四川省绵阳市名校联盟2022年九年级数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．关于x的一元二次方程x2+bx-6=0的一个根为2，则b的值为( )
A．-2 B．2 C．-1 D．1
2．两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）

A．抛一枚硬币，正面朝上的概率
B．掷一枚正六面体的骰子，出现点的概率
C．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率
D．从装有个红球和个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率
3．方程是关于的一元二次方程，则　　
A． B． C． D．
4．将6497.1亿用科学记数法表示为（　　）
A．6.4971×1012 B．64.971×1010 C．6.5×1011 D．6.4971×1011
5．如图，直线////，若AB＝6，BC＝9，EF＝6，则DE＝（ ）

A．4 B．6 C．7 D．9
6．如图是由6个大小相同的小正方体叠成的几何体，则它的主视图是(　　)

A． B．
C． D．
7．小亮同学在教学活动课中，用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验，通过观察，发现这块长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是（　　）
A．线段 B．三角形 C．平行四边形 D．正方形
8．在Rt△ABC中，∠C =90°，sinA=，则cosB的值等于( )
A． B． C． D．
9．某公司一月份缴税40万元，由于公司的业绩逐月稳步上升，假设每月的缴税增长率相同，第一季度共缴税145.6万元，该公司这季度缴税的月平均增长率为多少？设公司这季度缴税的月平均增长率为x，则下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知正比例函数y＝ax与反比例函数在同一坐标系中的图象如图，判断二次函数y＝ax2+k在坐系中的大致图象是（　　）

A． B．
C． D．
11．已知当x＞0时，反比例函数y＝的函数值随自变量的增大而减小，此时关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣1＝0的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
12．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为1．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为(　　)

A．1π﹣ B．1π﹣9 C．12π﹣ D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．二次函数的图象与y轴的交点坐标是________．
14．若代数式有意义，则的取值范围是____________．
15．在中，若、满足，则为________三角形．
16．如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件________使平行四边形ABCD是矩形.

17．某校共1600名学生，为了解学生最喜欢的课外体育活动情况，学校随机抽查了200名学生，其中有92名学生表示喜欢的项目是跳绳，据此估计全校喜欢跳绳这项体育活动的学生有____________人．
18．在△ABC中，∠C=90°，若AC=6，BC=8，则△ABC外接圆半径为________；
三、解答题（共78分）
19．（8分）已知二次函数（m 为常数）．
（1）证明：不论 m 为何值，该函数的图像与 x 轴总有两个公共点；
（2）当 m 的值改变时，该函数的图像与 x 轴两个公共点之间的距离是否改变？若不变， 请求出距离；若改变，请说明理由．
20．（8分）如图，在平面直角坐标中，反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象经过点，作直线分别交于两点，已知.

（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的面积.
21．（8分）解不等式组并求出最大整数解.
22．（10分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，抛物线与x轴的另一交点为B．

（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3，1)，B(－1，3)，C(0，1)．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后的△A1B1C1，并写出A1，B1的坐标；
（2）平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为(－5，－3)，画出平移后的△A2B2C2，并写出B2，C2的坐标；
（3）若△A2B2C2和△A1B1C1关于点P中心对称，请直接写出对称中心P的坐标．

24．（10分）在一次数学兴趣小组活动中，阳光和乐观两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则阳光获胜，反之则乐观获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；
（2）游戏对双方公平吗？请说明理由．

25．（12分）小李在学习了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”之后做了如下思考，请你帮他完成如下问题：

