3.9--弧长及扇形的面积.ppt

第三章第三章 圆圆第第9 9节节 弧长及扇形的面积弧长及扇形的面积1课堂讲解课堂讲解u弧长公式弧长公式 u扇形面积公式扇形面积公式2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 我们在小学学习了圆的面积和扇形的面积，也学我们在小学学习了圆的面积和扇形的面积，也学习了圆的周长，那么圆上一部分的长，也就是一条弧习了圆的周长，那么圆上一部分的长，也就是一条弧的长怎么去求呢？现在重新学习圆的面积和扇形面积，的长怎么去求呢？现在重新学习圆的面积和扇形面积，比以前是不是有了更深的要求呢？比以前是不是有了更深的要求呢？下面我们就来学习本节内容下面我们就来学习本节内容.1知识点知识点弧长公式弧长公式如如图图，某某传传送送带带的一个的一个转动轮转动轮的半径的半径为为10cm.(1)转动轮转转动轮转一周，一周，传传送送带带上的物品上的物品A 被被传传送多少送多少 厘米？厘米？(2)转动轮转转动轮转1,传传送送带带上的物品上的物品A被被 传传送多少送多少 厘米？厘米？(3)转动轮转转动轮转n，传传送送带带上的物品上的物品A被被传传送多少厘米？送多少厘米？知知1 1导导归纳知知1 1导导（来自教材（来自教材）在半径在半径为为R的的圆圆中，中，n的的圆圆心角所心角所对对的弧的弧长长的的计计算公算公式式为为：l=_.（1 1）半径为）半径为R的圆，周长是多少？的圆，周长是多少？（2 2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？（3 3）1 1圆心角所对的弧长是多少？圆心角所对的弧长是多少？（4 4）n圆心角所对的弧长是圆心角所对的弧长是1 1圆心角所对的弧长的多少倍？圆心角所对的弧长的多少倍？（5 5）n圆心角所对的弧长是多少？圆心角所对的弧长是多少？（1 1）C=2=2R（2 2）360360（3 3）（4 4）n 倍倍（5 5）也可以用也可以用ABl表示表示AB的长的长.知知1 1讲讲no o知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）1弧、弧弧、弧长长、弧的度数、弧的度数间间的关系：的关系：弧相等表示弧弧相等表示弧长长、弧的度数都相等；、弧的度数都相等；度数相等的弧，弧度数相等的弧，弧长长不一定相等；不一定相等；弧弧长长相等的弧，弧的度数不一定相等相等的弧，弧的度数不一定相等2易易错错警示：警示：在弧在弧长长公式公式 l 中，中，n表示表示1的的n 倍，倍，180表示表示1的的180倍，倍，n，180不不带单带单位位知知1 1讲讲（来自教材）（来自教材）制作弯形管道制作弯形管道时时，需要先按中心，需要先按中心线计线计算算“展直展直长长度度”再下料再下料.试计试计算算如如图图所示的管道所示的管道 的展直的展直长长度，度，即即 的的长长（结结果精确到果精确到0.1 mm).例例1解：解：R=40mm，n=110，所以所以 的的长长=76.8(mm).因此，管道的展直因此，管道的展直长长度度约为约为76.8 mm.知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）衡阳衡阳如如图图，O的半径的半径为为6 cm，直，直线线AB是是 O的的切切线线，切点，切点为为点点B，弦，弦BCAO，若，若A30，则则劣劣弧弧BC的的长为长为_例例2导导引：引：由切由切线线性性质质可知可知OBA90.因因为为A30，所以，所以BOA60，因，因为为BCAO，所以，所以CBO60.又因又因为为OBOC，所以，所以OBC为为等等边边三角形，所以三角形，所以BOC60，代入公式，代入公式l 2(cm)2 cm总 结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）求弧求弧长长需要两个条件：需要两个条件：(1)弧所在弧所在圆圆的半径；的半径；(2)弧所弧所对对的的圆圆心角心角 当当题题中没有直接中没有直接给给出出这这两个条件两个条件时时，则则需利用需利用圆圆的相关知的相关知识识：弦、弦心距、：弦、弦心距、圆圆周角、切周角、切线线等求出等求出圆圆的半径或弧所的半径或弧所对对的的圆圆心角心角知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）如如图图，某田径，某田径场场的周的周长长(内圈内圈)为为400 m，其中两个弯，其中两个弯道内圈道内圈(半半圆圆形形)共共长长 200 m,直直线线段共段共长长200 m，而每，而每条跑道条跑道宽约宽约1 m(共共6条跑道条跑道).(1)内圈弯道半径内圈弯道半径为为多少米？多少米？(结结果精确到果精确到0.1 m)(2)一个内圈弯道与一个外圈弯道的一个内圈弯道与一个外圈弯道的长长相差多少米？相差多少米？(结结果精确到果精确到0.1 m)1知知1 1练练（来自教材）（来自教材）解：解：(1)设设内圈弯道的半径内圈弯道的半径为为r m由由题题意知意知 2r100.解得解得r31.8.内圈弯道的半径内圈弯道的半径约为约为31.8 m.