广西柳州市鱼峰区五里亭中学2022-2023学年九年级数学第一学期期末教学质量检测试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．若，相似比为2，且的面积为12，则的面积为 （ ）
A．3 B．6 C．24 D．48
2．已知反比例函数的表达式为，它的图象在各自象限内具有 y随x的增大而增大的特点，则k的取值范围是（ ）．
A．k>-2 B． C． D．
3．抛物线y＝3（x+2）2﹣（m2+1）（m为常数）的顶点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．如图，一只箱子沿着斜面向上运动，箱高AB＝1.3cm，当BC＝2.6m时，点B离地面的距离BE＝1m，则此时点A离地面的距离是（ ）

A．2.2m B．2m C．1.8m D．1.6m
5．有一则笑话：妈妈正在给一对双胞胎洗澡，先洗哥哥，再洗弟弟．刚把两人洗完，就听到两个小家伙在床上笑．“你们笑什么？”妈妈问．“妈妈！”老大回答，“您给弟弟洗了两回，可是还没给我洗呢！”此事件发生的概率为( )
A． B． C． D．1
6．如图①，在矩形中，，对角线相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则边的长为( )．

A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，已知矩形ABCD和矩形EFGO在平面直角坐标系中，点B，F的坐标分别为(－4,4)，(2,1)．若矩形ABCD和矩形EFGO是位似图形，点P(点P在GC上)是位似中心，则点P的坐标为(　　)

A．(0,3)
B．(0,2.5)
C．(0,2)
D．(0,1.5)
8．用配方法解方程，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．用配方法解方程x2+4x+1＝0时，原方程应变形为(　　)
A．(x+2)2＝3 B．(x﹣2)2＝3 C．(x+2)2＝5 D．(x﹣2)2＝5
10．一元二次方程的一次项系数和常数项依次是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在中，平分交于点，垂足为点，则__________．

12．某园进行改造，现需要修建一些如图所示圆形（不完整）的门，根据实际需要该门的最高点C距离地面的高度为2.5m，宽度AB为1m，则该圆形门的半径应为_____m．

13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象相交于点和点，则关于x的不等式的解集是_____．

14．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的周长是_____．
15．若反比例函数的图像上有两点，， 则____．（填“>”或“=”或“<”）
16．如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30°角时，两次测量的影长相差8米，则树高_____________米(结果保留根号)．

17．若点A（1，y1）和点B（2，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1与y2的大小关系是_____．
18．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为________cm.

三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC，延长AD到E，且有∠EBD=∠CAB．

⑴求证：BE是⊙O的切线；
⑵若BC=，AC=5，求圆的直径AD的长．
20．（6分）如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点，AE＝ED，DF=DC，连结EF并延长交BC的延长线于点G，连结BE．
（1）求证：△ABE∽△DEF．
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．

21．（6分）如图，在中，，，.将绕点逆时针方向旋转60°得到，连接，求线段的长．

22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，∠ABO＝90°，AB＝BO，直线y＝﹣3x﹣4与反比例函数y＝交于点A，交y轴于C点．
（1）求k的值；
（2）点D与点O关于AB对称，连接AD、CD，证明△ACD是直角三角形；
（3）在（2）的条件下，点E在反比例函数图象上，若S△OCE＝S△OCD，求点E的坐标．

23．（8分）在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm，求点D到AB的距离．

24．（8分）如图，，平分，过点作交于，连接交于，若，，求，的长．

25．（10分）如图，已知⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，∠EAB=∠ADB．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）已知点B是EF的中点，求证：△EAF∽△CBA；
（3）已知AF=4，CF=2，在（2）的条件下，求AE的长．

26．（10分）已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，线段EF过点O交AD于点E，交BC于点F．求证：OE=OF．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【解析】试题分析：∵△ABC∽△DEF，相似比为2，
∴△ABC与△DEF的面积比为4，
∵△ABC的面积为12，
∴△DEF的面积为：12×=1．
故选A．
考点：相似三角形的性质．
2、C
【分析】先根据反比例数的图象在每一象限内y随x的增大而增大得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【详解】解：∵反比例数的图象在每一象限内y随x的增大而增大，
∴＜0，解得k＜-1．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数（k≠0）中，当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大是解答此题的关键
3、C
【分析】根据二次函数的性质求出抛物线的顶点坐标，根据偶次方的非负性判断．
【详解】抛物线y＝3（x+2）2﹣（m2+1）的的顶点坐标为（﹣2，﹣（m2+1）），
∵m2+1＞0，
∴﹣（m2+1）＜0，
∴抛物线的顶点在第三象限，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的顶点坐标的确定方法、偶次方的非负性是解题的关键．
4、A
【分析】先根据勾股定理求出CE，再利用相似三角形的判定与性质进而求出DF、AF的长即可得出AD的长．
【详解】解：由题意可得：AD∥EB，则∠CFD＝∠AFB＝∠CBE，△CDF∽△CEB，
∵∠ABF＝∠CEB＝90°，∠AFB＝∠CBE，
∴△CBE∽△AFB，
∴＝＝，
∵BC＝2.6m，BE＝1m，
∴EC＝2.4（m），
即＝＝，
解得：FB＝，AF＝，
∵△CDF∽△CEB，
∴＝，
即
解得：DF＝，
故AD＝AF+DF＝+＝2.2（m），
答：此时点A离地面的距离为2.2m．
故选：A．

