一道“曲线”试题的解法与延伸.pdf
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1、2024 年第 1 期(上半月刊)中学数学研究37一道“曲线”试题的解法与延伸江苏省如东县掘港高级中学(226400)许卫华高考数学重视创新命题情境,近年来一些具有数学文化背景的“曲线”试题频频出现高考或各地模拟试卷中,不仅考查了相关数学知识和方法,而且浸润数学文化,很好地展现了数学结构与和谐之美.下面就一道以“四叶草”为背景的试题从解法到延伸推广进行探析.1 试题呈现题目(2024 届贵州省贵阳市高三上学期 8 月摸底考试第 16 题)如图 1,A,B两点分别在 x,y 轴上滑动,OPAB,P 为垂足,P 点轨迹形成“四叶草”的图形,若图 1AB=2,则 OAP 的面积最大值为.2 试题分析
2、2.1 内容分析试题以“四叶草”图形为背景,融合解析几何动点轨迹、最值问题和平面几何知识在解析几何中的运用,以及均值不等式、导数等求解最值的工具,渗透考查了数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学核心素养,是一道体现数学结构美和数学本质的优质试题.2.2 溯源分析对试题背景的挖掘,可以追溯到人教 A 版普通高中教科书 数学选择性必修第一册(2019 年版)第 88-89 页习题 2.4第 8 题:长为 2a 的线段 AB 的两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动,求线段 AB 的中点的轨迹方程,并说明轨迹的形状.由此可以看出,考题是在教材题基础上的深化,充分说明数学命题源于教材的原则.
3、在复习备考中,对教材的回归和挖掘至关重要,这既是应对命题者的有效策略,也是提高应考能力的手段和途径.3 解法探究分析 1 先设出 OA、OB,利用图形性质表示 OAP 面积,配凑、利用均值不等式求解.解法 1设 OA=p、OB=q(p,q 0),则 AB=OA2+OB2=p2+q2.由 AB=2,得 p2+q2=4.在RtOAB 中,由等积法得12AB OP=12OA OB,所以OP=OA OBAB=pq2.由射影定理,得 OA2=AP AB,则AP=OA2AB=p22.所以 OAP 面积S=12AP OP=12p22pq2=p3q8=18p6q2=18p2 p2 p2 q2=18p2 p2
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