广东省东莞市五校2022年九年级数学第一学期期末检测试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．函数的图象上有两点，，若，则（ ）
A． B． C． D．、的大小不确定
2．如图，在中，点D，E分别为AB，AC边上的点，且，CD、BE相较于点O，连接AO并延长交DE于点G，交BC边于点F，则下列结论中一定正确的是　　

A． B． C． D．
3．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是（ ）

A．100m B．100m C．150m D．50m
4．抛物线y＝x2﹣4x+2不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．已知⊙O的半径为3cm，线段OA=5cm，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．A点在⊙O外 B．A点在⊙O上 C．A点在⊙O内 D．不能确定
6．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，若旋转角为20°，则∠1为（　　）

A．110° B．120° C．150° D．160°
7．如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．13 D．﹣13
8．若抛物线的对称轴是直线，则方程的解是（ ）
A．， B．， C．， D．，
9．已知：m＝+1，n＝﹣1，则＝（　　）
A．±3 B．﹣3 C．3 D．
10．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ）
A．20 B．24 C．28 D．30
11．下列成语描述的事件为随机事件的是（ ）
A．守株待兔 B．水中捞月 C．瓮中捉鳖 D．水涨船高
12．如图，已知为的直径，点，在上，若，则（ ）

A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为，再将所折得的图形沿EF折叠，使得点D和点A重合若，，则折痕EF的长为______．

14．如图，是的直径，点和点是上位于直径两侧的点，连结，，，，若的半径是，，则的值是_____________．

15．已知关于的二次函数的图象如图所示，则关于的方程的根为__________

16．点A(﹣2，y1)，B(0，y2)，C(，y3)是二次函数y＝ax2﹣ax（a是常数，且a＜0）的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为_____（用“＜”连接）．
17．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1640张相片．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为________．
18．如图，ABC是⊙O的内接三角形，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，且AE=4，若CD=1，AD=3，则AB的长为______．

三、解答题（共78分）
19．（8分）解一元二次方程：
20．（8分）计算：﹣12119+|﹣2|+2cos31°+（2﹣tan61°）1．
21．（8分）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
（1）如图1，在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，当∠BCD=40°时，证明：CD为△ABC的完美分割线.

（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以AC为底边的等腰三角形，求∠ACB的度数.
（3）如图2，在△ABC中，AC=2，BC=2，CD是△ABC的完美分割线，△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求CD的长.

22．（10分）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个；定价每增加1元，销售量将减少10个．商店若准备获利2000元，则售价应定为多少？这时应进货多少个？
23．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；
（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

24．（10分）据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：
（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；
（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次.
25．（12分）如图，在中，，点是边上的动点（不与重合），点在边上，并且满足.

（1）求证：；
（2）若的长为，请用含的代数式表示的长；
（3）当（2）中的最短时，求的面积.
26．如图，AB是⊙O的直径，点P是AB上一点，且点P是弦CD的中点．
（1）依题意画出弦CD，并说明画图的依据；（不写画法，保留画图痕迹）
（2）若AP＝2，CD＝8，求⊙O的半径．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】根据题意先确定抛物线的对称轴及开口方向，再根据点与对称轴的远近，判断函数值的大小．
【详解】解：∵，
∴对称轴是x=-2，开口向下，
距离对称轴越近，函数值越大，
∵，
∴.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象性质及单调性的规律，掌握开口向下，距离对称轴越近，函数值越大是解题的关键．
2、C
【分析】由可得到∽，依据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质进行判断即可．
【详解】解：A.∵，
∴ ,故不正确；
B. ∵，
∴ ,故不正确；
C. ∵，
∴∽，∽,
， ．
，故正确；
D. ∵，
∴ ,故不正确；
故选C．
【点睛】
本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．
3、A
【解析】∵堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，∴，
∵BC=50，∴AC=50，∴（m）．故选A
4、C
【分析】求出抛物线的图象和x轴、y轴的交点坐标和顶点坐标，再根据二次函数的性质判断即可．
【详解】解：y＝x2﹣4x+4﹣2＝（x﹣2）2﹣2，
即抛物线的顶点坐标是（2，﹣2），在第四象限；
当y＝0时，x2﹣4x+2＝0，解得：x＝2，
即与x轴的交点坐标是（2+，0）和（2﹣，0），都在x轴的正半轴上，
a＝1＞0，抛物线的图象的开口向上，与y轴的交点坐标是（0，2），
即抛物线的图象过第一、二、四象限，不过第三象限，
故选：C．
【点睛】
本题考查了求函数图像与坐标轴交点坐标和顶点坐标，即求和x轴交点坐标就要令y=0、求与y轴的交点坐标就要令x=0，求顶点坐标需要配成顶点式再求顶点坐标
5、A
【详解】解：∵5＞3
∴A点在⊙O外
故选A.
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系.
6、A
【解析】设C′D′与BC交于点E,如图所示：

