.d.f.就是拥有无穷大样本,区间宽度为零,就是拥有无穷大样本,区间宽度为零,而且归一化到单位面积的而且归一化到单位面积的直方图直方图。直方图在统计分析中非常重直方图在统计分析中非常重要,应准确理解它的含义。要,应准确理解它的含义。52024-05-266多变量情形多变量情形如果观测量大于一个,例如如果观测量大于一个,例如 x 与与 y62024-05-267边缘分布边缘分布将联合概率密度函数将联合概率密度函数 p.d.f.分别投影到分别投影到 x 与与 y 轴轴7若若 x,y 相互独立,则可构造相互独立,则可构造2-维维p.d.f2024-05-268条件概
5、率密度函数条件概率密度函数利用条件概率的定义,可得到利用条件概率的定义,可得到定义条件概率的密度函数定义条件概率的密度函数 p.d.f.为为则贝叶斯定理可写为则贝叶斯定理可写为 h(y|x)yyx82024-05-269名词总汇名词总汇随机事例随机事例概率概率条件概率条件概率相对频率与主观概率相对频率与主观概率贝叶斯定理贝叶斯定理随机变量随机变量概率密度函数概率密度函数条件密度函数条件密度函数直方图直方图92024-05-2610问题问题条件概率条件概率如果如果 A 与与 B 相互独立相互独立,则从文恩图上得到,则从文恩图上得到因此因此102024-05-2611解答:概率都是条件概率解答:概
6、率都是条件概率由柯尓莫哥洛夫公理,我们定义了概率由柯尓莫哥洛夫公理,我们定义了概率 P(A)。但在实际应用中,我们总是对但在实际应用中,我们总是对 A 相对于许多样本空间的概率相对于许多样本空间的概率感兴趣,而不仅仅只是一个空间。因此,通常以记号感兴趣,而不仅仅只是一个空间。因此,通常以记号来表示所进行的研究是在特定的样本空间来表示所进行的研究是在特定的样本空间 S 中,也就是中,也就是 A 相相对于对于 S 的条件概率。的条件概率。因此,所有概率在实际应用中都是因此,所有概率在实际应用中都是条件概率条件概率。只有当只有当 S 的选择是明白无误时,才能简单记为的选择是明白无误时,才能简单记为1
7、12024-05-2612解答:互斥与相互独立解答:互斥与相互独立互斥互斥的定义为的定义为也就是两个事例的定义没有交集。所给出的推论为也就是两个事例的定义没有交集。所给出的推论为相互独立相互独立的定义为的定义为因此,根据定义两个相互独立的事例不意味着是互斥的。前因此,根据定义两个相互独立的事例不意味着是互斥的。前面的问题属于把两者定义混淆了。面的问题属于把两者定义混淆了。122024-05-2613证明举例:事例与逆事例证明举例:事例与逆事例如果 A 是在 S 中的任意一个事例,则证明:由于 A 与 根据定义是互斥的,并且从文恩图得到因此可以写出132024-05-2614举例:检查给定概率的
8、合理性举例:检查给定概率的合理性如果一个实验有三种可能并且互斥的结果 A,B 和 C,检查下列各种情况给出的概率值是否是合理的:结论:只有结论:只有1)与)与4)是合理的。)是合理的。评论:作为一个合格的实验研究人员,一定要具备判断评论:作为一个合格的实验研究人员,一定要具备判断 结果是否合理的能力!结果是否合理的能力!142024-05-2615举例:检查经验概率密度函数举例:检查经验概率密度函数实验上经常经验性地从直方图中给出概率密度函数(例如通过拟合直方图分布等等),但是需要确定得到的函数是否满足概率密度函数的定义,例如试判断哪一个可以用作概率密度函数?答案:1)有负概率值;2)累积函数
9、值大于1。因此,两者在给定的随机变量范围内都不能用作概率密度函数。152024-05-2616数据分析中的问题数据分析中的问题粒子与核物理实验中对动量的测量通常是分别测量粒子与核物理实验中对动量的测量通常是分别测量在已知两分量测量值的概率密度函数情况下,总动量为在已知两分量测量值的概率密度函数情况下,总动量为如何导出总动量的测量值的概率密度函数?如何导出总动量的测量值的概率密度函数?是研究随机变量函数的是研究随机变量函数的p.d.f问题。问题。162024-05-2617一维随机变量的函数一维随机变量的函数随机变量的函数自身也是一个随机变量。随机变量的函数自身也是一个随机变量。假设假设 x 服
10、从服从 p.d.f.f(x),对于函数,对于函数 a(x),其,其p.d.f.g(a)为何?为何?172024-05-2618函数的逆不唯一情况函数的逆不唯一情况假如假如 a(x)的逆不唯一,则函数的的逆不唯一,则函数的 p.d.f.应将应将 dS 中对应于中对应于 da 的所有的所有 dx 的区间包括进来的区间包括进来182024-05-2619多维随机变量的函数多维随机变量的函数考虑随机矢量考虑随机矢量 与函数与函数 ,对应的,对应的 p.d.f.如果两个独立变量如果两个独立变量 x 与与 y,分别按,分别按 g(x)与与 h(y)分布,那么分布,那么函数函数 z=xy 应具有何种形式?应
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