新人教版九年级数学第22章一元二次方程教案导学案.doc

第22章 一元二次方程
教材内容
1．本单元教学的主要内容．
一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．
2．本单元在教材中的地位与作用．
一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．
教学目标
1．知识与技能
了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法;应用熟练掌握以上知识解决问题．
2．过程与方法
（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．
（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．
（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．
（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件:b2-4ac>0，b2—4ac=0，b2—4ac〈0．
（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移,解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．
（6)提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型,并用该模型解决实际问题．
3．情感、态度与价值观
经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用,激发学生的学习兴趣．
教学重点
1．一元二次方程及其它有关的概念．
2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．
3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．
教学难点
1．一元二次方程配方法解题．
2．用公式法解一元二次方程时的讨论．
3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．
教学关键
1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．
2．用配方法解一元二次方程的步骤．
3．解一元二次方程公式法的推导．
课时划分
本单元教学时间约需15课时，具体分配如下：
22．1 一元二次方程 2课时
22．2 降次──解一元二次方程 8课时
22．3 实际问题与一元二次方程 3课时
《一元二次方程》小结与复习 2课时

第1课时 一元二次方程（1）
学 习

目 标
1、使学生了解一元二次方程的意义。
2、通过提供实际问题的情境，让学生感受到在我们的生活、学习中方程知识的实际意义。
3、能够根据具体问题中的数学关系，列出程体会一元二次方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
学习重点
建立一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般形式。
学习难点
在一元二次方程化成一般形式后，如何确定一次项和常数项。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、自主学习 感受新知
【问题1】有一块面积为900平方米的长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少?
【分析】设宽为x米,则列方程得：x(x+10）=900；
整理得 x2+10x-900=0 ①
【问题2】学校图书馆去年年底有图书5万册，预计至明年年底增加到7。2万册,求这两年的年平均增长率.
【分析】设这两年的年平均增长率为x，则列方程得:5(1+x）2=7.2;
整理得 5 x2+10x—2.2=0 ②
【问题2】学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
【分析】全部比赛共4×7=28场,设应邀请x个队参赛，则每个队要与其它 （x—1）队各赛1场,全场比赛共场,列方程得：；
整理得 x2-x—56=0 ③

鼓励学生独立解决问题，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型．

二、自主交流 探究新知
【探究】(1）上面三个方程左右两边是含未知数的 整式 （填 “整式”“分式"“无理式”)；
（2）方程整理后含有 一 个未知数；
(3）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是 二 次.
【归纳】
1、一元二次方程的定义
等号两边都是 整式 ，只含有 一 个求知数（一元),并且求知数的最高次数是 2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：
ax2+bx+c=0（a≠0）
这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数,c是常数项。
【注意】方程ax2+bx+c=0只有当a≠0时才叫一元二次方程，如果a=0,b≠0时就是一元一次方程了。所以在一般形式中,必须包含a≠0这个条件。
【补充练习】判断下列方程，哪些是一元二次方程？
（1）x3－２ｘ2＋５＝０； （２）x2＝１；
（３)5x2-2x-=x2—2x+； （４）２(x＋１）2＝３（x＋１)；
（５）x2－２x＝x2＋１； （６）ax2＋bx＋c＝０

主体活动,探索一元二次方程的定义及其相关概念．

判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对其整理成一般形式，然后根据定义判断。
三、自主应用 巩固新知
【例1】将方程3x（x—1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程3x（x—1）=5(x+2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．
解：去括号，得：
3x2—3x=5x+10
移项合并同类项，得：
3x2—8x-10=0
其中二次项系数是3，一次项系数是—8，常数项是-10.
【注意】二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号。
【例2】将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数;一次项、一次项系数;常数项．
【分析】通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x—2）(x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．
解:去括号，得：
x2+2x+1+ x2-4=1
移项合并同类项，得：
2x2+2x—4=0
其中二次项是2x2，二次项系数是2，一次项是2x，一次项系数是—8，常数项是-10。
【例3】求证:关于x的方程(m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
【分析】要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2—8m+17≠0即可．
证明：m2—8m+17=（m-4）2+1
∵（m—4）2≥0
∴（m—4)2+1〉0，即（m—4）2+1≠0
∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
【练习】Р27 1 2

