2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市道里区九年级数学第一学期期末检测模拟试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，，若，则的长是（ ）

A．4 B．6 C．8 D．10
2．如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间，下列结论:①;②;③;④若是该抛物线上的点，则;其中正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的过程中，配方正确的是（　　）
A．（x+2）2＝1 B．（x﹣2）2＝1 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9
4．定义A*B，B*C，C*D，D*B分别对应图形①、②、③、④：那么下列图形中，可以表示A*D，A*C的分别是（）

A．（1），（2） B．（2），（4） C．（2），（3） D．（1），（4）
5．以半径为2的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则（ ）
A．不能构成三角形 B．这个三角形是等腰三角形
C．这个三角形是直角三角形 D．这个三角形是钝角三角形
6．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0的根的情况，下面判断正确的是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个实数根 D．无实数根
7．方程x2－4＝0的解是
A．x＝2 B．x＝－2 C．x＝±2 D．x＝±4
8．如图，在中，是直径，点是上一点，点是弧的中点，于点，过点的切线交的延长线于点，连接，分别交，于点．连接，关于下列结论：① ；②；③点是的外心，其中正确结论是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
9．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，若∠BAD=48°，则∠DCA的大小为（　　）

A． B． C． D．
10．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过（2，3），则k的值为（　　）
A．5 B．﹣5 C．6 D．﹣6
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，中，，，，是上一个动点，以为直径的⊙交于，则线段长的最小值是_________．

12．已知反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣4），则k＝_____．
13．已知二次函数的图象经过点，的横坐标分别为，点的位置随的变化而变化，若运动的路线与轴分别相交于点,且（为常数），则线段的长度为_________.
14．如图，在⊙O内有折线DABC，点B，C在⊙O上，DA过圆心O，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC＝_____．

15．抛物线开口向下，且经过原点，则________．
16．我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积（矩形面积），八百六十四（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少12步），问阔及长各几步．”如果设矩形田地的长为x步，那么根据题意列出的方程为_____．
17．若二次函数的图象开口向下，则实数a的值可能是___________（写出一个即可）
18．抛物线的顶点坐标是____________
三、解答题(共66分)
19．（10分）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.
已知平面上两点，则所有符合且的点会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆.
阿氏圆基本解法：构造三角形相似.
（问题）如图1，在平面直角坐标中，在轴，轴上分别有点，点是平面内一动点，且，设，求的最小值.

阿氏圆的关键解题步骤：
第一步：如图1，在上取点，使得；
第二步：证明；第三步：连接，此时即为所求的最小值.
下面是该题的解答过程(部分)：
解：在上取点，使得，
又.
任务：
将以上解答过程补充完整.
如图2，在中，为内一动点，满足，利用中的结论，请直接写出的最小值.

20．（6分）已知二次函数y=(x－1)2+n的部分点坐标如下表所示：

（1）求该二次函数解析式；
（2）完成上表，并在平面直角坐标系中画出函数图象
21．（6分）已知点M(2，a)在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点M关于原点中心对称的点N在一次函数y＝﹣2x+8的图象上，求此反比例函数的解析式．
22．（8分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为每秒2cm和1cm，FQ⊥BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t秒（0＜t＜4）．
（1）连接EF，若运动时间t＝秒时，求证：△EQF是等腰直角三角形；
（2）连接EP，当△EPC的面积为3cm2时，求t的值；
（3）在运动过程中，当t取何值时，△EPQ与△ADC相似．

23．（8分）小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？
（3）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．
24．（8分）如图1为放置在水平桌面上的台灯，底座的高为，长度均为的连杆，与始终在同一平面上．当，时，如图2，连杆端点离桌面的高度是多少？