(2)设设外圈弯道的半径外圈弯道的半径为为R m 共有共有6条跑道，故外圈弯道的半径条跑道，故外圈弯道的半径R 一个外圈弯道的弧一个外圈弯道的弧长为长为 2RR (1006)(m)一个内圈弯道与一个外圈弯道的一个内圈弯道与一个外圈弯道的长长相差相差约约 1006100618.8(m)【中考中考三明三明】在在半径在在半径为为6的的 O中，中，60圆圆心角所心角所对对的弧的弧长长是是()A B2 C4 D6知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）2 B【2017南宁南宁】如如图图，O是是ABC的外接的外接圆圆，BC2，BAC30，则则BC的的长长等于等于()A.B.C.D.知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）3 A【2017咸宁咸宁】如如图图，O的半径的半径为为3，四，四边边形形ABCD内接于内接于 O，连连接接OB、OD，若，若BODBCD，则则BD的的长为长为()A B.C2 D3知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）4 C【2017烟台烟台】如如图图，在，在 ABCD中，中，B70，BC6，以，以AD为为直径的直径的 O交交CD于点于点E，则则DE的的长为长为()A.B.C.D.知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）5 B2知识点知识点扇形面积公式扇形面积公式知知2 2导导 在一在一块块空空旷旷的草地上有一根柱子，柱子上的草地上有一根柱子，柱子上拴拴着着 一条一条长长3 m的的绳绳子，子，绳绳子的另一端拴着一只狗子的另一端拴着一只狗.（1）这这只狗的最大活只狗的最大活动动区域有多大？区域有多大？（2）如果如果这这只狗只能只狗只能绕绕柱子柱子转过转过n角，角，那么它的最大活那么它的最大活动动区域有多大？区域有多大？知知2 2讲讲1.半径半径为为R的的圆圆,面面积积是多少？是多少？2.圆圆面可以看作是多少度的面可以看作是多少度的圆圆心角所心角所对对的扇形？的扇形？3.1圆圆心角所心角所对对扇形面扇形面积积是多少？是多少？1.S=R22.3603.若若设设 O半径半径为为R，n的的圆圆 心角所心角所对对的扇形面的扇形面积为积为S，则则 ABO思考思考1 1：知知2 2讲讲思考思考2：扇形面扇形面积积的大小与哪些因素有关系？的大小与哪些因素有关系？扇形面扇形面积积的大小与扇形的半径和的大小与扇形的半径和圆圆心角有关心角有关.知知2 2讲讲 比较扇形面积公式与弧长公式，可以用弧长比较扇形面积公式与弧长公式，可以用弧长表示扇形面积：表示扇形面积：其中其中l为扇形的弧长，为扇形的弧长，R为半径为半径.知知2 2讲讲（来自教材）（来自教材）扇形扇形AOB的半径的半径为为12 cm，AOB=120，求，求 的的长长(结结果精确到果精确到 0.1 cm)和扇形和扇形AOB的面的面积积(结结果精果精确到确到0.1 cm2).例例3解：解：的的长长=25.1(cm).S扇形扇形=150.7(cm2).因此，因此，的的长约为长约为25.1 cm，扇形，扇形AOB的面的面积约积约为为150.7 cm2.知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）广广东东如如图图，某数学，某数学兴兴趣小趣小组组将将边长为边长为3的正方形的正方形铁铁丝丝框框ABCD变变形形为为以以A为圆为圆心，心，AB为为半径的扇形半径的扇形(忽略忽略铁铁丝丝的粗的粗细细)，则则所得的扇形所得的扇形DAB的面的面积为积为()A6B7C8D9例例4D知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）导导引引：由正方形的由正方形的边长为边长为3，可得弧，可得弧BD的弧的弧长为长为6，然后利用，然后利用扇形的面扇形的面积积公式：公式：S扇形扇形DAB lR，计计算即可算即可由条件可知：扇形的弧由条件可知：扇形的弧DCB的的长长就是正方形的就是正方形的边边BC与与CD长长的和，的和，为为6，半径，半径为为3，则则S扇形扇形 639.总 结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）扇形的面扇形的面积计积计算有两个公式：算有两个公式：1.当已知扇形的当已知扇形的圆圆心角心角时时，用公式，用公式S扇形扇形 较为简较为简便；便；2.当知道扇形的弧当知道扇形的弧长时长时，用公式，用公式S扇形扇形 lR较为简较为简便便知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）如如图图，在，在 O中，弦中，弦BC垂直于半径垂直于半径OA，垂足，垂足为为点点E，D是是优优弧弧BC上的一点，上的一点，ADB30.