进一步巩固一元二次方程的基本概念
四、自主总结 拓展新知
1、a≠0是ax2+bx+c=0成为一元二次方程的必要条件，否则,方程ax2+bx+c=0变为bx+c=0，就不是一元二次方程.
2、找一元二次方程中的二次项系数、一次项系数、常数项，应先将方程化为一般形式。
五、课堂作业 P28 1 2 5 6 7 （《课堂内外》对应练习）
教学理念/教学反思

第2课时 一元二次方程（2)
学 习
目 标
1、会进行简单的一元二次方程的试解;理解方程解的概念。
2、会估算实际问题中方程的解，并理解方程解的实际意义。
学习重点
一元二次方程解的探索。
学习难点
一元二次方程近似解的探索。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、自主学习 感受新知
【问题1】把方程3x（x－1)=2(x+2）+8化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项.

【问题2】判断下列方程哪些是一元二次方程？为什么？
①x2+4x+=0 ②x2+3x－2= x2
③x2－2xy－3=0 ④a x2+bx+c=0

复习巩固一元二次方程的相关概念.

二、自主交流 探究新知
【探究】猜测方程的解是什么?

【归纳】使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解，又叫作一元二次方程的根．
【问题3】下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根?
—4，-3,-2，-1，0，1，2，3，4．
【分析】要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．
解：将上面的这些数代入后，只有-2和—3满足方程的等式，所以x=-2或x=—3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根．
【问题4】认真观察下列方程的结构形式,试写出下列方程的根，并说出你的理由.
⑴x2—16=0 ⑵ （x+3)(x—2）=0
⑶ （x-2)2=49 ⑷x2—2x+1=25
【分析】要求出方程的根,就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根或两个数的积为0的意义来思考解题．
解：⑴∵x2-16=0 ⑵∵(x+3)（x-2）=0
∴x2=16 ∴x+3=0或x—2=0
∴x=±4 ∴x=—3或x=2
⑶∵(x—2）2=49 ⑷∵x2—2x+1=25
∴x—2=±7 ∴(x-1)2=25
∴x=9或x=-5 ∴x-1=±5
∴x=6或x=—4

探究一元二次方程根的概念以及作用．

进一步巩固方程的根的含义．
方程的根可以起到检验的作用--检验一个数是否是方程的根．

三、自主应用 巩固新知
【例1】若x＝2是方程的一个根，你能求出a的值吗?
【分析】根据根的定义可以知道，若一个数是方程的根，那么把这个数代入方程后,等号必定成立，于是可以构造出关于a的一元一次方程，进而解即可．
解:∵x＝2是方程的一个根
∴，
解之得：
a＝．
【例2】若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值。
【分析】如果一个数是方程的根，那么把该数代入方程一定能使左右两边相等，这种解决问题的思维方法经常用到,同学们要深刻理解。
解:∵x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)的根
∴a+b+c=0
∴2007(a+b+c）=0
【练习】Р28 1 2

方程的根的另一个作用——代入方程使等号成立．
四、自主总结 拓展新知
1、一元二次方程根的概念;
2、要会判断一个数是否是一元二次方程的根；
3、要会用一些方法求一元二次方程的根．
五、课堂作业 P28 3 4 8 （《课堂内外》对应练习）
【补充练习】
1、方程x（x-1)=2的两根为【 】．
A．x1=0,x2=1 B．x1=0，x2= -1 C．x1=1,x2=2 D．x1=—1，x2=2
2、方程x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．
3、已知方程5x2+mx—6=0的一个根是x=3，则m的值为________．
4、若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)有一个根为1，则a+b+c= ；若有一个根是—1，则b与a、c之间的关系为 ；若有一个根为0,则c= .
5、如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b)2+4ab的值．

