湖南省武冈二中2022年高一数学第一学期期末质量检测模拟试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．已知直二面角,点，,为垂足,，,为垂
足．若，则到平面的距离等于

A. B.
C. D.1
2．函数的大致图象是（　　）
A. B.
C. D.
3．下列命题中正确的是
A. B.
C. D.
4．已知函数的图象的一部分如图1所示，则图2中的函数图象对应的函数解析式为（ ）

A. B.
C. D.
5．已知，且，对任意的实数，函数不可能
A.是奇函数 B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数
6．若－4<x<1，则（）
A.有最小值1 B.有最大值1
C.有最小值－1 D.有最大值－1
7．已知扇形的半径为，面积为，则这个扇形的圆心角的弧度数为（）
A. B.
C. D.
8．已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（ ）
A. B.
C. D.
9．下列函数中，同时满足：①在上是增函数，②为奇函数，③最小正周期为的函数是（）
A. B.
C. D.
10．定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．已知是幂函数，且在区间是减函数，则m=_____________.
12．角的终边经过点，且，则________.
13．设，，则______
14．函数为奇函数，且对任意互不相等的，，都有成立，且，则的解集为______
15．若、是方程的两个根，则__________.
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．已知，求的值.
17．已知全集为实数集，集合，.
（1）求及；
（2）设集合，若，求实数的取值范围.
18．已知函数，
（1）试比较与的大小关系，并给出证明；
（2）解方程：；
（3）求函数，（是实数）的最小值
19．已知，求的值.
20． “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点，研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数.当不超过4尾/立方米时，的值为2千克/年：当时，是的一次函数，当达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，的值为0千克/年.
（1）当时，求关于的函数解析式；
（2）当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.
21．已知定义在上的函数是奇函数
（1）求实数，的值；
（2）判断函数的单调性；
（3）若对任意的，不等式有解，求实数的取值范围

参考答案

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、C
【解析】如图，在平面内过点作于点

因为为直二面角，，所以，从而可得．又因为，所以面，故的长度就是点到平面的距离
在中，因为，所以
因为，所以．则在中，因为，所以．因为，所以，故选C
2、A
【解析】利用奇偶性定义可知为偶函数，排除；由排除，从而得到结果.
【详解】
为偶函数，图象关于轴对称，排除
又，排除
故选：
【点睛】本题考查函数图象的识别，对于此类问题通常采用排除法来进行排除，考虑的因素通常为：奇偶性、特殊值和单调性，属于常考题型.
3、D
【解析】本题考查向量基本运算
对于A，，故A不正确；对于B，由于向量的加减运算的结果仍为向量，所以，故B错误；由于向量的数量积结果是一个实数，故C错误，C的结果应等于0；D正确
4、B
【解析】利用三角函数的图象变换规律可求得结果.
【详解】观察图象可知，右方图象是由左方图象向左移动一个长度单位后得到的图象，再把的图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）得到的，
所以右图的图象所对应的解析式为.
故选：B
5、C
【解析】，
当时，，为偶函数
当时，，为奇函数
当且时，既不奇函数又不是偶函数
故选
6、D
【解析】先将转化为，根据－4<x<1，利用基本不等式求解.
【详解】
又∵－4<x<1，
∴x－1<0
∴－(x－1)>0
∴．当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立
故选：D
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.
7、A
【解析】由扇形的面积公式即可求解.
【详解】解：设扇形圆心角的弧度数为，则扇形面积为，解得，
因为，所以扇形的圆心角的弧度数为4.
故选：A
8、B
【解析】先求得扇形的半径，由此求得扇形面积.
【详解】依题意，扇形的半径为，所以扇形面积为.
故选：B
9、D
【解析】根据三角函数的图像和性质逐项分析即可求解.
【详解】A中的最小正周期为，不满足；
B中是偶函数，不满足；
C中的最小正周期为，不满足；
D中是奇函数﹐且周期，令，∴，∴函数的递增区间为，，∴函数在上是增函数，故D正确.
故选：D.
10、D
【解析】当时，为单调增函数，且，则的解集为，再结合为奇函数，可得答案
【详解】当时，，所以在上单调递增，
因为，所以当时，等价于，即，
因为是定义在上的奇函数，
所以时，在上单调递增，且，所以等价于，即，
所以不等式的解集为
故选：D

