二元一次方程组特殊解法.doc

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二元一次方程组的特殊解法
1.二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法。
这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元”转化为“一元”把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”转化到“已知”的重要数学化归思想。
解二元一次方程的一般方法在此就不举例说明了。
2、灵活消元
（1）整体代入法
5. 解方程组
解：原方程组可变形为
继续变形为
<2>代入<1>得：

解得：
方程组的解为
（2）先消常数法
例6. 解方程组
解：<1>×5－<2>得：

<3>代入<1>得：
把代入<3>得：
所以原方程组的解为
（3）设参代入法
例7. 解方程组
解：由<2>得：
设，则
把<3>代入<1>得：
解得：
把代入<3>，得：
所以原方程组的解是
（4）换元法
例8. 解方程组
解：设，则原方程组可变形为
，解得
所以
解这个方程组，得：
所以原方程组的解是

（5）简化系数法
例9. 解方程组
解：<1>＋<2>得：
所以
<1>－<2>得：
由<3>、<4>得：

解三元一次方程组的消元技巧
解三元一次方程组的基本思想和解二元一次方程组一样也是消元，化三元为二元、一元，最终求出各未知数的值，完成解题过程.但是，在具体解题过程中，许多同学却难以下手，不清楚先消去哪个未知数好.下面就介绍几种常见的消元策略，供同学们学习时参考.
一、当方程组中含某个未知数的项系数成整数倍关系时，可先消去这个未知数
例1．解方程组
分析：方程组中含的项系数依次是4，－2，－6，且4=－2×（－2），－6=－2×3.由此可先消去未知数.
解：①+②×2，得，④
②×3-③，得， ⑤
解由④、⑤组成的方程组，得，⑥
把⑥代入①，得，
所以原方程组的解是.
二、当某个方程组中缺含某未知数的项时，可以从其余方程中消去所缺少的未知数.
例2．解方程组
分析：因为方程①中缺少未知数项，故而可由②、③先消去，再求解.
解：②×3+③，得，④
解由①、④组成的方程组，得， ⑤
把⑤代入②，得，
所以原方程组的解为.
三、当有两个方程缺少含某未知数的项时，可先用含公共未知数的代数式表示另外两个未知数，再用代入法消元.
例3．解方程组
分析：很明显，在方程①、③中，分别缺少未知数、的项，而都含有未知数的项，从而可用含的代数式分别表示、，再代入②就可以直接消去、了.
解：由③，得， ④
把①、④代入②，得， ⑤
把⑤代入①，得， ⑥
把⑤代入③，得，
所以原方程组的解是.
四、对于一些结构特殊的三元一次方程组，可采用一些特殊的方法消元
1．整体代入法
即将原方程组中的一个方程（或经过变形整理后的方程）整体代入其它方程中，从而达到消元求解的目的.
例4．解方程组
分析：注意到①中的，这就与②有了联系，因此，①可化为，把②整体代入该方程中，可求出的值，从而易得与的值.
解：由①，得， ④
把②整体代入④，得，
把代入①、③，得. ⑤
解⑤，得.
所以原方程组的解是.
2．整体加减法
例5．解方程组
分析：方程组中每个未知数均出现了三次，且含各未知数的项系数和均为1，故可采用整体相加的方法.
解：①+②+③，得， ④
再由④分别减去①、②、③各式，分别得， ，.
所以原方程组的解是.
3．整体改造
例6．解方程组
分析：按常规方法逐步消元，非常繁杂.考察系数关系：中含、项的系数是①中对应系数的4倍；③中含、项的系数是①中对应系数的27倍.因此可对、③进行整体改造后，综合加减法和代入法求解.
解：由②、③，得
再将①代入④、⑤，得，.把、的值代入，得.
所以原方程组的解为.
4．参数法
例7．解方程组
分析：由于，所以可设，则得
，，. ③
③代入②可得，代入③易求、、.
解：设，则得
，，. ③
③代入②，得，代入③，得.
评注：这里的被称为辅助未知数（或参数）.由于它的中介作用，避免了原方程组中三个未知数、、的直接变换消元，从而大大减少了运算量.

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