浙江省台州市温岭市五校联考2022年九年级数学第一学期期末统考试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．明天太阳从北边升起 B．实心铅球投入水中会下沉
C．篮球队员在罚球线投篮一次，投中 D．抛出一枚硬币，落地后正面向上
2．下列各式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD．若∠ACD=30°，则∠DBA的大小是（ ）

A．15° B．30° C．60° D．75°
4．如图，是的边上的一点，下列条件不可能是的是（ ）

A． B．
C． D．
5．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c－m=0有两个不相等的实数根，下列结论：①b2﹣4ac＜0；②abc＞0；③a-b+c＞0；④m＞－2，其中，正确的个数有

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知抛物线y＝x2+（2a+1）x+a2﹣a，则抛物线的顶点不可能在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．下列图形中是中心对称图形的有(　　)个．

A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）

A．55° B．70° C．125° D．145°
9．抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
10．如图，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)、B(4，2)、C(4，4)．若反比例函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是(　　)

A．1≤k≤4 B．2≤k≤8 C．2≤k≤16 D．8≤k≤16
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知，则=__________.
12．二次函数的图象如图所示，则点在第__________象限.

13．张华在网上经营一家礼品店，春节期间准备推出四套礼品进行促销，其中礼品甲45元/套，礼品乙50元/套，礼品丙70元/套，礼品丁80元/套，如果顾客一次购买礼品的总价达到100元，顾客就少付x元，每笔订单顾客网上支付成功后，张华会得到支付款的80%．
①当x=5时，顾客一次购买礼品甲和礼品丁各1套，需要支付_________元；
②在促销活动中，为保证张华每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的六折，则x的最大值为________．
14．若，则＝_____．
15．双曲线 在每个象限内，函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是__________
16．如图，抛物线y=﹣x2+mx+2m2（m＞0）与x轴交于A，B两点，点A在点B的左边，C是抛物线上一个动点（点C与点A，B不重合），D是OC的中点，连结BD并延长，交AC于点E，则的值是_____________．

17．已知AB∥CD，AD与BC相交于点O.若＝，AD＝10，则AO＝____.

18．一个小组新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共______人.
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，海上有A、B、C三座小岛，小岛B在岛A的正北方向，距离为121海里，小岛C分别位于岛B的南偏东53°方向，位于岛A的北偏东27°方向，求小岛B和小岛C之间的距离.（参考数据：sin27°≈，cos27°≈，tan27°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）

20．（6分）如图，直径为的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度为，求水的最大深度．

21．（6分）如图，中，，，为内部一点，且.

(1)求证：；
(2)求证：.
22．（8分）如图，与交于点，过点，交与点，交与点F，，，，.

(1)求证：
(2)若，求证：
23．（8分）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点E，使△EDC的周长最小，求符合条件的E点坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出PB2的值；若不存在，请说明理由．

24．（8分）如图，将边长为40cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子．（纸板的厚度忽略不计）．
（1）若该无盖盒子的底面积为900cm2，求剪掉的正方形的边长；
（2）求折成的无盖盒子的侧面积的最大值．

25．（10分）如图，在中，，是边上的中线，过点作，垂足为，交于点，．

（1）求的值：
（2）若，求的长．
26．（10分）在中，，点在边上运动，连接，以为一边且在的右侧作正方形.
（1）如果，如图①，试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论；

（2）如果，如图②，（1）中结论是否成立，说明理由.

（3）如果，如图③，且正方形的边与线段交于点，设，，，请直接写出线段的长.（用含的式子表示）

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【解析】必然事件就是一定会发生的事件，依据定义即可判断．
【详解】A、明天太阳从北边升起是不可能事件，错误；
B、实心铅球投入水中会下沉是必然事件，正确；
C、篮球队员在罚球线投篮一次，投中是随机事件，错误；
D、抛出一枚硬币，落地后正面向上是随机事件，错误；
故选B．
【点睛】
考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件是指在一定条件下，一定发生的事件.
2、A
【分析】根据最简二次根式的定义解答即可.
【详解】A. 是最简二次根式；
B. ∵=，∴不是最简二次根式；
C. ∵=，∴不是最简二次根式；
D. ∵，∴不是最简二次根式；
故选A.
【点睛】
本题考查了最简二次根式的识别，如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式.
3、D
【详解】连接OD，∵CA，CD是⊙O的切线，

