2022年清华附中朝阳学校九年级数学第一学期期末统考试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图,二次函数的图象与轴正半轴相交于A、B两点,与轴相交于点C,对称轴为直线且OA=OC,则下列结论:①②③④关于的方程有一个根为其中正确的结论个数有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，OA、OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点．若∠OAC＝16°，∠OBC＝54°，则∠AOB的大小是（ ）

A．70° B．72° C．74° D．76°
3．对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1：③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞-1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，边AB＝8，E为边DA的中点，P为边CD上的一点，连接PE、PB，当PE＝EB时，线段PE的长为（　　）

A．4 B．8 C．4 D．4
6．方程的根是( )
A． B．
C． D．
7．如图，点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的，得到△A′B′C′，点P在A′C′上的对应点P′的的坐标为（　　）

A．（4，3） B．（3，4） C．（5，3） D．（4，4）
8．用配方法解方程，经过配方，得到 （ ）
A． B． C． D．
9．如图，小明同学将一个圆锥和一个三棱柱组成组合图形，观察其三视图，其俯视图是(　　)

A． B． C． D．
10．把抛物线向右平移l个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知,一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进10cm,则此时小球距离地面的高度为______cm．

12．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，若AF＝3，E为AB上一个动点，把△AEF沿着EF折叠，得到△PEF，若△BPE为直角三角形，则BP的长度为_____．

13．如图，矩形中，边长，两条对角线相交所成的锐角为，是边的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是_______．

14．在Rt△ABC中，∠C=90，AB=4，BC=3，则sinA的值是______________.
15．若是关于的一元二次方程，则________．
16．如图，在⊙O中，，AB＝3，则AC＝_____.

17．已知点P1（a，3）与P2（－4，b）关于原点对称，则ab＝_____．
18．已知点A（﹣2，m）、B（2，n）都在抛物线y=x2+2x﹣t上，则m与n的大小关系是m_____n．（填“＞”、“＜”或“=”）
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图1，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，，BE分别交AD、AC于点F、G．
（1）判断△FAG的形状，并说明理由；
（2）如图2，若点E和点A在BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若BG＝26，BD﹣DF＝7，求AB的长．

20．（6分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，连接BD．
（1）求证：∠A＝∠CBD．
（2）若AB＝10，AD＝6，M为线段BC上一点，请写出一个BM的值，使得直线DM与⊙O相切，并说明理由．

21．（6分）如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80%，求所截去小正方形的边长．

22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，AC是弦，D为线段AB延长线上一点，过C，D作射线DP，若∠D=2∠CAD=45º．

（1）证明：DP是⊙O的切线．
（2）若CD=3，求BD的长．
23．（8分）如图是一副扑克牌中的三张牌，将它们正面向下洗均匀，甲同学从中随机抽取一张牌后放回，乙同学再从中随机抽取一张牌，用树状图（或列表）的方法，求抽出的两张牌中，牌面上的数字都是偶数的概率．

24．（8分）如图，为外接圆的直径，点是线段延长线上一点，点在圆上且满足，连接，，，交于点.

（1）求证：.
（2）过点作，垂足为，，，求证：.
25．（10分）某商贸公司以每千克元的价格购进一种干果，计划以每千克元的价格销售,为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量(千克)与每千克降价(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示: .
（1）求与之间的函数关系式;
（2）函数图象中点表示的实际意义是 ;
（3）该商贸公司要想获利元，则这种干果每千克应降价多少元?

26．（10分）⊙O直径AB＝12cm，AM和BN是⊙O的切线，DC切⊙O于点E且交AM于点D，交BN于点C，设AD＝x，BC＝y．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）x，y是关于t的一元二次方程2t2﹣30t+m＝0的两个根，求x，y的值；
（3）在（2）的条件下，求△COD的面积．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【解析】由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y轴的交点可分别判断出a、b、c的符号，从而可判断①；由图象可知当x＝3时，y＞0，可判断②；由OA＝OC，且OA＜1，可判断③；由OA＝OC，得到方程有一个根为－c，设另一根为x，则=2，解方程可得x=4+c即可判断④；从而可得出答案．
【详解】由图象开口向下，可知a＜0，与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，又对称轴方程为x＝2，所以0，所以b＞0，∴abc＞0，故①正确；
由图象可知当x＝3时，y＞0，∴9a+3b+c＞0，故②错误；
由图象可知OA＜1．
∵OA＝OC，∴OC＜1，即﹣c＜1，∴c＞﹣1，故③正确；
∵OA＝OC，∴方程有一个根为－c，设另一根为x．
∵对称轴为直线x=2，∴=2，解得：x=4+c．故④正确；
综上可知正确的结论有三个．
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程、不等式的关系是解题的关键．特别是利用好题目中的OA＝OC，是解题的关键．
2、D
【解析】连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠OCA=16°；∠OBC=∠OCB=54°求出∠ACB的度数，然后根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解．
【详解】解：连接OC

