2022-2023学年天津市滨海七所重点学校高一数学第一学期期末联考模拟试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若，则的取值范围是（）

A. B.
C. D.
2．已知a＝20.1，b＝log43.6，c＝log30.3，则（）
A.a＞b＞c B.b＞a＞c
C.a＞c＞b D.c＞a＞b
3．已知直线⊥平面，直线平面，给出下列命题：
①∥ ②⊥∥ ③∥⊥ ④⊥∥其中正确命题的序号是
A.①③ B.②③④
C.①②③ D.②④
4．已知函数f（x）=，若f（a）=f（b）=f（c）且a＜b＜c，则ab+bc+ac的取值范围为（　　）
A. B.
C. D.
5．若，，三点共线，则（ ）
A. B.
C. D.
6．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了()（）
A.10% B.30%
C.60% D.90%
7．已知是定义在上的减函数，若对于任意，均有，，则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
8．函数f(x)=的零点所在的一个区间是
A.（-2，-1） B.（-1,0）
C.（0,1） D.（1,2）
9．用样本估计总体，下列说法正确的是
A.样本的结果就是总体的结果
B.样本容量越大，估计就越精确
C.样本的标准差可以近似地反映总体的平均状态
D.数据的方差越大，说明数据越稳定
10．设函数f(x)=若，则实数的取值范围是（）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．计算__________
12．若命题“”为真命题，则的取值范围是______
13．已知函数的图象恒过点P，若点P在角的终边上，则_________
14．已知函数，若，则实数的取值范围为______.
15．若，则______.
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．对于函数，存在实数，使成立，则称为关于参数的不动点.
（1）当时，凾数在上存在两个关于参数的相异的不动点，试求参数的取值范围；
（2）对于任意的，总存在，使得函数有关于参数的两个相异的不动点，试求的取值范围.
17．求函数的定义域、值域与单调区间；
18．如图所示,是圆柱的母线,是圆柱底面圆的直径,是底面圆周上异于的任意一点,.
(1)求证:；
(2)求三棱锥体积的最大值,并写出此时三棱锥外接球的表面积.

19．一种专门占据内存的计算机病毒，能在短时间内感染大量文件，使每个文件都不同程度地加长，造成磁盘空间的严重浪费.这种病毒开机时占据内存2KB，每3分钟后病毒所占内存是原来的2倍.记x分钟后的病毒所占内存为yKB.
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）如果病毒占据内存不超过1GB（，）时，计算机能够正常使用，求本次开机计算机能正常使用的时长.
20．已知函数.
（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（2）是否同时存在实数和正整数，使得函数在上恰有个零点?若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由.
21．已知幂函数为偶函数
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间（2，3）上为单调函数，求实数的取值范围

参考答案

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、D
【解析】根据题意可得出，然后根据向量的运算得出，从而可求出答案.
【详解】因为点C为的中点，，所以，
所以
，
因为点M为线段AB上的一点，所以，所以，
所以的取值范围是,
故选：D.
2、A
【解析】直接判断范围，比较大小即可.
【详解】，，，故a＞b＞c.
故选：A.
3、A
【解析】利用线面、面面平行的性质和判断以及线面、面面垂直的性质和判断可得结果.
【详解】②若，则与不一定平行，还可能为相交和异面；④若，则与不一定平行，还可能是相交.
故选A.
【点睛】本题是一道关于线线、线面、面面关系的题目，解答本题的关键是熟练掌握直线与平面和平面与平面的平行、垂直的性质定理和判断定理.
4、D
【解析】画出函数的图象，根据，，互不相等，且（a）（b）（c），我们令，我们易根据对数的运算性质，及，，的取值范围得到的取值范围
【详解】解：作出函数的图象如图，

不妨设，，，，，，
由图象可知，，则，解得，
，则，解得，
，
的取值范围为
故选．
【点睛】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力，解答的关键是图象法的应用，即利用函数的图象交点研究方程的根的问题，属于中档题．
5、A
【解析】先求出，从而可得关于的方程，故可求的值.
【详解】因为，，故，
因为三点共线，故，故，
故选：A.
6、B
【解析】根据所给公式、及对数的运算法则代入计算可得；
【详解】解：当时，，当时，，
∴，∴ 约增加了30%.
故选：B
7、D
【解析】根据已知等式，结合函数的单调性进行求解即可.
【详解】令时，，
由，
因为是定义在上的减函数，
所以有，
故选：D
8、B
【解析】因为函数f(x)=2+3x在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=,f（0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B
考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用
点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间
9、B
【解析】解：因为用样本估计总体时，样本容量越大，估计就越精确，成立
选项A显然不成立，选项C中，样本的标准差可以近似地反映总体的稳定状态，、数据的方差越大，说明数据越不稳定，故选B
10、C
【解析】由于的范围不确定，故应分和两种情况求解.
【详解】当时，，
由得，
所以，可得：，
当时，，
由得，
所以，即，即，
综上可知：或.
故选：C
【点睛】本题主要考查了分段函数，解不等式的关键是对的范围讨论，分情况解，属于中档题.

