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数字信号处理实验讲义 上课

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实验一 连续时间信号的时域取样与重建

实验目的:
1、 掌握连续时间信号的离散化过程，深刻理解时域取样定理；
2、 掌握由取样序列恢复原连续信号的基本原理与实现方法.

实验原理:
取样解决的是把连续信号变成适于计算机处理的离散信号的问题。取样就是从连续信号中取得一系列的离散样点值。
1、 理想取样
设待取样信号为，理想取样表示成:，其中 。为取样周期（间隔），为取样频率,为取样角频率。 由傅里叶变换频域卷积定理，得取样信号的频谱：。
取样定理给出了取样信号包含原连续信号的全部信息的最大取样间隔。时域取样定理的内容是：若带限信号的最高角频率为，其频谱函数在各处为零；对该信号以的取样间隔（即取样频率为）进行等间隔取样时，则信号可以由取样点值唯一地恢复。其中。
在实际取样时，关键是确定信号的最高频率。如果信号频率很宽或无限宽，无法满足取样定理,会引起频谱混叠误差，可以通过提高取样率减少误差。
例:对信号进行取样。
解：信号最高频率为20HZ取样频率为80HZ
Fs=80;％sampling frequency
t=0：1/Fs：1；％one second worth of samples
xn=cos（2*pi＊10*t)+cos(2＊pi*20＊t）；
plot连续
stem离散
subplot

t=0:1/80:1；
xn=cos（2*pi＊10*t)+cos（2＊pi*20＊t）;
subplot(2,1,1）；
plot（t,xn）;
subplot(2,1,2);
stem（t，xn);

2、 信号的重建
当以满足取样定理的速率对信号取样后，由取样信号恢复原信号的过程称为重建。用一个截止频率为的理想低通滤波器对进行滤波，就能从中将原信号恢复。
信号重建公式

实验内容:
是对连续时间信号以取样得到的离散序列，希望通过在取样点之间内插恢复原连续时间信号.
（1） 在同一幅图上划出信号，及其在相应范围内的取样序列。
（2） 利用取样内插函数恢复连续时间信号。在同一幅上划出和恢复信号的波形，比较这两个信号,的估计值理想吗?若不理想应如何改善？
（3） 采用阶梯内插函数，重做（2）
（4） 采用升余弦内插函数，重做（2）
（5） 详细列出信号重建的步骤.
（6） 写出实验原理.

思考题:
（1） 理想采样和实际采样有何区别?
（2） 在连续信号离散化过程中，会出现哪些误差？如何克服或减弱?
（3） 增加取样序列的长度，能否改善重建信号的质量？
（4） 构造内插函数的基本原理和方法？
（5） 取样内插函数、阶梯内插函数、线性内插函数和升余弦内插函数各有什么优缺点？

试验二 窗函数的特性分析
试验目的：
分析各种窗函数的时域和频域特性，学会正确和灵活使用。

试验原理：
在滤波器设计中和功率谱估计中，窗函数的选择对设计和分析的结果都起着重要的作用。截短无穷长的序列会造成吉伯斯现象，恰当选取窗函数，可以抑制吉伯斯现象.下表给出几种常用窗的函数表示式和MATLAB实现方法。
窗函数名称
时域表示式
MATLAB实现
矩形窗
(Rectangular）
1
=boxcar(N）
=ones(N,1）
海宁窗
（Hanning）

=hanning（N）
n=0:N—1
=1/2＊（1-cos（2＊pi*n/（N—1）））
汉明窗
（Hamming)

=hamming(N）
n=0：N-1
=0.54-0。46＊cos（2＊pi＊n/（N—1)）
布拉克蔓窗
（Blackman）

=blackman(N)
n=0：N-1
=0.42—0。5＊cos（2*pi＊n/（N-1）） +0.08*cos(4＊pi*n/(N—1））
Bartlett窗
（三角形窗的一种）

=Bartlett(N)
n=0:N-1
=1—abs(2*（n—（N—1）/2)/（N—1）)
凯塞窗
（Kaiser)

=kaiser（N,beta)
＊N是窗函数的长度
*beta是控制窗形状的参数
表中前五种窗函数的形状是固定的，因而一但选择了某种窗函数,用它进行谱分析得到的频谱纹波或设计出的滤波器的阻带衰减就确定了。凯塞窗是一种可调窗，可以通过改变窗函数的形状来控制频谱纹波或阻带衰减指标，因而获得广泛的应用。

实验内容：
1、 分析并绘出各窗函数的时域特性；
2、 使用FFT函数做出各窗函数的频域特性，并从主瓣宽度和旁瓣相对幅度两个角度进行比较分析；
3、 研究凯塞窗的参数选择，对其时域和频域的影响：
（1）固定beta=4，分别取N=20，60,110；
（2）固定N=60，分别取beta=1，5，11
4、 *一个序列为，使用FFT分析频谱：
(1）使用不同宽度的矩形窗截短该序列为M点长度，取M分别为：
A）M=20； B）M=40; C）M=160
观察不同长度的窗对谱分析结果的影响；
（2）使用汉明窗重做(1）;
（3）使用凯塞窗重做（1）；
（4）对三种窗的结果进行比较和分析；