25．（10分）某商城销售一种进价为10元1件的饰品，经调查发现，该饰品的销售量（件）与销售单价（元）满足函数，设销售这种饰品每天的利润为（元）.
（1）求与之间的函数表达式；
（2）当销售单价定为多少元时，该商城获利最大？最大利润为多少？
（3）在确保顾客得到优惠的前提下，该商城还要通过销售这种饰品每天获利750元，该商城应将销售单价定为多少？
26．（10分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，DE∥BC，DF∥AC，DE、DF分别交边AC、BC于点E、F，且．
（1）求的值；
（2）联结EF，设=，=，用含、的式子表示．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【解析】根据相似三角形对应边成比例即可求解．
【详解】∵△EFO∽△GHO
∴
∴EF=2GH=8
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，找到对应边建立比例式是解题的关键．
2、C
【分析】根据抛物线的对称轴可判断①；由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性可判断②；由x=-1时y＞0可判断③；根据抛物线的开口向下且对称轴为直线x=-2知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断④．
【详解】∵抛物线的对称轴为直线，
∴，所以①正确；
∵与x轴的一个交点在（-3，0）和（-4，0）之间，
∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（-1，0）和（0，0）之间，
∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即c＜0，故②正确；
∵由②、①知，时y＞0，且，
即＞0，所以③正确；
∵点与点关于对称轴直线对称，
∴，
∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线，
∴当，函数值随的增大而减少，
∵，
∴，
∴，故④错误；
综上：①②③正确，共3个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置；常数项c决定抛物线与y轴交点；抛物线与x轴交点个数由决定．
3、D
【分析】先移项，再在方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可得出答案．
【详解】解：移项得：x2﹣4x＝5，
配方得：，
（x﹣2）2＝9，
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点是用配方法解一元二次方程，掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解此题的关键．
4、B
【分析】先判断出算式中A、B、C、D表示的图形，然后再求解A*D，A*C．
【详解】∵A*B，B*C，C*D，D*B分别对应图形①、②、③、④
可得出A对应竖线、B对应大正方形、C对应横线，D对应小正方形
∴A*D为竖线和小正方形组合，即（2）
A*C为竖线和横线的组合，即（4）
故选：B
【点睛】
本题考查归纳总结，解题关键是根据已知条件，得出A、B、C、D分别代表的图形．
5、C
【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，问题得解．
【详解】解：如图1，

∵OC＝2，
∴OD＝2×sin30°＝1；
如图2，

∵OB＝2，
∴OE＝2×sin45°＝；
如图3，

∵OA＝2，
∴OD＝2×cos30°＝，
则该三角形的三边分别为：1，，，
∵12＋（）2＝（）2，
∴该三角形是直角三角形，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查多边形与圆，解答此题要明确：多边形的半径、边心距、中心角等概念，根据解直角三角形的知识解答是解题的关键．
6、C
【分析】判断一元二次方程根的判别式的大小即可得解.
【详解】由题意可可知：△＝（﹣k﹣3）2﹣4（2k+2）
＝k2﹣2k+1
＝（k﹣1）2≥0，
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式：
（1）当△=b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当△=b2﹣4ac=0时，方程有有两个相等的实数根；
（3）当△=b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根.
7、C
【分析】方程变形为x1=4，再把方程两边直接开方得到x=±1．
【详解】解：x1=4，
∴x=±1．
故选C．
8、C
【分析】由于与不一定相等，根据圆周角定理可知①错误；连接OD，利用切线的性质，可得出∠GPD＝∠GDP，利用等角对等边可得出GP＝GD，可知②正确；先由垂径定理得到A为的中点，再由C为的中点，得到，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP＝∠ACP，利用等角对等边可得出AP＝CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，由等角的余角相等可得出∠PCQ＝∠PQC，得出CP＝PQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，可知③正确；
【详解】∵在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，
∴＝≠，
∴∠BAD≠∠ABC，故①错误；
连接OD，
则OD⊥GD，∠OAD＝∠ODA，
∵∠ODA＋∠GDP＝90，∠EPA＋∠EAP＝∠EAP＋∠GPD＝90，
∴∠GPD＝∠GDP；
∴GP＝GD，故②正确；
∵弦CF⊥AB于点E，
∴A为的中点，即，
又∵C为的中点，
∴，
∴，
∴∠CAP＝∠ACP，
∴AP＝CP．
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACQ＝90，
∴∠PCQ＝∠PQC，
∴PC＝PQ，
∴AP＝PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，
∴P为Rt△ACQ的外心，故③正确；
故选C．

【点睛】
此题是圆的综合题，其中涉及到切线的性质，圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，平行线的判定，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．
9、B
【详解】解：连接BD，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°−∠BAD=42°，
∴∠DCA=∠ABD=42°
故选B
10、C
【分析】反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，依据xy=k即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过（2，3），
∴k＝2×3＝6，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握是解题的关键.