∵旋转角为20°，
∴∠DAD′=20°，
∴∠BAD′=90°−∠DAD′=70°.
∵∠BAD′+∠B+∠BED′+∠D′=360°，
∴∠BED′=360°−70°−90°−90°=11°，
∴∠1=∠BED′=110°.
故选A.
7、B
【分析】
【详解】∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根，
∴x1+x2=﹣4，x1x2=a．
∴x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=x1x2﹣2（x1+x2）﹣5=a﹣2×（﹣4）﹣5=0，
即a+1=0，解得，a=﹣1．
故选B
8、C
【分析】利用对称轴公式求出b的值，然后解方程.
【详解】解：由题意：
解得：b=-4
∴

解得：，
故选：C
【点睛】
本题考查抛物线对称轴公式及解一元二次方程，熟记公式正确计算是本题的解题关键.
9、C
【分析】先根据题意得出和的值，再把式子化成含与的形式，最后代入求值即可.
【详解】由题得：、
∴
故选：C.
【点睛】
本题考查代数式求值和完全平方公式，运用整体思想是关键.
10、D
【详解】试题解析：根据题意得=30%，解得n=30，
所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．
故选D．
考点：利用频率估计概率．
11、A
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：A.守株待兔是随机事件，故A符合题意；
B.水中捞月是不可能事件，故B不符合题意；
C.瓮中捉鳖是必然事件，故C不符合题意；
D.水涨船高是必然事件，故D不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
12、C
【分析】连接AD,根据同弧所对的圆周角相等，求∠BAD的度数，再根据直径所对的圆周角是90°，利用内角和求解.
【详解】解：连接AD,则∠BAD=∠BCD=28°,
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°,
∴∠ABD=90°-∠BAD=90°-28°=62°.

故选：C.
【点睛】
本题考查圆周角定理，运用圆周角定理是解决圆中角问题的重要途径，直径所对的圆周角是90°是圆中构造90°角的重要手段.

二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】首先由折叠的性质与矩形的性质，证得是等腰三角形，则在中，利用勾股定理，借助于方程即可求得AN的长，又由≌，易得：，由三角函数的性质即可求得MF的长，又由中位线的性质求得EM的长，则问题得解
【详解】如图，设与AD交于N，EF与AD交于M，