(1)求求AOC的度数；的度数；(2)若弦若弦BC6，求，求图图中阴影部分的面中阴影部分的面积积例例5知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）导导引引：(1)根据垂径定理得到相等的弧，再由同根据垂径定理得到相等的弧，再由同圆圆或等或等圆圆中，中，弧、弧、圆圆心角、心角、圆圆周角之周角之间间的关系求得的关系求得AOC的度数；的度数；(2)先求出先求出 O的半径，再求出的半径，再求出圆圆心角心角BOC的度数，的度数，利用面利用面积积差求出阴影部分的面差求出阴影部分的面积积知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）解解：(1)弦弦BC垂直于半径垂直于半径OA，BECE，.又又ADB30，AOCBOA60.(2)BC6，CE BC3.在在RtOCE中，中，OCE30，设设OEx，则则OC2x，CE x3，解得，解得x .OE ，OC2 .，BOC2AOC120，S阴影阴影S扇形扇形OBCSOBC (2 )2 6 43 .总 结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）本例中求弓形面本例中求弓形面积积可可转转化化为为两个两个规则规则的基本的基本图图形形(扇形、扇形、三角形三角形)面面积积的差来解决将所求面的差来解决将所求面积转积转化化为为其他几个其他几个规规则图则图形面形面积积的和或差，是求阴影面的和或差，是求阴影面积积最常用的方法最常用的方法知知2 2练练（来自（来自教材教材）如如图图，水平放置的一个油管的横截面半径，水平放置的一个油管的横截面半径为为12 cm，其中有油的部分油面高其中有油的部分油面高 6cm，求截面上有油部分的，求截面上有油部分的面面积积(结结果精确到果精确到0.1 cm2).1知知2 2练练（来自教材）（来自教材）解：解：如如图图，连连接接OA，OB.设设OCAB于点于点C，交，交圆圆O于点于点D.CD6 cm，ODOA12 cm，OC1266(cm).在在RtAOC中，中，ACAB12 cm，cos COACOA60.AOB120.截面上有油部分的面截面上有油部分的面积为积为S扇形扇形AOBSAOB 88.4(cm2)【2017淄博淄博】如如图图，半，半圆圆的直径的直径BC恰与等腰恰与等腰直角三角形直角三角形ABC的一条直角的一条直角边边完全重合，若完全重合，若BC4，则图则图中阴影部分的面中阴影部分的面积积是是()A2 B22 C4 D24知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）2 A【2017临临沂沂】如如图图，AB是是 O的直径，的直径，BT是是 O的切的切线线，若，若ATB45，AB2，则则阴影部阴影部分的面分的面积积是是()A2B.C1D.知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）3 C【2017兰兰州州】如如图图，正方形，正方形ABCD内接于半径内接于半径为为2的的 O，则图则图中阴影部分的面中阴影部分的面积为积为()A1 B2 C1 D2知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）4 D【2016桂林桂林】如如图图，在，在RtAOB中，中，AOB90，OA3，OB2，将，将RtAOB绕绕点点O顺时针顺时针旋旋转转90后后得得RtFOE，将，将线线段段EF绕绕点点E逆逆时针时针旋旋转转90后得后得线线段段ED，分，分别别以以O，E为圆为圆心，心，OA，ED长为长为半径画弧半径画弧AF和和弧弧DF，连连接接AD，则图则图中阴影部分的面中阴影部分的面积积是是()A B.C3 D8知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）5 D【中考中考聊城聊城】如如图图，点，点O是是圆圆形形纸纸片的片的圆圆心，将心，将这这个个圆圆形形纸纸片按下列片按下列顺顺序折叠，使序折叠，使AB和和AC都都经过圆经过圆心心O，则则阴影部分的面阴影部分的面积积是是 O面面积积的的()A B.C D知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）6 B通通过过本本课时课时的学的学习习，需要我，需要我们们掌握：掌握：1.弧弧长长的的计计算公式算公式l 并运用公式并运用公式进进行行计计算算.2.扇形的面扇形的面积积公式公式S 并运用公式并运用公式进进行行计计算算.3.弧弧长长l及扇形的面及扇形的面积积S之之间间的关系，的关系，1知知识小小结已知已知AB所对的圆周角为所对的圆周角为30，AB所在圆的半径为所在圆的半径为30 cm，求，求AB的长的长AB所所对对的的圆圆周角周角为为30，AB所所对对的的圆圆心角心角为为60，AB的的长长l 10(cm)2易易错小小结 解：解：易易错错点：点：对弧长公式及扇形面积公式中的对弧长公式及扇形面积公式中的n的意义理解不的意义理解不 充分而致错充分而致错.在公式在公式l ，S扇形扇形 中，中，n是是圆圆心角心角的度数，而的度数，而题题干干给给出的是出的是圆圆周角的度数，不能周角的度数，不能直接代入公式直接代入公式计计算，要求出算，要求出圆圆心角的度数后再心角的度数后再代入公式代入公式计计算本算本题题易易错错解解为为AB的的长长 5(cm)易易错总结错总结：请请完成完成典中点典中点 、板板块块 对应习题对应习题！