【点睛】
本题考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质，利用勾股定理，正确利用相似三角形的性质得出FD的长是解题的关键．
5、A
【分析】根据概率是指某件事发生的可能性为多少解答即可．
【详解】解：此事件发生的概率
故选A．
【点睛】
本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．
6、B
【分析】当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，结合图象可得面积最大为1，得到与的积为12；当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，得到与的和为7，构造关于的一元二方程可求解．
【详解】解：当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，面积最大为1．
∴，即．
当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，
∴．
则，代入，得，解得或1，
因为，即，
所以．
故选B．
【点睛】
本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．
7、C
【分析】如图连接BF交y轴于P ，由BC∥GF可得＝，再根据线段的长即可求出GP，PC，即可得出P点坐标.
【详解】连接BF交y轴于P，
∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为(－4,4)，(2,1)，
∴点C的坐标为(0,4)，点G的坐标为(0,1)，
∴CG＝3，
∵BC∥GF，
∴＝＝，
∴GP＝1，PC＝2，
∴点P的坐标为(0,2)，
故选C.

【点睛】
此题主要考查位似图形的性质，解题的关键是根据位似图形的对应线段成比例.
8、D
【解析】等式两边同时加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式进行整理即可.
【详解】解：原方程等式两边同时加上一次项系数一半的平方得，，整理后得，
，故选择D.
【点睛】
本题考查了配方法的概念.
9、A
【分析】先把常数项移到方程右侧，然后配一次项系数一半的平方即可求解．
【详解】x2+4x＝﹣1，
x2+4x+4＝3，
(x+2)2＝3，
故选：A．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-配方法，掌握在二次项系数为1的前提下，配一次项系数一半的平方是关键．
10、B
【解析】根据一元二次方程的一般形式进行选择．
【详解】解：2x2-x=1，
移项得：2x2-x-1=0，
一次项系数是-1，常数项是-1．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b分别叫二次项系数，一次项系数．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】首先解直角三角形得出BC，然后根据判定DE∥AC，再根据平行线分线段成比例即可得出，再利用角平分线的性质，得出CE=DE，然后构建方程，即可得出DE.
【详解】∵
∴
又∵
∴DE∥AC
∴
又∵CD平分
∴∠ACD=∠BCD=∠CDE=45°
∴CE=DE
∴
∴
故答案为.
【点睛】
此题主要考查利用平行线分线段成比例的性质构建方程，即可解题.
12、
【分析】过圆心作弦AB的垂线，运用垂径定理和勾股定理即可得到结论．
【详解】过圆心点O作OE⊥AB于点E，连接OC，

∵点C是该门的最高点，
∴，
∴CO⊥AB，
∴C，O，E三点共线，
连接OA，
∵OE⊥AB，
∴AE==0.5m，
设圆O的半径为R，则OE=2.5-R，
∵OA2=AE2+OE2，
∴R2=（0.5）2+（2.5-R）2，
解得：R=，
故答案为．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
13、-6＜x＜0或x＞2；
【解析】观察一次函数和反比例函数图象，一次函数比反比例函数高的部分就是所求.
【详解】解：本题初中阶段只能用数形结合，由图知-6＜x＜0或x＞2；
点睛：利用一次函数图象和反比例函数图象性质数形结合解不等式：
形如式不等式，构造函数，=，如果,找出比,高的部分对应的x的值,,找出比,低的部分对应的x的值.
14、1
【分析】先求出方程的两根，然后根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．
【详解】解：x2﹣6x+8＝0，
(x﹣2)(x﹣4)＝0，
x﹣2＝0，x﹣4＝0，
x1＝2，x2＝4，
当x＝2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x＝2舍去，
当x＝4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4＝1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，熟练掌握一元二次方程的解法是解法本题的关键．
15、<
【分析】先把A(，2)，B(，-1)代入反比例函数，求出的值并比较出其大小即可．
【详解】∵点A(，2)，B(，-1)是反比例函数图像上的点，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
16、
【解析】设出树高，利用所给角的正切值分别表示出两次影子的长，然后作差建立方程即可．
解：如图所示，