教学理念/教学反思

第3课时 解一元二次方程——配方法（1）
学 习

目 标
1、使学生会用直接开平方法解一元二次方程。
2、渗透转化思想，掌握一些转化的技能。
学习重点
掌握直接开平方法解一元二次方程。
学习难点
灵活运用直接开平方法解一元二次方程。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、自主学习 感受新知
【问题1】一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，小李用这桶漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为xdm,则一个正方体的表面积为6x2dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：
10×6x2=1500
由此可得:x2=25
根据平方根的意义，得x=±5
即x1=5,x2=—5
可以验证5和—5是方程的两根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为5dm。

创设问题情境,激发学生兴趣,引出本节内容．
列出方程后，让学生讨论方程的解法,由于所列出的方程形式比较简单,可以运用平方根的定义（即开平方法)来求出方程的解．
二、自主交流 探究新知
【探究】对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x—1）2=5及方程x2+6x+9=4？
方程（2x-1)2=5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数,根据平方根的意义，可将方程变形为,即将方程变为和两个一元一次方程，从而得到方程（2x—1)2=5的两个解为x1=，x2=.
在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次",转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了.
方程x2+6x+9=4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x+ 3 )2=4，进行降次，得到 x+3=±2 ，方程的根为x1= -1，x2= -5。
【归纳】在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．
即,如果方程能化成或的形式，那么可得或．

鼓励学生独立解决问题，在解决问题的过程中体会解简单的一元二次方程的思想“降次"——把二次降为一次,进而解一元一次方程即可．

三、自主应用 巩固新知
【例1】解下列方程：
⑴2y2=8 ⑵2（x-8)2=50
⑶（2 x—1)2+4=0 ⑷4x2-4x+1=0
【分析】引导学生观察以上各个方程能否化成或的形式,若能，则可运用直接开平方法解。
解：⑴2y2=8 ⑵2(x-8)2=50
y2=4 （x—8）2=25
y=±2 x-8=±5
∴y1=2,y2=-2 x—8=5或x—8=—5
∴x1= 13，x2= —3
⑶（2 x—1）2+4=0 ⑷4x2-4x+1=0
（2 x—1）2=—4〈0 (2 x-1）2=0
∴原方程无解 2 x-1=0
∴x1= x2=
【例2】市区内有一块边长为15米的正方形绿地，经城市规划，需扩大绿化面积，预计规划后的正方形绿地面积将达到300平方米,这块绿地的边长增加了多少米？（结果保留一位小数）
解：设这块绿地的边长增加了x米.根据题意可列方程：
（15+x)2=300
15+x=±10
即15+x=10或15+x=—10
∴x1=-15+10≈2。3,x1=-15-10（负根不合题意,舍去）
答:这这块绿地的边长增加了2.3米。
【例3】市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m2，求每年人均住房面积增长率．
【分析】设每年人均住房面积增长率为x．一年后人均住房面积就应该是10+10x=10（1+x)m2；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10(1+x）2 m2
解:设每年人均住房面积增长率为x，依题意可列方程:
10(1+x）2=14.4
（1+x）2=1。44
1+x=±1.2
即1+x=1.2或1+x=—1.2
∴x1=0.2=20%，x2= —2。2(负根不合题意，舍去）
答:每年人均住房面积增长率应为20%
【练习】Р31 1

帮助学生掌握并巩固一元二次方程的解法,同时通过教师规范的板书引导学生不仅要会解方程还要注意正确的解题格式。

强调所求未知数的值要使实际问题有意义，让学生能进行根的取舍.