根据折叠的性质可得：，，，
四边形ABCD是矩形，
，，，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
，
即，
，，，
≌，
，
，
，
，
，
由折叠的性质可得：，
，
，
，
，
故答案为．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数的性质以及勾股定理等知识，综合性较强，有一定的难度，解题时要注意数形结合思想与方程思想的应用．
14、
【分析】根据题意可知∠ADB=90°,∠ACD=∠ABD,求出∠ABD的正弦就是∠ACD的正弦值．
【详解】解：∵是的直径，
∴∠ADB=90°
∴∠ACD=∠ABD
∵的半径是，，
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查的是锐角三角函数值.
15、0或-1
【分析】求关于的方程的根，其实就是求在二次函数中，当 y=4时x的值，据此可解．
【详解】解：∵抛物线与x轴的交点为（-4，0），（1，0），
∴抛物线的对称轴是直线x=-1.5，
∴抛物线与y轴的交点为（0，4）关于对称轴的对称点坐标是（-1，4），
∴当x=0或-1时，y=4,即=4，即=0
∴关于x的方程ax2+bx =0的根是x1=0，x2=-1．
故答案为：x1=0，x2=-1．
【点睛】
本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，能根据题意利用数形结合把求出方程的解的问题转化为二次函数的问题是解答此题的关键．
16、y1＜y3＜y1
【分析】求出抛物线的对称轴，求出C关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的开口方向和增减性，即可求出答案．
【详解】y=ax1﹣ax(a是常数，且a＜0)，
对称轴是直线x，
即二次函数的开口向下，对称轴是直线x，
即在对称轴的左侧y随x的增大而增大，
C点关于直线x=1的对称点是(1，y3)．
∵﹣1＜1，
∴y1＜y3＜y1．
故答案为：y1＜y3＜y1．
【点睛】
本题考查了学生对二次函数图象上点的坐标特征的理解和运用，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
17、x（x-1）=1
【解析】试题分析:每人要赠送（x﹣1）张相片,有x个人,所以全班共送:（x﹣1）x=1．
故答案是（x﹣1）x=1．
考点:列一元二次方程．
18、
【分析】利用勾股定理求出AC，证明△ABE∽△ADC，推出，由此即可解决问题．
【详解】解：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∴，
∵AE是直径，
∴∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠ADC，
∵∠E=∠C，
∴△ABE∽△ADC，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．