在RtABC中，tan∠ACB=，∴BC=，
同理：BD=，
∵两次测量的影长相差8米，∴=8，
∴x=4，
故答案为4．
“点睛”本题考查了平行投影的应用，太阳光线下物体影子的长短不仅与物体有关，而且与时间有关，不同时间随着光线方向的变化，影子的方向也在变化，解此类题，一定要看清方向．解题关键是根据三角函数的几何意义得出各线段的比例关系，从而得出答案．
17、y1＜y1
【分析】由k=-1可知，反比例函数y＝﹣的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则问题可解.
【详解】解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣1＜0，
∴此函数在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵点A（1，y1），B（1，y1）在反比例函数y＝﹣的图象上，1＞1，
∴y1＜y1，
故答案为y1＜y1．
【点睛】
本题考查了反比例函数的增减性，解答关键是注意根据比例系数k的符号确定，在各个象限内函数的增减性解决问题.
18、
【分析】过点A作AH⊥DE，垂足为H，由旋转的性质可得 AE=AD=6，∠CAE=∠BAD=15°，∠DAE=∠BAC=90°，再根据等腰直角三角形的性质可得∠HAE=45°，AH=3，进而得∠HAF=30°，继而求出AF长即可求得答案.
【详解】过点A作AH⊥DE，垂足为H，
∵∠BAC=90°，AB=AC，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，
∴AE=AD=6，∠CAE=∠BAD=15°，∠DAE=∠BAC=90°，
∴DE=，∠HAE=∠DAE=45°，
∴AH=DE=3，∠HAF=∠HAE-∠CAE=30°，
∴AF=，
∴CF=AC-AF=，
故答案为.

【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，正确添加辅助线构建直角三角形、灵活运用相关知识是解题的关键.

三、解答题(共66分)
19、（1）详见解析；（2）1
【分析】（1）先根据等弦所对的劣弧相等，再结合∠EBD=∠CAB从而得到∠BAD=∠EBD，最后用直径所对的圆周角为直角即可；
（2）利用三角形的中位线先求出OM，再用勾股定理求出半径r，最后得到直径的长．
【详解】解：⑴证明：连接OB,CD,OB、CD交于点M
∵BC=BD，

∴∠CAB=∠BAD.
∵OA=OB,
∴∠BAD=∠OBA.
∴∠CAB=∠OBA.
∴OB∥AC.
又AD是直径,
∴∠ABD=∠ACD =90°，
又∠EBD=∠CAB, ∠CAB=∠OBA.
∴∠OBE=90°，即OB⊥BE.
又OB是半径,
∴BE是⊙O的切线．
⑵∵ OB∥AC, OA=OD,AC=5,.
∴ OM=2.5 ,BM=OB-2.5,OB⊥CD
设⊙O的半径为r，则
在Rt△OMD中：MD2=r2-2.52;
在Rt△BMD中：MD2=BD2-(r-2.5)2 ,BD=BC=.
∴r1=3 ,r2=-0.5(舍).
∴圆的直径AD的长是1．
【点睛】
此题是切线的判定，主要考查了圆周角的性质，切线的判定，勾股定理等，解本题的关键是作出辅助线．
20、（1）见解析；（2）BG=BC+CG=1．
【分析】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得AE：AB=DF：DE，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；
（2）根据相似三角形的预备定理得到△EDF∽△GCF，再根据相似的性质即可求得CG的长，那么BG的长也就不难得到.
【详解】（1）证明：∵ABCD为正方形，
∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90 °.
∵AE=ED，
∴AE：AB=1：2.
∵DF=DC，
∴DF：DE=1：2，
∴AE：AB=DF：DE，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴△EDF∽△GCF，
∴ED：CG=DF：CF.
又∵DF=DC，正方形的边长为4，
∴ED=2，CG=6，
∴BG=BC+CG=1.
【点睛】
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.
21、
【分析】连BB'，根据旋转的性质及已知条件可知△ABB'是等边三角形，进而得出∠CBB'=90°，再由勾股定理计算的长度即可．
【详解】解：连BB'.
∵∠ACB=90°，∠BAC=60°
∴∠ABC=30°，AB=2AC=4，BC=
由旋转可知：AB=AB'，∠BAB'=60°
∴△ABB'是等边三角形
∴BB'=AB=4，∠ABB'=60°
∴∠CBB'=90°
∴B'C=