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】连接AE，可得∠AED=∠BEA=90°，从而知点E在以AB为直径的⊙Q上，继而知点Q、E、C三点共线时CE最小，根据勾股定理求得QC的长，即可得线段CE的最小值．
【详解】解：如图，连接AE，则∠AED=∠BEA=90°(直径所对的圆周角等于90°)，

∴点E在以AB为直径的⊙Q上，
∵AB=4，
∴QA=QB=2，
当点Q、E、C三点共线时，QE+CE=CQ（最短），
而QE长度不变为2，故此时CE最小，
∵AC=5，
，
∴ ，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了圆周角定理和勾股定理的综合应用，解决本题的关键是确定E点运动的轨迹，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．
12、-1．
【分析】直接把点（3，﹣4）代入反比例函数y＝，求出k的值即可．
【详解】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣4），
∴﹣4＝，解得k＝﹣1.
故答案为：﹣1．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
13、27
【分析】先求得点M和点N的纵坐标，于是得到点M和点N运动的路线与字母b的函数关系式，则点A的坐标为(0，) ，点B的坐标为(0，) ，于是可得到的长度．
【详解】∵过点M、N，且即，
∴，
∴，
，
∵点A在y轴上，即，
把代入，得：，
∴点A的坐标为(0，) ，
∵点B在y轴上，即，
∴，
把代入，得：，
∴点B的坐标为(0，) ，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，正确理解题意、求得点A和点B的坐标是解题的关键．
14、1
【分析】作OE⊥BC于E，连接OB，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD是等边三角形，由此可求出OD、BD的长，设垂足为E，在Rt△ODE中，根据OD的长及∠ODE的度数易求得DE的长，进而可求出BE的长，由垂径定理知BC=2BE即可得出答案．
【详解】作OE⊥BC于E，连接OB．

∵∠A＝∠B＝60°，
∴∠ADB＝60°，
∴△ADB为等边三角形，
∴BD＝AD＝AB＝12，
∵OA＝8，
∴OD＝4，
又∵∠ADB＝60°，
∴DE＝OD＝2，
∴BE＝12﹣2＝10，
由垂径定理得BC=2BE=1
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了圆中的弦长计算，熟练掌握垂径定理，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
15、
【解析】把原点（0，0）代入y=（k+1）x2+k2﹣9，可求k，再根据开口方向的要求检验．
【详解】把原点（0，0）代入y=（k+1）x2+k2﹣9中，得：k2﹣9=0
解得：k=±1．
又因为开口向下，即k+1＜0，k＜﹣1，所以k=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】
主要考查了二次函数图象上的点与二次函数解析式的关系．要求掌握二次函数图象的性质，并会利用性质得出系数之间的数量关系进行解题．
16、x（x﹣12）＝1
【分析】如果设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步，根据面积为1，即可得出方程．
【详解】解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步．
根据矩形面积＝长×宽，得：x（x﹣12）＝1．
故答案为：x（x﹣12）＝1．
【点睛】
本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意根据面积公式列出方程是解题的关键．
17、-2（答案不唯一，只要是负数即可）
【分析】根据二次函数的图像和性质进行解答即可
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴a<0
∴取a=-2
故答案为：-2（答案不唯一，只要是负数即可）
【点睛】
本题考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键，题目较简单
18、
【分析】根据顶点式即可得到顶点坐标．
【详解】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为（2，2），
故答案为（2，2）.
【点睛】
本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k）是解题的关键．

三、解答题(共66分)
19、（1）（2）.
【分析】 ⑴ 将PC+kPD转化成PC+MP，当PC+kPD最小，即PC+MP最小，图中可以看出当C、P、M共线最小，利用勾股定理求出即可；
⑵ 根据上一问得出的结果，把图2的各个点与图1对应代入，C对应O,D对应P，A对应C，B对应M，当D在AB上时为最小值，所以= =
【详解】解，
，当取最小值时，有最小值，即三点共线时有最小值，利用勾股定理得
的最小值为，
提示：，，
的最小值为.
【点睛】
此题主要考查了新定义的理解与应用，快速准确的掌握新定义并能举一反三是解题的关键.
20、（1）y=（x-1）2+1；（2）填表见解析，图象见解析．
【分析】（1）将（2，2）代入y=（x-1）2+n求得n的值即可得解；
（2）再由函数解析式计算出表格内各项，然后再画出函数图象即可．
【详解】（1）∵二次函数y=（x-1）2+n，当x=2时，y=2，
∴2=（2-1）2+n，
解得n=1，
∴该二次函数的解析式为y=（x-1）2+1．
（2）填表得
x
⋯⋯
-1
0
1
2
3
⋯⋯
y
⋯⋯
5
2
1
2
5
⋯⋯
画出函数图象如图：

