任意角与弧度制题型小结.doc

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任意角与弧度制
【知识梳理】
1．按旋转方向分
名称
定义
图形
正角
按______方向旋转形成的角

负角
按______方向旋转形成的角

零角
一条射线_______旋转形成的角

2. 按角的终边位置
(1)角的终边在第几象限，则此角称为第几____；(2)角的终边在__上，则此角不属于任何一个象限．
3. 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝_________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与__________的和．
【常考题型】
题型一、象限角的判断
【例1】已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.

【类题通法】象限角的判断方法
(1)根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．
(2)根据终边相同的角的概念．把角转化到0°～360°范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角．
【对点训练】
在直角坐标系中，作出下列各角，在0°～360°范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角．
(1)360°；(2)720°；(3)2 012°；(4)－120°.
题型二、终边相同的角的表示
【例2】　(1)写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．
(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．

(3)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．

【类题通法】
1．终边相同的角常用的三个结论
(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．
(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．
(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
2．区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步
(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；
(3)用不等式表示区域内的角，组成集合．
【对点训练】
已知角α的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角α的取值范围．

题型三、确定及所在的象限
【例3】　若α是第二象限角，则2α，分别是第几象限的角？

【类题通法】
1．nα所在象限的判断方法
确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．
2.所在象限的判断方法
已知角α所在象限，要确定角所在象限，有两种方法：
(1)用不等式表示出角的范围，然后对n的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.从而得出结论．
(2)作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.标号为几的区域，就是根据α终边所在的象限确定的终边所落在的区域．如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．
【对点训练】已知角α为第三象限角，试确定角2α，是第几象限角．

题型四 轴线角与象限角
1. 终边落在x轴正半轴上角的集合_________________
2. 终边落在x轴负半轴上角的集合_________________
3. 终边落在y轴正半轴上角的集合_________________
4. 终边落在y轴负半轴上角的集合_________________
5. 终边落在x轴上角的集合_________________
6. 终边落在y轴上角的集合_________________
7. 终边落在坐标轴上角的集合_________________
8. ________________
9. ,_______________________
10. , ______________________
11. 第一象限角的范围：__________________
12. 第二象限角的范围：__________________
13. 第三象限角的范围：__________________
14. 第四象限角的范围：__________________

【知识梳理】
1．角度制与弧度制
(1)角度制．
①定义：用度作为单位来度量角的单位制．②1度的角：周角的______作为一个单位．
(2)弧度制．
①定义：以_____作为单位来度量角的单位制．
②1弧度的角：长度等于______的弧所对的圆心角．
2．任意角的弧度数与实数的对应关系
正角的弧度数是一个_____，负角的弧度数是一个_____，零角的弧度数是0.
3．角的弧度数的计算
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.
4．弧度与角度的互化
角度化弧度
弧度化角度
360°＝___ rad
2π rad＝_____
180°＝____ rad
π rad＝_____
1°＝_____ rad≈0.017 45 rad
1 rad＝_____≈57.30°
5. 一些特殊角的度数与弧度数的对应表
度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
弧度
0

π
6．扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角，则

α为度数
α为弧度数
扇形的弧长
l＝_____
l＝____
扇形的面积
S＝_____
S＝_____＝______
【常考题型】
题型一、角度与弧度的换算
【例1】　把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－.

【类题通法】角度与弧度互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×＝度数．
【对点训练】
已知α1＝－570°，α2＝750°，β1＝，β2＝－.
(1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们是第几象限角；
(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－720°～0°范围内，找出与它们有相同终边的所有角．

题型二、扇形的弧长公式及面积公式的应用
【例2】　(1)已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2，则扇形的面积为________．
(2)已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？

【类题通法】弧度制下涉及扇形问题的攻略
(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度．
【对点训练】已知扇形的周长是30 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

题型三、用弧度制表示角的集合
【例3】　用弧度表示终边落在下列各图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．

用弧度制表示角应关注的三点
(1)用弧度表示区域角，实质是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时，需进行角度与弧度的换算．注意单位要统一．
(2)表示角的集合时，可先写出一周范围(如－π～π，0～2π)内的角，再加上2kπ，k∈Z.
(3)终边在同一直线上的角的集合可以合并为{x|x＝α＋kπ，k∈Z}；终边在相互垂直的两直线上的角的集合可以合并为.
在进行区间的合并时，一定要做到准确无误．
【对点训练】以弧度为单位，写出终边落在直线y＝－x上的角的集合．

其他重要例题
1.在下列各组中，终边不相同的一组是（ ）
A．600和 B．2300和9500 C．10500和 D．10000和800
2. 下列各角中，与60°角终边相同的角是( )
A.B. C. D.
3.，则____________
4．若角α＝2 014°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．
半期考试补救

例1已知函数，
（1）若，求函数的最值；（2）若，求函数的最值；
（3）若，求函数的最值；（4）若，求函数的最小值；
（5），求函数的最大值。

练习：（1）已知，求函数在区间上的最大值。
（2）已知，求二次函数的最值。

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