四、自主总结 拓展新知
1、用直接开平方解一元二次方程。
2、理解“降次”思想。
3、理解x2=p或（mx+n)2=p(p≥0)为什么p≥0？
五、课堂作业 P42 1 （《课堂内外》对应练习）
教学理念/教学反思

第4课时 解一元二次方程-—配方法（2）
学 习

目 标
1、会用配方法解数字系数的一元二次方程.
2、掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程。
3、渗透转化思想，掌握一些转化的技能
学习重点
掌握配方法解一元二次方程。
学习难点
把一元二次方程转化为形如（x-a)2=b的过程。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、自主学习 感受新知
【问题1】填空
（1）x2-8x+_16__=（x-_4_）2；（2）9x2+12x+_4__=（3x+_2_)2；
（3）x2+px+=（x+）2．
【问题2】若4x2—mx+9是一个完全平方式，那么m的值是 ±12 。
【问题3】要使一块矩形场地的长比宽多6 m,并且面积为16 m2，场地的长和宽分别是多少？
设场地的宽为x m，则长为（x＋6）m，根据矩形面积为16 m2，得到方程x（x＋6)＝16，整理得到x2+6x－16＝0.

熟悉完全平方式。

实例引入，发现问题。
二、自主交流 探究新知
【探究】怎样解方程x2+6x—16=0？
对比这个方程与前面讨论过的方程x2+6x+9=2，可以发现方程x2+6x+9=2的左边是含有x的完全平方形式,右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x2+6x-16=0不具有上述形式,直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？
解：移项得：x2+6x=16
两边都加上9即，使左边配成x2+bx+b2的形式,得:
x2+6x+9=16+9
左边写成平方形式，得：
(x+3)2=25
开平方,得:
x+3=±5 （降次）
即 x+3=5或x+3= —5
解一次方程，得：
x1=2，x2=-8
【归纳】通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次,把一元二次方程转化为两个一元一次方程．

三、自主应用 巩固新知
【例1】用配方法解下列方程:
⑴x2-8x+1=0 ⑵x2-4x+1=0 ⑶9x2+6x—3=0
【分析】显然这两个方程的左边不是一个完全平方式,因此，要按前面的方法化为完全平方式。
解：⑴x2—8x+1=0 ⑵x2—4x+1=0 ⑶9x2+6x—3=0
移项得： 移项得： 移项得：
x2—8x= -1 x2-4x= —1 9x2+6x=3
配方得： 配方得： 配方得：
x2—8x+16= —1+16 x2—4x+4= —1+4 9x2+6x+1=3+1
即（x-4)2=15 即(x-2）2=3 即(3x+1)2=4
两边开平方得： 两边开平方得： 两边开平方得：
x-4= x—2= 3x+1=±2
∴x1=4， ∴x1=2 ∴x1=，
x2=4 x2=2— x2= -1
【例2】如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
【分析】设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半,△PCQ也是直角三角形．根据已知列出等式．
解:设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．根据题可列方程：
(8—x）（6—x)=××8×6
即：x2—14x+24=0
（x-7）2=25
x-7=±5
∴x1=12,x2=2
x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去．
答:2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
【练习】Р34 1 2(1 2）

在学生解决问题的过程中,适时让学生讨论解决遇到的问题（比如遇到二次项系数不是1的情况该如何处理)，然后分析归纳利用配方法解方程时应该遵循的步骤。

应用提高、拓展创新，培养学生应用意识．
四、自主总结 拓展新知
左边不是含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数,可以直接降次解方程的方程．
五、课堂作业 P42 2 3 （1 2） （《课堂内外》对应练习）
教学理念/教学反思

第5课时 解一元二次方程——配方法(3)
学 习

目 标
1、使学生进一步会用配方法解数字系数的一元二次方程.
2、使学生掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程。
3、渗透转化思想，掌握一些转化的技能.
学习重点
掌握配方法解一元二次方程。
学习难点
把一元二次方程转化为形如(x-a）2=b的过程。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、自主学习 感受新知
【问题1】填上适当的数，使下列各式成立,并总结其中的规律。
⑴x2+ 6x+ =(x+3）2 ⑵x2+8x+ =（x+ )2
⑶x2—12x+ =(x- ）2 ⑷x2-+ =（x— )2
⑸a2+2ab+ =（a+ ）2 ⑹ a2—2ab+ =(a- ）2
【问题2】解下列方程：
⑴x2-4x+7=0 ⑵2x2-8x+1=0