∴OA⊥AC，OD⊥CD，
∴∠OAC=∠ODC=90°，
∵∠ACD=30°，
∴∠AOD=360°﹣∠C﹣∠OAC﹣∠ODC=150°，
∵OB=OD，
∴∠DBA=∠ODB=∠AOD=75°．
故选D．
考点：切线的性质；圆周角定理．
4、B
【分析】根据相似三角形的判定判断各选项即可进行解答．
【详解】解： A、∵∠ACP＝∠B，∠A=∠A，∴△ACP∽△ABC，故本选项不符合题意；
B、∵，缺少夹角相等，∴不可判定△ACP∽△ABC，故本选项符合题意；
C、∵∠APC＝∠ACB，∠A=∠A，∴△ACP∽△ABC，故本选项不符合题意；
D、∵，∠A=∠A，∴△ACP∽△ABC，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定．要找的对应边与对应角，公共角是很重要的一个量，要灵活加以利用．
5、C
【详解】解：如图所示：图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故①错误；
∵图象开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴右侧，∴a，b异号，∴b＜0，∵图象与y轴交于x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，故②正确；
当x=﹣1时，a﹣b+c＞0，故③选项正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标纵坐标为：﹣2，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根，则m＞﹣2，故④正确．
故选C．
考点：二次函数图象与系数的关系．
6、D
【分析】求得顶点坐标，得出顶点的横坐标和纵坐标的关系式，即可求得．
【详解】抛物线y＝x2+（2a+1）x+a2﹣a的顶点的横坐标为：x＝﹣＝﹣a﹣，
纵坐标为：y＝＝﹣2a﹣，
∴抛物线的顶点横坐标和纵坐标的关系式为：y＝2x+，
∴抛物线的顶点经过一二三象限，不经过第四象限，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，得到顶点的横纵坐标的关系式是解题的关键．
7、B
【解析】∵正三角形是轴对称能图形；平行四边形是中心对称图形；正五边形是轴对称图形；正六边形既是中心对称图形又是轴对称图形，
∴中心对称图形的有2个．
故选B.
8、C
【解析】试题分析：∵∠B=35°，∠C=90°，∴∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣35°=55°．
∵点C、A、B1在同一条直线上，∴∠BAB′=180°﹣∠BAC=180°﹣55°=125°．
∴旋转角等于125°．故选C．
9、B
【解析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可：
∵y＝x2，
∴平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．故选B．
10、C
【解析】试题解析：由于△ABC是直角三角形，所以当反比例函数经过点A时k最小，进过点C时k最大，据此可得出结论．
∵△ABC是直角三角形，∴当反比例函数经过点A时k最小，经过点C时k最大，
∴k最小=1×2=2，k最大=4×4=1，∴2≤k≤1．故选C．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】根据比例的性质，化简求值即可.
【详解】

故答案为：.
【点睛】
本题主要考察比例的性质，解题关键是根据比例的性质化简求值.
12、四
【分析】有二次函数的图象可知：，，进而即可得到答案.
【详解】∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴，
∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴，即：，
∴点在第四象限，
故答案是：四
【点睛】
本题主要考查二次函数图象与性质，掌握二次函数图象与二次函数解析式的系数之间的关系，是解题的关键.
13、1 25
【分析】① 当x=5时，顾客一次购买礼品甲和礼品丁各1套，需要支付45+80-5=1元．
②设顾客每笔订单的总价为M元，当0＜M＜100时，张军每笔订单得到的金额不低于促销前总价的六折，当M≥100时，0.8（M-x）≥0.6M，对M≥100恒成立，由此能求出x的最大值．
【详解】解：（1）当x=5时，顾客一次购买礼品甲和礼品丁各1套，需要支付：45+80-5=1元．
故答案为：1．
（2）设顾客一次购买干果的总价为M元，当0＜M＜100时，张军每笔订单得到的金额不低于促销前总价的六折，当M≥100时，0.8（M-x）≥0.6M，解得，0.8x≤0.2M.
∵M≥100恒成立,
∴0.8x≤200
解得：x≤25.
故答案为25.
【点睛】
本题考查代数值的求法，考查函数性质在生产、生活中的实际应用等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，是中档题．
14、
【解析】
=.
15、
【分析】根据反比例函数的性质可知 ，y随x的增大而增大则k知小于0，即m-2＜0，解得m的范围即可.
【详解】∵反比例函数y随x的增大而增大
∴m-2＜0
则m＜2
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，函数值y随x的增大而增大则k小于0，函数值y随x的增大而减小则k大于0.
16、
【分析】过点O作OH∥AC交BE于点H，根据A、B的坐标可得OA=m，OB=2m，AB=3m，证明OH=CE，将根据，可得出答案．
【详解】解：过点O作OH∥AC交BE于点H，