二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、5
【解析】化简，故答案为.
12、
【解析】依题意可得恒成立，则，得到一元二次不等式，解得即可；
【详解】解：依题意可得，命题等价于恒成立，
故只需要解得，即
故答案为：
13、
【解析】由对数函数的性质可得点的坐标，由三角函数的定义求得与的值，再由正弦的二倍角公式即可求解.
【详解】易知恒过点，即，
因为点在角的终边上，所以，
所以，，
所以，
故答案为：.
14、或
【解析】令，分析出函数为上的减函数且为奇函数，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】令，对任意的，，
故函数的定义域为，
因为，
则，所以，函数为奇函数，
当时，令，由于函数和在上均为减函数，
故函数在上也为减函数，
因为函数在上为增函数，故函数在上为减函数，
所以，函数在上也为减函数，
因为函数在上连续，则在上为减函数，
由可得，即，
所以，，即，解得或.
故答案为：或.
15、
【解析】根据指对互化，指数幂的运算性质，以及指数函数的单调性即可解出
【详解】由得，即，解得
故答案为：

三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1）
（2）
【解析】（1）题目转化为，根据双勾函数的单调性得到函数值域，得到范围.
（2）根据得到，设，构造函数，根据函数的单调性得到函数的最大值，讨论端点值的大小关系解不等式得到答案.
【小问1详解】
，，即，，
即，函数在上单调递减，在上单调递增，
，，当时，，
有两个解，故.
【小问2详解】
，即，
，整理得到，
故，设，，则，
即，
设，在上单调递减，在上单调递增，故，
当，即或时，，解得或，故或；
当，即时，，解得或，故；
综上所述：或，即
17、定义域为，值域为，递减区间为，递增区间为.
【解析】由函数的解析式有意义列出不等式，可求得其定义域，由，结合基本不等式，可求得函数的值域，令，根据对勾函数的性质和复合函数的单调性的判定方法，可求得函数的单调区间.
【详解】由题意，函数有意义，则满足且，
因为方程，所以，解得，
所以函数的定义域为
又由，
因为，所以，
当且仅当时，即时，等号成立，所以，
所以函数的值域为，
令，
根据对勾函数的性质，可得函数在区间上单调递减，在上单调递增，
结合复合函数的单调性的判定方法，可得在上单调递减，在上单调递增.
18、 (1)见解析；(2) .
【解析】（1）由圆柱易知平面，所以，由圆的性质易得，进而可证平面；
（2）由已知得三棱锥的高,当直角的面积最大时,三棱锥的体积最大,当点在弧中点时最大, 此时外接球的直径即可得解.
试题解析：
(1)证明:∵已知是圆柱的母线,.∴平面
∵是圆柱底面圆的直径,是底面圆周上异于的任意一点,
∴,又,∴平面
又平面
(2)解:由已知得三棱锥的高,当直角的面积最大时,
三棱锥的体积最大,当点在弧中点时最大,
,
结合(1)可得三棱锥的外接球的直径即为,
所以此时外接球的直径.
.
点睛：一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.
19、（1）（）
（2）57分钟
【解析】（1）根据题意可得，y关于x的函数解析式；
（2）先根据题意，换算病毒占据的最大内存,根据（1）中的解析式，列出不等式，可得答案.
【小问1详解】
因为这种病毒开机时占据内存2KB，每3分钟后病毒所占内存是原来的2倍.
所以x分钟后的病毒所占内存为，得（）
【小问2详解】
因为病毒占据内存不超过1GB时，计算机能够正常使用，
故有，解得.
所以本次开机计算机能正常使用的时长为57分钟.
20、（1）；（2）存在，当时，；当时，.
【解析】（1）利用三角恒等变换思想得出，令，，由题意可知对任意的，可得出，进而可解得实数的取值范围；
（2）由题意可知，函数与直线在上恰有个交点，然后对实数的取值进行分类讨论，考查实数在不同取值下两个函数的交点个数，由此可得出结论.
【详解】（1），
当时，，，则，
要使对任意恒成立，
令，则，对任意恒成立，
只需，解得，
实数的取值范围为；
（2）假设同时存在实数和正整数满足条件，
函数在上恰有个零点，
即函数与直线在上恰有个交点.
当时，，作出函数在区间上的图象如下图所示：

①当或时，函数与直线在上无交点；
②当或时，函数与直线在上仅有一个交点，
此时要使函数与直线在上有个交点，则；
③当或时，函数直线在上有两个交点，
此时函数与直线在上有偶数个交点，不可能有个交点，不符合；
④当时，函数与直线在上有个交点，
此时要使函数与直线在上恰有个交点，则.
综上所述，存在实数和正整数满足条件：
当时，；当时，.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，利用函数在区间上的零点个数求参数，解本题第（2）问的关键就是要注意到函数与直线的图象在区间上的图象的交点个数，结合周期性求解.
21、 (1);(2)或.
【解析】（1）由为幂函数知，得或
又因为函数为偶函数，所以函数不符合舍去
当时，，符合题意；
.
(2)由（1）得，
即函数的对称轴为，
由题意知在（2，3）上为单调函数，
所以或，
即或.