复习相关内容，实行知识储备。

复习基本方法,逐步加深难度。
二、自主交流 探究新知
【探究】利用配方法解下列方程，你能从中得到在配方时具有的规律吗？
⑴3x2－6x + 4 = 0； ⑵2x2+1=3x ⑶（2x—1)(x+3）=5 ．

【归纳】利用配方法解方程时应该遵循的步骤：
（1)把方程化为一般形式ax2+bx+c=0;
（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；
（3）方程两边同时除以二次项系数a；
(4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．

教师书写完整的解题过程，给学生以示范作用。在直接开平方时强调符号，这是易错之处。

主体探究、归纳配方法一般过程．
三、自主应用 巩固新知
【例1】用配方法解下列方程：
⑴x(2x-5）=4x—10 ⑵x2+5x+7=3x+11

【例2】绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米,那么绿地的长应是多少米？
解:设绿地的宽是x米，则长是(x＋10）米，根据题意得:
x（x+10）＝900．
整理得
，
配方得
．
解得
．
由于绿地的边长不可能是负数，因此绿地的宽只能是米，于是绿地的长是米．
【练习】Р34 2

应用提高、拓展创新，培养学生应用意识．
四、自主总结 拓展新知
（1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0；
（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边;
（3）方程两边同时除以二次项系数a;
(4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
(5）此时方程的左边是一个完全平方式,然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．
（6)如果方程右边是非负数，两边直接开平方求解，如果方程右边是负数,则原方程无解。
五、课堂作业 P42 3 (《课堂内外》对应练习）
教学理念/教学反思

第6课时 解一元二次方程——公式法(1)
学 习

目 标
1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练.
2、会用公式法解简单系数的一元二次方程。
学习重点
求根公式的推导和公式法的应用。
学习难点
一元二次方程求根公式法的推导.
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、自主学习 感受新知
【问题】用配方法解方程：
⑴x2+3x+2=0 ⑵2x2—3x+5=0

学生板演，复习旧知
二、自主交流 探究新知
【探究】用配方法解方程:ax2+bx+c=0（a≠0)
【分析】前面具体数字已做了很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去。
解：移项，得:ax2+bx=-c
因为a≠0，所以方程两边同除以a得:
x2+x=—
配方,得：x2+x+（)2=-+（）2
即(x+）2=
∵a≠0 ∴4a2>0 当 b2-4ac≥0时， ≥0
∴x+=± 即x=
∴x1=,x2=
由上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
（1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2—4ac≥0时，将a、b、c代入式子
x=（b2-4ac≥0)
就可求出方程的根．
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根．
【强调】用公式法解一元二次方程时,必须注意两点：⑴将a、b、c的值代入公式时，一定要注意符号不能出错。⑵式子b2-4ac≥0是公式的一部分。

解有些二次项系数是具体数字的方程不必写。

配方时方程两边同加上一次项系数一半的平方.

配方到这一步，两边要进行开平方运算.被开方数必须是非负数.所以,要对进行分析。

通过解方程发现归纳一元二次方程的求根公式．

三、自主应用 巩固新知
【例】用公式法解下列方程．
(1)2x2—x-1=0 （2）x2+1.5=—3x (3） x2-x+ =0 (4)4x2—3x+2=0
【分析】用公式法解一元二次方程，需先确定a、b、c的值、再算出b2—4ac的值、最后代入求根公式求解．
解:

【说明】(1）一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根是由一元二次方程的系数a、b、c确定的；
(2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入x=(b2—4ac≥0）中,可求得方程的两个根；
（3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．
【练习】Р37 1