（1）他认为该定理有逆定理：“如果一个三角形某条边上的中线等于该边长的一半，那么这个三角形是直角三角形”应该成立.即如图①，在中，是边上的中线，若，求证：.
（2）如图②，已知矩形，如果在矩形外存在一点，使得，求证：.（可以直接用第（1）问的结论）
（3）在第（2）问的条件下，如果恰好是等边三角形，请求出此时矩形的两条邻边与的数量关系.
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，动点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点运动到点停止，设运动时间为，过点作轴的垂线，交直线于点, 交抛物线于点．连接，是线段的中点，将线段绕点逆时针旋转得线段．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，当为何值时，面积有最大值，最大值是多少？
（3）当为何值时，点落在抛物线上．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程得到关于b的一次方程，然后解一次方程即可．
【详解】解：把x=2代入程x2+bx-6=0得4+2b-6=0，
解得b=1．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
2、D
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
【详解】解：A、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；
B、掷一枚正六面体的骰子，出现点的概率为，故此选项不符合题意；
C、转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率为，故此选项不符合题意；
D、从装有个红球和个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率为，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
此题考查了利用频率估计概率，属于常见题型，明确大量反复试验下频率稳定值即概率是解答的关键．
3、D
【分析】根据一元二次方程的定义， 得到关于 的不等式， 解之即可 ．
【详解】解：根据题意得：
，
解得：，
故选．
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义，解题关键是 正确掌握一元二次方程的定义．
4、D
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：6497.1亿＝649710000000＝6.4971×1．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查科学记数法，解题的关键是熟知科学记数法的表示方法.
5、A
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数值进行计算即可.
【详解】解：∵////,
∴ ,
∵AB=6，BC=9，EF=6,
∴,
∴DE=4
故选：A
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解答此题的关键.
6、C
【分析】找到从正面看所得到的图形即可．
【详解】解：它的主视图是：

故选：C．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，掌握主视图是解题的关键.
7、B
【解析】根据长方形放置的不同角度，得到的不同影子，发挥想象能力逐个实验即可.
【详解】解：将长方形硬纸的板面与投影线平行时，形成的影子为线段；
将长方形硬纸板与地面平行放置时，形成的影子为矩形；
将长方形硬纸板倾斜放置形成的影子为平行四边形；
由物体同一时刻物高与影长成比例，且长方形对边相等，故得到的投影不可能是三角形．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查几何图形的投影，关键在于根据不同的位置，识别不同的投影图形.
8、B
【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A+∠B=90°，则cosB=sinA=．故选B．
点睛：本题考查了互余两角三角函数的关系．在直角三角形中，互为余角的两角的互余函数相等．
9、D
【分析】根据题意，第二月获得利润万元，第三月获得利润万元，根据第一季度共获利145.6万元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】设二、三月份利润的月增长率为，则第二月获得利润万元，第三月获得利润万元，
依题意，得：．
故选：D．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．求平均变化率的方法为：若变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
10、B
【解析】根据正比例函数y=ax与反比例函数y＝的函数图象可知：a＜0，k＞0，然后根据二次函数图象的性质即可得出答案．
【详解】正比例函数y=ax与反比例函数y＝的函数图象可知：a＜0，k＞0，
则二次函数y=ax2+k的图象开口向下，且与y轴的交点在y轴的正半轴，
所以大致图象为B图象．
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数及正比例函数与反比例函数的图象，属于基础题，关键是注意数形结合的思想解题．
11、C
【分析】由反比例函数的增减性得到k＞0，表示出方程根的判别式，判断根的判别式的正负即可得到方程解的情况．
【详解】∵反比例函数y，当x＞0时，y随x的增大而减小，∴k＞0，∴方程中，△＝=8k+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．
故选C．
【点睛】
本题考查了根的判别式，以及反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．
12、A
【分析】连接OD，如图，利用折叠性质得由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积等于阴影部分的面积，AC=OC，则OD=2OC=1，CD=3，从而得到∠CDO=30°，∠COD=10°，然后根据扇形面积公式，利用由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积=S扇形AOD-S△COD，进行计算即可．
【详解】解：连接OD，如图，