【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数解析式是解题的关键．
21、y＝﹣
【分析】由点M与点N关于原点中心对称，可表示出点N的坐标，代入一次函数的关系式，可求得a的值，确定点M的坐标，再代入反比例函数的关系式求出k的值即可．
【详解】∵点M(2，a)，点M与点N关于原点中心对称，
∴N(﹣2，﹣a)代入y=﹣2x+8得：
﹣a=4+8，
∴a=﹣12，
∴M(2，﹣12)代入反比例函数y=得，
k=﹣24，
∴反比例函数的解析式为y=﹣．
【点睛】
本题考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入相应的函数关系式是常用的方法．
22、（1）详见解析；（2）2秒；（3）2秒或秒或秒．
【分析】（1）由题意通过计算发现EQ＝FQ＝6，由此即可证明；
（2）根据题意利用三角形的面积建立方程即可得出结论；
（3）由题意分点E在Q的左侧以及点E在Q的右侧这两种情况，分别进行分析即可得出结论．
【详解】解：（1）证明：若运动时间t＝秒，则
BE＝2×＝（cm），DF＝（cm），
∵四边形ABCD是矩形
∴AD＝BC＝8（cm），AB＝DC＝6（cm），∠D＝∠BCD＝90°
∵∠D＝∠FQC＝∠QCD＝90°，
∴四边形CDFQ也是矩形，
∴CQ＝DF，CD＝QF＝6（cm），
∴EQ＝BC﹣BE﹣CQ＝8﹣﹣＝6（cm），
∴EQ＝QF＝6（cm），
又∵FQ⊥BC，
∴△EQF是等腰直角三角形；
（2）由（1）知，CE＝8﹣2t，CQ＝t，
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝，
在Rt△CPQ中，tan∠ACB＝＝＝，
∴PQ＝t，
∵△EPC的面积为3cm2，
∴S△EPC＝CE×PQ＝×（8﹣2t）×t＝3，
∴t＝2秒，
即t的值为2秒；
（3）解：分两种情况：
Ⅰ．如图1中，点E在Q的左侧．

①∠PEQ=∠CAD时，△EQP∽△ADC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，
∵△EQP∽△ADC，
∴∠CAD=∠QEP，
∴∠ACB=∠QEP，
∴EQ=CQ，
∴CE=2CQ，
由（1）知，CQ=t，CE=8-2t，
∴8-2t=2t，
∴t=2秒；
②∠PEQ=∠ACD时，△EPQ∽△CAD，
∴，
∵FQ⊥BC，
∴FQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴，即，
解得：，
∴，
解得：；
Ⅱ．如图2中，点E在Q的右侧．

∵0＜t＜4，
∴点E不能与点C重合，
∴只存在△EPQ∽△CAD，
可得，即，
解得：；
综上所述，t的值为2秒或秒或秒时，△EPQ与△ADC相似．
【点睛】
本题是相似形综合题，主要考查矩形的性质和判定，三角函数，相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
23、（1）；（2）10元；（3）x为12时，日销售利润最大，最大利润960元
【分析】（1）根据题意得到函数解析式；
（2）根据题意列方程，解方程即可得到结论；
（3）根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）根据题意得，，
故y与x的函数关系式为；
（2）根据题意得，，解得：，（不合题意舍去），
答：要使日销售利润为720元，销售单价应定为10元；
（3）根据题意得，，
，
∴当时，w随x的增大而增大，
当时，，
答：当x为12时，日销售利润最大，最大利润960元．
【点睛】
此题考查了一元二次方程和二次函数的运用，利用总利润=单个利润×销售数量建立函数关系式，进一步利用性质的解决问题，解答时求出二次函数的解析式是关键．
24、
【分析】作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．判断四边形PCHG是矩形， 求出DP，CH，再加上AB即可求出DF．
【详解】解：如图，作于，于，于，于．则四边形是矩形，

，，
，
，
∴，
，，
.
∴连杆端点D离桌面l的高度是.
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
25、（1）；（2）销售单价为30时，该商城获利最大，最大利润为800元；（3）单价定为25元
【分析】（1）利用利润=每件的利润×数量即可表示出与之间的函数表达式；
（2）根据二次函数的性质即可求出最大值；
（3）令,求出x值即可.
【详解】解：（1）
（2）由（1）知，
∵，
∴当时，有最大值,最大值为800元
即销售单价为30时，该商城获利最大，最大利润为800元.
（3）令，即
解得或
因为要确保顾客得到优惠
所以不符合题意，舍去
所以在确保顾客得到优惠的前提下，该商城还要通过销售这种饰品每天获利750元，该商城应将销售单价定为25元
【点睛】
本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
26、 (1)见解析；（2）=﹣．
【解析】（1）由 得，由DE//BC得，再由DF//AC即可得；
（2）根据已知可得 ， ，从而即可得.
【详解】（1）∵ ， ∴，
∵DE//BC，∴，
又∵DF//AC，∴ ；
（2）∵，∴，
∵，与方向相反 ， ∴ ，
同理： ，
又∵，∴.