∵OA=OC，OB=OC
∴∠OAC=∠OCA=16°；∠OBC=∠OCB=54°
∴∠ACB=∠OCB-∠OCA=54°-16°=38°
∴∠AOB=2∠ACB=76°
故选：D
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质及同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，掌握相关性质定理是本题的解题关键.
3、C
【解析】试题分析：①∵a=﹣＜0，
∴抛物线的开口向下，正确；
②对称轴为直线x=﹣1，故本小题错误；
③顶点坐标为（﹣1，3），正确；
④∵x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∴x＞1时，y随x的增大而减小一定正确；
综上所述，结论正确的个数是①③④共3个．
故选C．
考点：二次函数的性质
4、D
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【详解】解：A、无法计算，故此选项错误；
B、2+无法计算，故此选项错误；
C、2﹣，无法计算，故此选项错误；
D、﹣＝，正确．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5、D
【分析】由菱形的性质可得AB=AD=8，且∠A=60°，可证△ABD是等边三角形，根据等边三角形中三线合一，求得BE⊥AD，再利用勾股定理求得EB的长，根据PE＝EB，即可求解．
【详解】
解：如上图，连接BD
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=8，且∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵点E是DA的中点，AD=8
∴BE⊥AD，且∠A=60°，AE=
∴在Rt△ABE中，利用勾股定理得：
∵PE＝EB
∴PE=EB=4，
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等边三角形判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
6、A
【分析】利用直接开平方法进行求解即可得答案.
【详解】，
x-1=0，
∴x1=x2=1，
故选A.
【点睛】
本题考查解一元二次方程，根据方程的特点选择恰当的方法是解题的关键．
7、A
【分析】直接利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k，进而结合已知得出答案．
【详解】∵点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的，得到△A′B′C′，
∴点P在A′C′上的对应点P′的的坐标为：（4，3）．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．
8、D
【分析】通过配方法的步骤计算即可；
【详解】，
，
，
，
故答案选D．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的配方法应用，准确计算是解题的关键．
9、B
【详解】解：由题意得：俯视图与选项B中图形一致．
故选B．
【点睛】
本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是会画简单组合图形的三视图．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，掌握简单组合体三视图的画法是关键．
10、D
【分析】根据题意原抛物线的顶点坐标为（0，0），根据平移规律得平移后抛物线顶点坐标为（1，-3），根据抛物线的顶点式求解析式．
【详解】解：抛物线形平移不改变解析式的二次项系数，平移后顶点坐标为（1，-3），
∴平移后抛物线解析式为．
故选：D．
【点睛】
本题考查抛物线的平移与抛物线解析式的联系，关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移，利用顶点式求解析式．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、．
【分析】利用勾股定理及坡度的定义即可得到所求的线段长．
【详解】如图，由题意得，，
设
由勾股定理得，，即，解得
则
故答案为：．

【点睛】
本题考查了勾股定理及坡度的定义，掌握理解坡度的定义是解题关键．
12、2或．
【分析】根据题意可得分两种情况讨论：①当∠BPE＝90°时，点B、P、F三点共线，②当∠PEB＝90°时，证明四边形AEPF是正方形，进而可求得BP的长．
【详解】根据E为AB上一个动点，
把△AEF沿着EF折叠，得到△PEF，
若△BPE为直角三角形，
分两种情况讨论：
①当∠BPE＝90°时，如图1，

点B、P、F三点共线，
根据翻折可知：
∵AF＝PF＝3，AB＝4，
∴BF＝5，
∴BP＝BF﹣PF＝5﹣3＝2；
②当∠PEB＝90°时，如图2，

根据翻折可知：
∠FPE＝∠A＝90°，
∠AEP＝90°，
AF＝FP＝3，
∴四边形AEPF是正方形，
∴EP＝3，BE＝AB﹣AE＝4﹣3＝1，
∴BP＝＝＝．
综上所述：BP的长为：2或．
故答案为：2或．
【点睛】
本题主要考查了折叠的性质、正方形的性质一勾股定理的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
13、
【分析】根据对称性，作点B关于AC的对称点B′，连接B′M与AC的交点即为所求作的点P，再求直角三角形中30的临边即可．
【详解】如图，作点B关于AC的对称点B′，连接B′M，交AC于点P，