令y=x2+mx+2m2=0，
∴x1=-m，x2=2m，
∴A（-m，0）、B（2m，0），
∴OA=m，OB=2m，AB=3m，
∵D是OC的中点，
∴CD=OD，
∵OH∥AC，
∴，
∴OH=CE，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，解题的关键是过点O作OH∥AC交BE于点H，此题有一定的难度．
17、1．
【解析】∵AB∥CD，

解得，AO=1，
故答案是：1．
【点睛】运用了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
18、1
【解析】每个人都要送给他自己以外的其余人，等量关系为：人数×（人数﹣1）=72，把相关数值代入计算即可．
【详解】设这小组有x人．由题意得：
x（x﹣1）=72
解得：x1=1，x2=﹣8（不合题意，舍去）．
即这个小组有1人．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，得到互送贺卡总张数的等量关系是解决本题的关键，注意理解答本题中互送的含义，这不同于直线上点与线段的数量关系．

三、解答题(共66分)
19、小岛B和小岛C之间的距离55海里.
【分析】先过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设BD=x海里，得出AD=（121-x）海里，在Rt△BCD中，根据，求出CD，再根据，求出BD，在Rt△BCD中，根据，求出BC，从而得出答案．
【详解】解：根据题意可得，在△ABC中，AB=121海里，∠ABC=53°，∠BAC=27°，
过点C作CD⊥AB，垂足为点D．

设BD=x海里，则AD=（121-x）海里，
在Rt△BCD中，
则
CD=x•tan53°≈
在Rt△ACD中，则CD=AD•tan27°≈
则
解得，x=1，
即BD=1．
在Rt△BCD中，
则
答：小岛B和小岛C之间的距离约为55海里.
【点睛】
此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是方向角含义、三角函数的定义，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形．
20、水的最大深度为
【分析】先求出OA的长，再由垂径定理求出AC的长，根据勾股定理求出OC的长，进而可得出结论．
【详解】解：∵的直径为，∴.
∵，，∴，
∴，
∴．
答：水的最大深度为．
【点睛】
本题考查的是垂径定理的应用，根据勾股定理求出OC的长是解答此题的关键．
21、 (1)证明见解析；(2)证明见解析.
【分析】（1）利用等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及等式的性质判断出∠PBC=∠PAB，进而得出结论；
（2）由（1）的结论得出，进而得出，即可得出结论.
【详解】证明：（1）∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵，
∴
在中，，
∴，
∴，
∴.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质的知识点，熟练三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理等知识点，综合性较强，有一定难度．
22、（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可证△AOB∽△COD,从而可证∠A=∠D；
（2）证明△AOE∽△DOF, △BOE∽△COF,然后根据相似三角形的对应边成比例解答即可.
【详解】证明：（1）∵，，，,
∴,
∵∠AOB=∠COD,
∴△AOB∽△COD,
∴∠A=∠D；
（2）∵∠A=∠D，
∴AB∥CD,
∴△AOE∽△DOF, △BOE∽△COF,
∴,,
∴,
∵，
∴