三、解答题（共78分）
19、，.
【分析】利用十字相乘法即可解方程.
【详解】，
（x+1）（2x-5）=0，
∴，.
【点睛】
此题考查一元二次方程的解法，根据方程的特点选择适合的方法求解是解题的关键.
20、2
【解析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】解：原式＝﹣1+2﹣+1
＝2
【点睛】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
21、（1）证明见解析；（2）∠ACB=96°；（3）CD的长为-1.
【分析】（1）根据三角形内角和定理可求出∠ACB=80°，进而可得∠ACD=40°，即可证明AD=CD，由∠BCD=∠A=40°，∠B为公共角可证明三角形BCD∽△BAC，即可得结论；
（2）根据等腰三角形的性质可得∠ACD=∠A=48°，根据相似三角形的性质可得∠BCD=∠A=48°，进而可得∠ACB的度数；
（3）由相似三角形的性质可得∠BCD=∠A，由AC=BC=2可得∠A=∠B，即可证明∠BCD=∠B，可得BD=CD，根据相似三角形的性质列方程求出CD的长即可.
【详解】（1）∵∠A=40°，∠B=60°，
∴∠ACB=180°-40°-60°=80°，
∵∠BCD=40°，
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=40°，
∴∠ACD=∠A，
∴AD=CD，即△ACD是等腰三角形，
∵∠BCD=∠A=40°，∠B为公共角，
∴△BCD∽△BAC，
∴CD为△ABC的完美分割线.
（2）∵△ACD是以AC为底边的等腰三角形，
∴AD=CD，
∴∠ACD=∠A=48°，
∵CD是△ABC的完美分割线，
∴△BCD∽△BAC，
∴∠BCD=∠A=48°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.
（3）∵△ACD是以CD为底边的等腰三角形，
∴AD=AC=2，
∵CD是△ABC的完美分割线，
∴△BCD∽△BAC，
∴∠BCD=∠A，，
∵AC=BC=2，
∴∠A=∠B，
∴∠BCD=∠B，
∴BD=CD，
∴，即，
解得：CD=-1或CD=--1（舍去），
∴CD的长为-1.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，正确理解完美分割线的定义并熟练掌握相似三角形的性质是解题关键.
22、当该商品每个单价定为50元时，进货200个；每个单价为60元时，进货100个.
【解析】试题分析：利用销售利润=售价-进价，根据题中条件可以列出利润与的关系式，求出即可．
试题解析：设每个商品的定价是元.
由题意，得
整理，得
解得 都符合题意.
答：当该商品每个单价定为50元时，进货200个；每个单价为60元时，进货100个.
23、（1）y=-x2+x+2，x=1；（2）C（0，2）；y=−x+2；（1）Q1（1，0），Q2（1，2+），Q1（1，2-）．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x=−求出对称轴方程；
（2）在抛物线解析式中，令x=0，可求出点C坐标；令y=0，可求出点B坐标．再利用待定系数法求出直线BD的解析式；
（1）本问为存在型问题．若△ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解．
【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+2的图象经过点A（-2，0），
∴-×（-2）2+b×（-2）+2=0，
解得：b=，
∴抛物线解析式为 y=-x2+x+2，
又∵y=-x2+x+2=-（x-1）2+，
∴对称轴方程为：x=1．
（2）在y=-x2+x+2中，令x=0，得y=2，
∴C（0，2）；
令y=0，即-x2+x+2=0，整理得x2-6x-16=0，解得：x=8或x=-2，
∴A（-2，0），B（8，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（8，0），C（0，2）的坐标分别代入解析式，得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为：y=−x+2．
∵抛物线的对称轴方程为：x=1，
可设点Q（1，t），则可求得：
AC=，
AQ=，
CQ=．
i）当AQ=CQ时，有=，
25+t2=t2-8t+16+9，
解得t=0，
∴Q1（1，0）；
ii）当AC=AQ时，有
t2=-5，此方程无实数根，
∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；
iii）当AC=CQ时，有，
整理得：t2-8t+5=0，
解得：t=2±，
∴点Q坐标为：Q2（1，2+），Q1（1，2-）．
综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（1，0），Q2（1，2+），Q1（1，2-）．
【点睛】
本题考查二次函数综合题，综合性较强，有一定难度，注意分类讨论是本题的解题关键．
24、（1）20%（2）8640万人次
【分析】（1）设年平均增长率为x．根据题意2010年公民出境旅游总人数为 5000（1+x）万人次，2011年公民出境旅游总人数 5000（1+x）2 万人次．根据题意得方程求解．
（2）2012年我国公民出境旅游总人数约1（1+x）万人次．
【详解】解：（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x．根据题意得
5000（1+x）2 =1．
解得 x1 =0.2=20%，x2 =﹣2.2 （不合题意，舍去）．
答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%．
（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，则2012年我国公民出境旅游总人数为
1（1+x）=1×120%=8640万人次．
答：预测2012年我国公民出境旅游总人数约8640万人次．
25、（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质可得，进而可证得结论；
（2）根据相似三角形的对应边成比例可得CE与x的关系，进一步即可得出结果；
（3）根据（2）题的结果，利用二次函数的性质可得AE最短时x的值，即BD的长，进而可得AD的长和△ADC的面积，进一步利用所求三角形的面积与△ADC的面积之比等于AE与AC之比即得答案.
【详解】解：（1）∵，∴，∵，∴，
∵，∴，
∴；

（2）∵，∴，∴，
∴，
∴；
（3）∵，∴时，的值最小为6.4，此时，
∵，∴，∴，
∴，
∵，即，
∴.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质、二次函数的性质、勾股定理、等腰三角形的性质和三角形的面积等知识，属于中档题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质与二次函数的性质是解题的关键.
26、（1）画图见解析，依据：平分弦（非直径）的直径垂直于弦；（2）⊙O的半径为1．
【分析】（1）过P点作AB的垂线即可，作图依据是垂径定理的推论．
（2）设⊙O的半径为r，在Rt△OPD中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】（1）过P点作AB的垂线交圆与C、D两点， CD就是所求的弦，如图．
依据：平分弦（非直径）的直径垂直于弦；
（2）如图，连接OD，

∵OA⊥CD于点P，AB是⊙O的直径，
∴∠OPD＝90°，PD＝CD，
∵CD＝8，
∴PD＝2．
设⊙O的半径为r，则OD＝r，OP＝OA﹣AP＝r﹣2，
在Rt△ODP中，∠OPD＝90°，
∴OD2＝OP2+PD2，
即r2＝（r﹣2）2+22，
解得r＝1，
即⊙O的半径为1．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．