【点睛】
本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质，灵活运用旋转的性质是解题的关键．
22、（1）-4；（2）见解析；（3）点E的坐标为（﹣4，1）．
【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A的坐标，利用待定系数法求出k；
（2）先求出点D的坐标，求出∠ADB=45°，∠ODC=45°，从而得解；
（3）设出点E的坐标，根据三角形的面积公式解答．
【详解】（1）设点B的坐标为（a，0），
∵∠ABO＝90°，AB＝BO，
∴点A的坐标为（a，﹣a），
∵点A在直线y＝﹣3x﹣4上，
∴﹣a＝﹣3a﹣4，
解得，a＝﹣2，
即点A的坐标为（﹣2，2），
∵点A在反比例函数y＝上，
∴k＝﹣4；
（2）∵点D与点O关于AB对称，
∴点D的坐标为（﹣4，0）
∴OD＝4，
∴DB＝BA＝2，
则∠ADB＝45°，
∵直线y＝﹣3x﹣4交y轴于C点，
∴点C的坐标为（0，﹣4），
∴OD＝OC，
∴∠ODC＝45°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠ODC＝90°，
即△ACD是直角三角形；
（3）设点E的坐标为（m，﹣），
∵S△OCE＝S△OCD，
∴×4×4＝×4×（﹣m），
解得，m＝﹣4，
∴﹣=1，
∴点E的坐标为（﹣4，1）．
【点睛】
本题考查的是反比例函数与几何的综合题，掌握待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．
23、2.6cm
【分析】先要过D作出垂线段DE，根据角平分线的性质求出CD＝DE，再根据已知即可求得D到AB的距离的大小．
【详解】解：过点D作DE⊥AB于E．

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC
∴CD＝DE
又BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm
∴DC＝7.8÷（2+1）＝7.8÷3＝2.6cm．
∴DE＝DC＝2.6cm．
∴点D到AB的距离为2.6cm．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质定理,属于简单题,正确作出辅助线是解题关键.
24、BD=，DN=
【分析】由平行线的性质可证∠MBD=∠BDC，即可证AM=MD=MB=4，由BD2=AD•CD可得BD长，再由勾股定理可求MC的长，通过证明△MNB∽△CND，可得，即可求DN的长．
【详解】解：∵BM∥CD
∴∠MBD=∠BDC
∴∠ADB=∠MBD，且∠ABD=90°
∴BM=MD，∠MAB=∠MBA
∴BM=MD=AM=4
∵平分，
∴∠ADB=∠CDB，
∵，
∴△ABD∽△BCD，
∴BD2=AD•CD，
∵ CD=6，AD=8，
∴BD2=48，
即BD=，
∴BC2=BD2-CD2=12
∴MC2=MB2+BC2=28
∴MC=，
∵BM∥CD
∴△MNB∽△CND，
∴，且BD=，
∴设DN=x，
则有，
解得x=，
即DN=.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定及其性质，掌握相关判定方法并灵活运用，是解题的关键．
25、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】(1)连接CD，根据直径所对的圆周角为直角得出∠ADB+∠EDC=90°，根据同弧所对的圆周角相等得出∠BAC=∠EDC，然后结合已知条件得出∠EAB+∠BAC=90°，从而说明切线；
(2)连接BC，根据直径的性质得出∠ABC=90°，根据B是EF的中点得出AB=EF，即∠BAC=∠AFE，则得出三角形相似；
(3)根据三角形相似得出，根据AF和CF的长度得出AC的长度，然后根据EF=2AB代入求出AB和EF的长度，最后根据Rt△AEF的勾股定理求出AE的长度.
【详解】解：(1)如答图1，连接CD，
∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°
∴∠ADB+∠EDC=90°
∵∠BAC=∠EDC，∠EAB=∠ADB，
∴∠BAC=∠EAB+∠BAC=90°
∴EA是⊙O的切线；
(2)如答图2，连接BC，
∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°. ∴∠CBA=∠ABC=90°
∵B是EF的中点，∴在Rt△EAF中，AB=BF
∴∠BAC=∠AFE
∴△EAF∽△CBA．
(3)∵△EAF∽△CBA，∴
∵AF=4，CF=2， ∴AC=6，EF=2AB．
∴，
解得AB=2
∴EF=4
∴AE=．

【点睛】
本题考查切线的判定与性质；三角形相似的判定与性质．
26、证明见解析.
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，OA=OC，继而可利用ASA判定△AOE≌△COF，继而证得OE=OF．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．