【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，灵活运用相似三角形的性质进行几何证明．
23、（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点E（，0）；（3）PB2的值为16+8．
【分析】(1)求出点B、C的坐标分别为(3，0)、(0，3)，将点B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
(2)如图1，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，则此时EC+ED为最小，△EDC的周长最小，即可求解；
(3)分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，由勾股定理可求解．
【详解】(1)直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，
令x=0，则y=3，令y=0，则x=3，
∴点B、C的坐标分别为(3，0)、(0，3)，
将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：
，解得：，
故函数的表达式为：y=﹣x2+2x+3；
(2)如图1，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，此时EC+ED为最小，则△EDC的周长最小，

令x=0，则﹣x2+2x+3=0，
解得：，
∴点A的坐标为(-1，0)，
∵y=﹣x2+2x+3，
∴抛物线的顶点D的坐标为(1，4)，则点C′的坐标为(0，﹣3)，
设直线C′D的表达式为，
将C′、D的坐标代入得，
解得：，
∴直线C′D的表达式为：y=7x﹣3，
当y=0时，x=，
故点E的坐标为(，0)；
(3)①当点P在x轴上方时，如图2，

∵点B、C的坐标分别为(3，0)、(0，3)，
∴OB=OC=3，则∠OCB=45°=∠APB，
过点B作BH⊥AP于点H，设PH=BH=a，
则PB=PA=a，
由勾股定理得：AB2=AH2+BH2，
∴16=a2+(a﹣a)2，解得：a2=8+4，
则PB2=2a2=16+8；
②当点P在x轴下方时，
同理可得．
综合以上可得，PB2的值为16+8．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法，勾股定理，等腰三角形的性质，点的对称性等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24、（1）5cm；（1）最大值是800cm1．
【分析】（1）设剪掉的正方形的边长为x cm，则AB=（40-1x）cm，根据盒子的底面积为484cm1，列方程解出即可；
（1）设剪掉的正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为y cm1，侧面积=4个长方形面积；则y=-8x1+160x，配方求最值．
【详解】（1）设剪掉的正方形的边长为x cm，
则（40﹣1x）1＝900，
即40﹣1x＝±30，
解得x1＝35（不合题意，舍去），x1＝5；
答：剪掉的正方形边长为5cm；
（1）设剪掉的正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为y cm1，
则y与x的函数关系式为y＝4（40﹣1x）x，
即y＝﹣8x1+160x，
y＝﹣8（x﹣10）1+800，
∵﹣8＜0，
∴y有最大值，
∴当x＝10时，y最大＝800；
答：折成的长方体盒子的侧面积有最大值，这个最大值是800cm1．

【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的最值问题，根据几何图形理解如何建立一元二次方程和函数关系式是解题的关键；明确正方形面积=边长×边长，长方形面积=长×宽；理解长方体盒子的底面是哪个长方形；解题时应该注意如何利用配方法求函数的最大值．
25、（1）；（2）4
【分析】（1）根据∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD，则∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B=∠CAM，由AM=2CM，可得出CM：AC=1：，即可得出sinB的值；
（2）根据sinB的值，可得出AC：AB=1：，再由AB=，得AC=2，根据勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）∵，是斜边的中线，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在中，∵，
∴．
∴．
（2）∵，
∴．
由（1）知，
∴．
∴．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和锐角三角比，熟练掌握根据锐角三角比解直角三角形是解题的关键．
26、（1）；证明见解析； （2）成立；理由见解析；（3）.
【分析】（1）先证明，得到，再根据角度转换得到∠BCF=90°即可；
（2）过点作交于点，可得，再证明，得，即可证明；
（3）过点作交的延长线于点，可求出，则，根据得出相似比，即可表示出CP.
【详解】（1）；
证明：∵，，
∴，
由正方形得，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）时，的结论成立；
证明：如图2，过点作交于点，

∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
即；
（3）过点作交的延长线于点，

∵，
∴△AQC为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵DC=x，
∴，
∵四边形ADEF为正方形，
∴∠ADE=90°，
∴∠PDC+∠ADQ=90°，
∵∠ADQ+∠QAD=90°，
∴∠PDC=∠QAD，
∴，
∴，
∴，
.
【点睛】
本题考查了全等三角形性质及判定，相似三角形的判定及性质，正方形的性质等，构建全等三角形，相似三角形是解决此题的关键．