二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、
【解析】根据幂函数系数为1，得或，代入检验函数单调性即可得解.
【详解】由是幂函数，可得，解得或，
当时，在区间是减函数，满足题意；
当时，在区间是增函数，不满足题意；
故.
故答案为：.
12、
【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义直接计算
【详解】角的终边经过点，且，
解得.
故答案为：
13、
【解析】由，根据两角差的正切公式可解得
【详解】，故答案为
【点睛】本题主要考查了两角差的正切公式的应用，属于基础知识的考查
14、
【解析】由条件可得函数的单调性，结合，分和利用单调性可解.
【详解】因为，时，，所以在上单调递减，又因为为奇函数，且，所以在上单调递减，且.当时，不等式，得；当时，不等式，得.综上，不等式的解集为.
故答案：
15、
【解析】由一元二次方程根与系数的关系可得，，再由 ，运算求得结果
【详解】、是方程的两个根，，
，，
，
故答案为：

三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、
【解析】先根据条件求出，再将目标式转化为用表示，然后代入的值即可.
详解】由已知，
所以由得

17、（1），
（2）
【解析】（1）先求出集合A、B，再求，；
（2）对是否为分类讨论，分别求出a的范围.
【小问1详解】
由可得
又，则
所以，
【小问2详解】
当时，，此时；
当时，，则；
综上可得
18、（1）（2）或．（3）
【解析】（1）与作差，配方后即可得；（2）原方程化为，设，可得，进而可得结果；（3）令，则，函数可化为，利用二次函数的性质分情况讨论，分别求出两段函数的最小值，比较大小后可得各种情况下函数，（是实数）的最小值.
试题解析：（1）因为，
所以
（2）由，得，
令，则，故原方程可化为，
解得，或（舍去），
则，即，解得或，
所以或
（3）令，则，
函数可化为
①若，
当时，，对称轴，此时；
当时，，对称轴，此时，
故，
②若，
当，，对称轴，此时；
当时，，对称轴，此时，
故，
③若，
当时，，对称轴，此时；
当时，，对称轴，此时，故，；
④若，
当时，，对称轴，此时；
当时，，对称轴，此时，
则时，，
时，，
故，
⑤若，
当时，，对称轴，此时；
当时，，对称轴，此时，
因为时，，
故，
综述：
【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质分段函数的解析式和性质、分类讨论思想及方程的根与系数的关系.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.
19、
【解析】首先根据正切两角和公式得到，再利用诱导公式和二倍角公式化简得到，再分子、分母同除以求解即可.
【详解】因为，解得.
所以
.
20、（1）；（2）当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大为千克/立方米.
【解析】（1）由题意：当时，．当时，设，在，是减函数，由已知得，能求出函数
（2）依题意并由（1），，根据分段函数的性质求出各段的最大值，再取两者中较大的即可，由此能求出结果
【详解】解：（1）由题意：当时，
当时，设，显然在，减函数，
由已知得，
解得，，
故函数
（2）依题意并由（1）得，
当时，为增函数，
且
当时，，

所以，当时，的最大值为12.5
当养殖密度为10尾立方米时，
鱼年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克立方米
【点睛】(1)很多实际问题中，变量间关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型.
(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值
21、（1），
（2）在上为减函数
（3）
【解析】（1）由，求得，再由，求得，结合函数的奇偶性的定义，即可求解；
（2）化简，根据函数的单调性的定义及判定方法，即可求解；
（3）根据题意化简不等式为在有解，结合正弦函数和二次函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
解：由题意，定义在上的函数是奇函数，
可得，解得，即，
又由，可得，解得，所以，
又由，所以，.
【小问2详解】
解：由，
设，则，
因为函数在上增函数且，
所以，即，
所以在上为减函数.
【小问3详解】
解：由函数在上为减函数，且函数为奇函数，
因为，
即，
可得，
又由对任意的，不等式有解，
即在有解，
因为，则，所以，
所以，即实数的取值范围是.