思考题：
（1)在信号谱分析中，如何选择窗函数?
（2)在数字系统设计时，如何选择窗函数？
（3）如何选择不同特性的窗函数？

wh=（boxcar(m))’
实验三 利用DFT分析离散信号频谱

实验目的：
应用傅里叶变换DFT，分析各种离散信号的频谱。

实验原理:
1、 离散周期信号
离散周期信号可以展开成傅里叶级数，其中傅里叶系数如下式表示

式中:N是信号的周期，n为时间离散变量，k为数字频率离散变量,是k次谐波的数字频率.
由于
所以离散周期信号的频谱是一个以N为周期的周期性离散频谱，各谱线之间的间隔为,而且存在着谐波的关系。

2、 离散非周期信号
通过离散时间傅里叶变换（DTFT)可求得非周期序列的频谱密度函数,即
是数字频率的连续函数。
从式中可见，离散非周期信号的频谱结构是连续的且具有以为周期的周期性。类似于对连续信号的谱分析，可以使用MATLAB提供的fft函数计算离散周期信号和离散非周期信号的频谱。对于离散周期信号，只要对其一个周期内的N点做fft，就可准确地计算得其频谱.

分析步骤:
（1） 确定离散周期序列的基本周期N；
（2） 使用fft命令作N点FFT计算，频率分辨率
（3）

对于离散非周期信号，当序列长度有限时,可以求得准确的频谱样值。若序列很专或无限长，则由于截短必然产生泄漏误差以及混叠误差，使计算的结果只能是频谱样值的近似值.

求解步骤：
（1） 确定序列的长度L。根据能量分布，当序列为无限长需要进行截短。
（2） 确定作FFT的点数N；根据频域取样定理，为使时域波形不产生混叠必须；
（3） 使用fft命令作N点FFT计算。

实验内容：
1、 利用FFT计算信号的频谱；
n=0：31；
f=cos(3*pi*n。/8）；
F_32=fft（f)；
F_512=fft(f,512）;
L=0：511;
plot（L/512，abs(F_512));
hold on；
plot(n/32，abs(F_32），’o');
set(gca，'xtick',[0,0.25，0.5，0.75,1])；
set（gca,’ytick’，[0,2,4，6,8］）;
grid on;
xlabel('Normalized frequency');
ylabel（'Magnitude’）；
hold off

2、 利用FFT计算信号的频谱;
n=0:31;
f=（1/2)。^n；
F_32=fft(f);
F_512=fft（f，512）；
L=0:511；
plot（L/512，abs(F_512))；
hold on;
plot(n/32，abs(F_32)，'o’)；
set(gca，’xtick',[0,0。25，0.5，0。75,1])；
set（gca,’ytick'，［0，2,4,6,8］);
grid on;
xlabel（'Normalized frequency’）；
ylabel（’Magnitude’);
hold off

要求：
（1） 确定DFT计算的各参数;
（2） 进行理论值与计算值比较,分析各信号频谱分析的计算精度；
（3） 详细列出利用DFT分析离散信号谱线的步骤;
（4） 写出实验原理。

思考题:
（1） 既然可以直接计算DTFT，为什么利用DFT分析离散信号谱？
（2） 若信号持续时间无限,且无解析表达式，如何利用DFT分析其频谱？
（3） 在利用DFT分析离散信号频谱时，会出现哪些误差?如何克服或减弱？
（4） 在利用DFT分析离散信号频谱时，如何选择窗函数？
（5） 补零和增加信号长度都可以提高频谱分辨率，两者有何本质区别？

实验四 离散系统分析

实验目的：
1、学习系统响应的MATLAB求解方法。
2、深刻理解离散系统的系统函数零极点对系统频响的影响,可以根据零极点知识设计简单的滤波器。

实验原理：
离散LTI系统可用系统函数的分子分母多项式形式，零极点-增益形式或状态空间形式来描述。
（1）系统函数的分子分母多项式形式
离散系统的差分方程为：

对上式两边同取Z变换,可得

在MATLAB中可使用向量 和向量 分别保存分子多项式和分母多项式的系数，注意从 按Z的降幂排列其系数。

（2）系统函数的零极点—增益形式
零点；极点;增益，是个常数.
在MATLAB中使用向量和向量分别保存零极点。
1、离散系统响应的求解
除可以使用MATLAB命令lsim求解外,还可以使用命令filter来求解系统响应。
例1：已知系统函数为，求
（1） 系统的脉冲响应h(n)；
（2） 输入 ，求系统的零状态响应
实验内容及方法:
1、已知一个LTI系统的差分方程为:

（a)初始条件，输入，计算系统的零输入响应；
（b）当下面三个信号分别通过系统，分别计算系统的响应:

(c）指出这是一个什么特性的系统.

2、已知一个因果LTI系统的系统函数为:

(a)计算系统的单位脉冲响应；
(b）当信号通过系统： 计算系统的响应；
（c）详细列出系统响应求解的步骤和原理.