∵扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，
∴AC＝OC，
∴OD＝2OC＝1，
∴CD＝，
∴∠CDO＝30°，∠COD＝10°，
∴由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD
＝﹣
＝1π﹣，
∴阴影部分的面积为1π﹣.
故选A．
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．记住扇形面积的计算公式．也考查了折叠性质．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】求出自变量x为1时的函数值即可得到二次函数的图象与y轴的交点坐标．
【详解】把代入得：，
∴该二次函数的图象与y轴的交点坐标为，
故答案为．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，在y轴上的点的横坐标为1．
14、x≥1且x≠1
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，即可求解．
【详解】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：x-1≥0且x-1≠0，
解得：x≥1且x≠1．
故答案为：x≥1且x≠1．
【点睛】
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，难度不大.
15、直角
【分析】先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求得∠A和∠B，即可作出判断．
【详解】∵，
∴，，
∴，，
∵，，
∴∠A=30°，∠B=60°，
∴，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，非负数的性质及三角形的内角和定理，根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，是解题的关键．
16、AC=BD或∠ABC=90°
【分析】根据矩形的判定方法即可解决问题；
【详解】若使平行四边形ABCD变为矩形，可添加的条件是：
AC=BD（对角线相等的平行四边形是矩形）；∠ABC=90°（有一个角是直角的平行四边形是矩形）等，任意写出一个正确答案即可，如：AC=BD或∠ABC=90°．
故答案为：AC=BD或∠ABC=90°
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质与矩形的判定，熟练掌握矩形是特殊的平行四边形是解题关键．
17、736
【分析】由题意根据样本数据的比值和相对应得总体数据比值相同进行分析求解即可.
【详解】解：设全校喜欢跳绳这项体育活动的学生有m人，由题意可得：
，解得.
所以全校喜欢跳绳这项体育活动的学生有736人.
故答案为：736.
【点睛】
本题考查的是通过样本去估计总体对应的数据，熟练掌握通过样本去估计总体对应数据的方法是解题的关键．
18、5
【分析】先确定外接圆的半径是AB，圆心在AB的中点，再计算AB的长，由此求出外接圆的半径为5.
【详解】∵在△ABC中，∠C=90°，
∴△ABC外接圆直径为斜边AB、圆心是AB的中点，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴，
∴△ABC外接圆半径为5.
故答案为：5.
【点睛】
此题考查勾股定理的运用、三角形外接圆的确定.根据圆周角定理，直角三角形的直角所对的边为直径，即可确定圆的位置及大小.

三、解答题（共78分）
19、（1）详见解析；（2）图像与轴两个公共点之间的距离为
【分析】（1）证明判别式△＞0即可证得；
（2）将二次函数表达式化简成交点式，得到函数与x轴交点，通过交点可以证明函数的图像与 x 轴两个公共点之间的距离为定值即可.
【详解】解：（1）证明：令, 得

∴ 此方程有两个不相等的实数根．
∴ 不论为何值，该函数的图像与轴总有两个公共点．
（2）
当时，
∴ 图像与轴两个公共点坐标为
∴ 图像与轴两个公共点之间的距离为.
【点睛】
本题考查了二次函数与x轴的交点，可以利用判别式△的符号进行判断，还涉及到因式分解.
20、（1），；（2）
【分析】（1）根据待定系数法，分别把分别代入，进而得出解析式.
（2）根据函数的交点性质，求出C、D的坐标，进而求出CD的长和三角形的高，进行求面积即可.
【详解】解：（1）∵的图象过点，的图象过点，
∴，
∴，.
（2）由（1）可知两条曲线与直线的交点为，
∴，∴.
【点睛】
本题主要考察了反比例函数的性质，灵活运用待定系数法和函数的交点性质是解题的关键.
21、最大整数解为
【分析】先求出不等式组的解集，根据不等式组的解集求出即可.
【详解】解：
由①得：
由②得：
不等式组的解为：
所以满足范围的最大整数解为
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解的应用，关键是求出不等式组的解集.
22、（1）y=x+3， y=﹣x2﹣2x+3；（2）（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，） 或（﹣1，）
【分析】（1）首先由题意根据抛物线的对称性求得点B的坐标，然后利用交点式，求得抛物线的解析式；再利用待定系数法求得直线的解析式；
（2）首先利用勾股定理求得BC，PB，PC的长，然后分别从点B为直角顶点、点C为直角顶点、点P为直角顶点去分析求解即可求得答案．
【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），抛物线与x轴的另一交点为B，
∴B的坐标为：（﹣3，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）（x+3），
把C（0，3）代入，﹣3a=3，
解得：a=﹣1，
∴抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣1）（x+3）=﹣x2﹣2x+3；
把B（﹣3，0），C（0，3）代入y=mx+n得：
，
解得：，
∴直线y=mx+n的解析式为：y=x+3；
（2）设P（﹣1，t），
又∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，
①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2，
即：18+4+t2=t2﹣6t+10，解之得：t=﹣2；
②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2，
即：18+t2﹣6t+10=4+t2，解之得：t=4，
③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2，
即：4+t2+t2﹣6t+10=18，
解之得：t1=，t2=；
综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，） 或（﹣1，）．