主体探究、探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解求根公式．
四、自主总结 拓展新知
1、求根公式的推导过程；
2、用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定a、b、c的值、再算出b2—4ac的值、最后代入求根公式求解．
五、课堂作业 P42 5 （《课堂内外》对应练习）
教学理念/教学反思

第7课时 解一元二次方程——公式法（2）
学 习

目 标
使学生能用⊿=b2-4ac的值判定一元二次方程的根的情况。
学习重点
使学生能用的值判定一元二次方程的根的情况。
学习难点
从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的⊿=b2-4ac 的情况与根的情况的关系。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、自主学习 感受新知
【问题】用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？
⑴2x2—3x=0 ⑵3x2—2x+1=0 ⑶4x2+x+1=0

二、自主交流 探究新知
【探究】根据问题填写下表:
方程
b2-4ac的值
b2—4ac的符号
x1、x2的关系
(填相等、不等或不存在）
2x2-3x=0
9
>0
不相等
3x2—2x+1=0
0
=0
相等
4x2+x+1=0
—15
<0
不存在
【猜想】请观察上表，结合b2—4ac的符号，归纳出一元二次方程的根的情况.证明你的猜想。
从前面的具体问题，我们已经知道b2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：
求根公式:x=,当b2—4ac〉0时，根据平方根的意义,等于一个具体数，所以一元一次方程的x1=≠x1=，即有两个不相等的实根．当b2-4ac=0时，根据平方根的意义=0，所以x1=x2=,即有两个相等的实根；当b2-4ac<0时,根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．
【结论】⑴当⊿=b2—4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即x1=，x2=。
⑵当⊿= b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=。
⑶当⊿=b2—4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)没有实数根。
⑴⑵又合称有实数根；反过来也成立.

学生在思考的基础上分组讨论，利用一元二次方程的知识解决上述问题，同时熟悉一元二次方程的两种解法——公式法和配方法，进一步体会一元二次方程的根与b2—4ac的关系．

三、自主应用 巩固新知
【例1】不解方程，判定方程根的情况
⑴16x2+8x=-3 ⑵9x2+6x+1=0 ⑶2x2—9x+8=0 ⑷x2-7x-18=0
【分析】不解方程，判定根的情况，只需用b2—4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可。b2-4ac的值是在一元二次方程一般形式下得出的，所以首先必须将方程化为一般形式。
解:

【例2】已知关于x的方程x2+(2m+1）x+（m—2)2=0，m取什么值时，
⑴方程有两个不相等的实数根?
⑵方程有两个相等的实数根？
⑶方程没有实数根？
解：

【例3】若关于x的一元二次方程（a—2）x2-2ax+a+1=0没有实数解,求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．
【分析】要求ax+3〉0的解集，就是求ax>—3的解集,那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2)x2—2ax+a+1=0没有实数根，即（—2a）2—4(a—2）(a+1）〈0就可求出a的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程(a—2）x2—2ax+a+1=0没有实数根．
∴(—2a)2—4（a-2）(a+1）=4a2-4a2+4a+8<0
∴a<-2
∵ax+3〉0即ax〉-3 ∴x〈—
∴所求不等式的解集为x〈—

四、自主总结 拓展新知
⊿=b2-4ac >0←→一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）有两个不相等的实根；
⊿=b2-4ac =0←→一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；
⊿=b2—4ac <0←→一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根及其应用。
五、课堂作业 P42 4 (《课堂内外》对应练习）
教学理念/教学反思

第8课时 解一元二次方程—因式分解法
学 习

目 标
1、使学生理解用因式分解法解一元二次方程的基本思想,会用因式分解法解某些一元二次方程。
2、使学生会根据目的具体情况，灵活运用适当方法解一元二次议程，从而提高分析问题和解决问题的能力。
学习重点
用因式分解法一元二次方程。
学习难点
理解因式分解法解一元二次方程的基本思想。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、自主学习 感受新知
【问题1】根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛,那么经过xs物体离地的高度(单位：m）为10x—4.9x2。你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到0.01s）？
设物体经过xs落回