3、根据零极点分布对系统频率特性的影响，设计一个单极点单零点、因果实系数滤波器，满足下列指标，并画出其幅频特性曲线：
(a）单极点单零点低通滤波器，要求

(b）单极点单零点高通滤波器，要求

(c）2个零点2个极点的带阻滤波器，要求

(d）详细列出根据零极点设计滤波器的步骤；

实验五 IIR滤波器设计
实验目的:
掌握IIR滤波器的设计方法；
根据处理信号的要求设计各种滤波器，并观察滤波效果.
实验原理：
间接法设计IIR滤波器是按给定的指标，先设计一个模拟滤波器，然后通过模拟域与数字域的变换，求得物理可实现的数字滤波器。从模拟滤波器变换到数字滤波器常用方法有：
脉冲响应不变法和双线性变换法。IIR滤波器的设计过程如图所示.
脉冲响应不变法
双线性变换法
设计模拟滤波器
H(s)
数字滤波器
H(z)
频域指标
IIR滤波器的间接法设计

1、 模拟滤波器设计
首先设计模拟低通滤波器，如巴特沃斯型、切比雪夫型和椭圆型,而高通、带通、带阻滤波器则可以通过对低通H(s）进行变换来求得。
（1） 巴特沃斯模拟低通滤波器
N阶巴特沃斯模拟低通滤波器的振幅平方特性为：

巴特沃斯低通滤波器的特点是通、阻带均为单调下降。
（2） 切比雪夫模拟滤波器
切比雪夫滤波器分成I型和II型:I 型是通带等波纹，阻带单调下降；II型滤波器是通带单调下降，阻带等波纹。I型的振幅平方特性为：

其中，为切比雪夫多项式，是确定通带波纹大小的参数。
切比雪夫的等波纹特性使得可以用较小的阶数设计出符合指标的滤波器。
（3） 椭圆滤波器
椭圆滤波器的特点是通、阻带均为等波纹.它的振幅平方特性为：

椭圆滤波器的误差均匀分布在通、阻带，相比上面两种滤波器，在同样衰耗指标下，椭圆滤波器所要求的阶数最小。在同样阶数情况下,椭圆滤波器的通带到阻带的变化最陡峭、性能最好。
2、模拟滤波器映射到数字滤波器
从模拟滤波器变换到数字滤波器常用的有：脉冲响应不变法和双线性变换法。
（1） 脉冲响应不变法
脉冲响应不变法由于保持模拟滤波器的脉冲响应在取样时刻的取样值，所以具有较好的时间特性。但由于频谱混叠难以避免，所以在实际应用中有它的局限性.
（2） 双线性变换法
双线性变换法克服了脉冲响应不变法存在频率混叠的缺点，因此可以用来设计各种不同频带要求的数字滤波器,所以获得广泛应用。
但在设计过程中一定要注意,由于宽频带压缩到较窄的频率范围,导致了频率畸变。为了减少频率失真，对指标中给出的转折频率(等）要按下式,先进行预畸：

为指标给出的频率，为预畸变后的频率。在设计过程所进行的计算,应以预畸变后的频率为依据.当求得H（s)，则
式中变换常数c，通常取c=2/T.
实验内容：
设有一信号，设计各种IIR数字滤波器以实现：
低通滤波器，滤除的成分,保留成分；
高通滤波器，滤除的成分,保留成分；
带通滤波器，滤除1+的成分，保留成分；
带阻滤波器,滤除的成分，保留成分；
（1） 用MATLAB命令butterord定出滤波器的阶次;用butter命令设计滤波器，画出滤波器的幅度和相位频响，计算滤波器的系统函数H（Z）。
（2） 试根据IIR滤波器设计原理和步骤写出MATLAB程序。
思考题
（1） 作出该信号通过滤波器的响应，并与比较,二者是否一致？
（2） IIR滤波器的优缺点是什么?
（3） 脉冲响应不变法和双线性变化法各有何特性？

实验六: FIR滤波器设计

实验目的:
掌握FIR滤波器设计原理和设计方法.

实验内容及方法:
1、分别使用矩形窗、哈明窗、海宁窗设计一个N=10的FIR低通和高通滤波器，截频为。
(1）作出各滤波器的单位脉冲响应；作出各滤波器的幅频响应并比较各滤波器的带通纹波和带阻纹波。
（2)若当输入为，计算各滤波器的输出并作出响应波形。
2、利用频率取样法分别设计1型和11型FIR低通滤波器并对其衰耗特性进行比较,已知N=16，其余指标为教材课后习题所示。
3、利用频率取样法设计一带通滤波器并绘出其衰耗特性，已知N=16其余指标为教材课后习题所示。

思考题:
1、详细列出FIR窗口法设计和频率取样法设计的步骤。
2、在FIR窗口法设计中，为何采用不同特性的窗函数？选用窗函数的依据是什么？
3、*在频率取样法设计中,如果阻带衰耗不够，采取什么措施？

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