【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，数形结合思想解题是本题的解题关键.
23、（1）见解析，A1(3，1)，B1(1，－1)． （2）见解析，B2(－3，－1)，C2(－2，－3)． （3）（-1，-1）
【分析】（1）依据以点C为旋转中心旋转180°，即可画出旋转后的△A1B1C1；
（2）依据点A的对应点A2的坐标为（−5，−3），即可画出平移后的△A2B2C2；
（3）依据中心对称的性质，即可得到对称中心P的坐标．
【详解】(1)如图所示，△A1B1C1为所作三角形，A1(3，1)，B1(1，－1)．
(2)如图所示，△A2B2C2为所作三角形，B2(－3，－1)，C2(－2，－3)．
(3)对称中心P的坐标为(－1，－1)．

【点睛】
本题主要考查了利用平移变换以及旋转变换进行作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
24、（1）见解析，两数和共有12种等可能结果；（2）游戏对双方公平，见解析
【分析】（1）根据题意列出表格，得出游戏中两数和的所有可能的结果数；
（2）根据（1）得出两数和共有的情况数和其中和小于12的情况数，再根据概率公式分别求出阳光和乐观获胜的概率，然后进行比较即可得出答案．
【详解】解：（1）根据题意列表如下：

6
7
8
9
3
9
10
11
12
4
10
11
12
13
5
11
12
13
14
可见，两数和共有12种等可能结果；
（2）∵两数和共有12种等可能的情况，其中和小于12的情况有6种，
∴阳光获胜的概率为
∴乐观获胜的概率是，
∵=，
∴游戏对双方公平．
【点睛】
解决游戏公平问题的关键在于分析事件发生的可能性，即比较游戏双方获胜的概率是否相等，若概率相等，则游戏公平，否则不公平．
25、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和即可得出结论；
（2）先判断出OE=AC，即可得出OE=BD，即可得出结论；
（3）先判断出△ABE是底角是30°的等腰三角形，即可构造直角三角形即可得出结论．
【详解】（1）∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∵AD=CD，
∴∠C=∠CAD，
在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAD+∠CAD=∠B+∠C+∠B+∠C=180°
∴∠B+∠C=90°，
∴∠BAC=90°，
（2）如图②，连接与，交点为，连接

四边形是矩形

（3）如图3，过点做于点

四边形是矩形
，
是等边三角形
，
由（2）知，

在中，
，

【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了矩形是性质，直角三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质，三角形的内角和公式，解（1）的关键是判断出∠B=∠BAD，解（2）的关键是判断出OE=AC，解（3）的关键是判断出△ABE是底角为30°的等腰三角形，进而构造直角三角形．
26、（1）；（2）当时，面积的最大值为16；（3）
【分析】（1）用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先用待定系数法求出直线AB的解析式，然后根据点P的坐标表示出Q,D的坐标，进一步表示出QD的长度，从而利用面积公式表示出的面积，最后利用二次函数的性质求最大值即可；
（3）分别过点作轴的垂线，垂足分别为，首先证明≌，得到，然后得到点N的坐标，将点N的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出t的值，注意t的取值范围．
【详解】（1）∵抛物线过点，
∴解得
所以抛物线的解析式为： ；
（2）设直线AB的解析式为 ，
将代入解析式中得,
解得
∴直线AB解析式为 ．
∵，
，
∴，
∴，
∴当时，面积的最大值为16 ；
（3）分别过点作轴的垂线，垂足分别为，

．
在和中， ，
∴≌，
∴．
∵，
．
当点落在抛物线上时，.
∴,
，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查二次函数与几何综合，掌握待定系数法，全等三角形的判定及性质，二次函数的性质是解题的关键．