∴PB′＝PB，此时PB＋PM最小，
∵矩形ABCD中，两条对角线相交所成的锐角为60，
∴△ABP是等边三角形，
∴∠ABP＝60，
∴∠B′＝∠B′BP＝30，
∵∠DBC＝30，
∴∠BMB′＝90，
在Rt△BB′M中，BM＝4，∠B′＝30°，
∴BB’=2BM＝8
∴B′M＝，
∴PM＋PB′＝PM＋PB＝B′M =4．
故答案为4．
【点睛】
本题主要考查了最短路线问题，解决本题的关键是作点B关于AC的对称点B′．
14、
【分析】画出图形，直接利用正弦函数的定义进行求解即可.
【详解】如图：

在Rt△ABC中：sinA=
∵AB=4，BC=3
∴sinA=
故本题答案为：.
【点睛】
本题考查了三角函数的定义，注意正弦，余弦，正切定义记清楚.
15、1
【分析】根据一元二次方程的定义，从而列出关于m的关系式，求出答案.
【详解】根据题意可知：m＋1≠0且｜m｜＋1＝2，解得：m＝1，故答案为m＝1.
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的定义，解本题的要点在于知道一元二次方程中二次项系数不能为0.
16、1.
【分析】根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答即可．
【详解】解：∵在⊙O中，，AB＝1，
∴AC=AB=1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等．
17、﹣1
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y）可得到a，b的值，再代入ab中可得到答案．
【详解】解：∵P（a，3）与P′（-4，b）关于原点的对称，
∴a=4，b=-3，
∴ab=4×（-3）=-1，
故答案为：-1．
【点睛】
此题主要考查了坐标系中的点关于原点对称的坐标特点．注意：关于原点对称的点，横纵坐标分别互为相反数．
18、<
【解析】根据二次函数的性质得到抛物线y=x2+2x-t的开口向上，有最小值为-t-1，对称轴为直线x=-1，则在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，进而解答即可．
【详解】∵y=x2+2x-t=（x+1）2-t-1，
∴a=1＞0，有最小值为-t-1，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线y=x2+2x-t对称轴为直线x=-1，
∵-2＜0＜2，
∴m＜n．
故答案为：＜

三、解答题(共66分)
19、（1）等腰三角形，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）．
【分析】（1）首先根据圆周角定理及垂直的定义得到，，从而得到，然后利用等弧对等角、等角对等边等知识得到，从而证得，判定等腰三角形；
（2）成立，证明方法同（1）；
（3）首先根据上题得到，从而利用已知条件得到，然后利用勾股定理得到，，从而求得，最后求得
【详解】解：（1）结论：△FAG是等腰三角形；
理由：如图1，

为直径，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
是等腰三角形；
（2）（1）中的结论成立；
为直径，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
是等腰三角形；
（3）由（2）得：，
，
，

解得：，，
，
．
【点睛】
此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，垂径定理、勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出是等腰三角形，是一道难度不大的三角形和圆的结合的题目．
20、（1）证明见解析；（2）BM＝，理由见解析．
【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，然后就利用等角的余角相等得到结论；
（2）如图，连接OD，DM，先计算出BD＝8，OA＝5，再证明Rt△CBD∽Rt△BAD，利用相似比得到BC＝，取BC的中点M，连接DM、OD，如图，证明∠2＝∠4得到∠ODM＝90°，根据切线的判定定理可确定DM为⊙O的切线，然后计算BM的长即可．
【详解】（1）∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBD+∠ABD＝90°，
∴∠A＝∠CBD；
（2）BM＝．
理由如下：
如图，连接OD，DM，
∵∠ADB＝90°，AB＝10，AD＝6，
∴BD＝＝8，OA＝5，
∵∠A＝∠CBD，
∵Rt△CBD∽Rt△BAD，
∴＝，即＝，解得BC＝
取BC的中点M，连接DM、OD，如图，
∵DM为Rt△BCD斜边BC的中线，
∴DM＝BM，
∵∠2＝∠4，
∵OB＝OD，
∴∠1＝∠3，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，即∠ODM＝90°，
∴OD⊥DM，
∴DM为⊙O的切线，
此时BM＝BC＝．

【点睛】
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理，掌握切线的判定定理及圆周角定理是关键．
21、截去的小正方形的边长为2cm．
【分析】由等量关系：矩形面积﹣四个全等的小正方形面积=矩形面积×80%，列方程即可求解
【详解】设小正方形的边长为xcm，由题意得
10×8﹣1x2=80%×10×8，
80﹣1x2=61，
1x2=16，
x2=1．
解得：x1=2，x2=﹣2，
经检验x1=2符合题意，x2=﹣2不符合题意，舍去；
所以x=2．
答：截去的小正方形的边长为2cm．
22、（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质，三角形的内角和与外角的性质，证得∠OCD=90°，即可证得DP是⊙O的切线；
（2）根据等腰直角三角形的性质得OB=OC=CD=3，而∠OCD=90º ，最后利用勾股定理进行计算即可.
【详解】（1）证明：连接OC，

∵OA=OC，
∴∠CAD=∠ACO，
∴∠COD=2∠CAD=45°，
∵∠D=2∠CAD=45º,
∴∠OCD=180°-45°-45°=90°，
∴OC⊥CD，
∴DP是⊙O的切线；
（2）由（1）可知∠CDO=∠COD=45º
∴OB=OC=CD=3
∵∠OCD=90º
∴，
∴BD=OD－OB=
【点睛】
本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
23、
【解析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次抽取的牌上的数字都是偶数的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】画树状图为：

共有9种等可能的结果数，其中两次抽取的牌上的数字都是偶数的结果数为2，
所以两次抽取的牌上的数字都是偶数的概率＝＝．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
24、（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）利用两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似即可；
（2）构造全等三角形，先找出OD与PA的关系，再用等积式找出PE与PA的关系，从而判断出OM＝PE，得出△ODM≌△PDE即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴.
（2）证明：连接，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
设圆半径为，在中，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，又为中点，
∴，，
∵，
∴，
又，，
∴，
∴.

【点睛】
此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的性质，全等三角形的判定和学生，解本题的关键是构造全等三角形，难点是找OM＝PE．
25、（1）y=10x+100；（2）当x为0，y=100，即这种干果没有降价，以每千克60元的价格销售时，销售量是100千克；（3）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．
【分析】（1）首先设一次函数解析式为：y=kx+b，然后根据函数图象，将两组对应值代入解析式即可得解；
（2）结合点和函数图象即可得出其表示的实际意义；
（3）根据题意列出一元二次方程，求解即可
【详解】（1）设一次函数解析式为：y=kx+b
当x=2，y=120；当x=4，y=140；
∴，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y=10x+100；
（2）函数图象中点A表示的实际意义是当x为0，y=100，即这种干果没有降价，以每千克60元的价格销售时，销售量是100千克.
（3）由题意得：（60﹣40﹣x）（10 x+100）=2090，
整理得：x2﹣10x+9=0，解得：x1=1．x2=9，
∵让顾客得到更大的实惠，
∴x=9，
答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．.

【点睛】
此题主要考查一次函数图象的实际应用以及一元二次方程的实际应用，解题关键是根据题意，列出关系式.
26、（1）y＝；（2）或；（3）1．
【分析】（1）如图，作DF⊥BN交BC于F，根据切线长定理得，则DC＝DE+CE＝x+y，在中根据勾股定理，就可以求出y与x之间的关系式．
（2）由（1）求得，由根与系数的关系求得的值，通过解一元二次方程即可求得x，y的值．
（3）如图，连接OD，OE，OC，由AM和BN是⊙O的切线，DC切⊙O于点E，得到，，，推出S△AOD＝S△ODE，S△OBC＝S△COE，即可得出答案．
【详解】（1）如图，作DF⊥BN交BC于F；
∵AM、BN与⊙O切于点定A、B，
∴AB⊥AM，AB⊥BN．
又∵DF⊥BN，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠BFD＝90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴BF＝AD＝x，DF＝AB＝12，
∵BC＝y，
∴FC＝BC﹣BF＝y﹣x；
∵DE切⊙O于E，
∴DE＝DA＝xCE＝CB＝y，
则DC＝DE+CE＝x+y，
在Rt△DFC中，
由勾股定理得：（x+y）2＝（y﹣x）2+122，
整理为：y＝，
∴y与x的函数关系式是y＝．
（2）由（1）知xy＝36，
x，y是方程2x2﹣30x+a＝0的两个根，
∴根据韦达定理知，xy＝，即a＝72；
∴原方程为x2﹣15x+36＝0，
解得或．
（3）如图，连接OD，OE，OC，
∵AD，BC，CD是⊙O的切线，
∴OE⊥CD，AD＝DE，BC＝CE，
∴S△AOD＝S△ODE，
S△OBC＝S△COE，
∴S△COD＝××（3+12）×12＝1．

【点睛】
本题考查了圆切线的综合问题，掌握切线长定理、勾股定理、一元二次方程的解法是解题的关键．