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第十一讲 列方程解应用题—-设元的技巧

应用题联系生活实际,反映实际生活中的数量关系,列方程解应用题是从具体问题中抽象归纳出所需要的数量关系，根据数量间的关系，依照题意合理选择未知数、找出隐含的等量关系,列方程进行求解．
恰当地设元是列方程解应用题的关键步骤之一，设什么为元，需要根据具体问题的条件来确定．
对未知元的选择，有时可将要求的量设为未知元(即问什么设什么),称此为直接设元；有时需要将要求的量以外的其他量设为未知元(即所设的不是所求的，则更易找出符合题意的数量关系）,称此为间接设元；有些应用题中隐含一些未知的常量，这些量对于求解无直接联系，但如果不指明这些量的存在，则难求其解，因此需把这些未知的常量设为参数，以便建立等量关系,称此为辅助设元．
【例1】 如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为1，那么这个长方形色块图的面积为 ．
(济南市中考题）
思路点拨 要求长方形的面积需求出务正方形的边长，为便于求出长方形长与宽，故不宜直接设元,由于6个正方形边长有一定的依存关系，所以，可以从间接设某个正方形边长入手．

注： 列方程解应用题又一关键是：找寻能够表示应用题全部意义的相等关系，找寻相等关系的基本方法有：
(1）运用基本公式找寻相等关系； （2）从关键词中找寻基本关系；（3）运用不变量找寻相等关系；（4）对一种“量”，从不同的角度进行表述（即计算两次)，得到相等关系．
【例2】一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，从乙港返回甲港需航行（ )．
A．0.5小时 B．1小时 C． 1.,2小时 D．1.5小时
（2001年武汉市选拔赛试题）
思路点拨 要求从乙港返回甲港所需的时间，需求甲、乙两港的距离及顺水速度，考虑增设辅助未知数．

【例3】某音乐厅月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的，若提前购票，则给予不同程度的优惠，在五月份内，团体票每张12元,共售出团体票数的；零售票每张16元，共售出零售票数的—半,如果在六月份内，团体票按每张16元出售,并计划在六月份内售出全部余票,那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平?
(北京市东城区中考题)

思路点拨 票款与票数、票价有关，既要用字母表示六月份零售价，又要用字母表示总票数．

【例4】 某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6。4％,使得利润增加了8个百分点,求经销这种商品原来的利润率．
（全国初中联赛试题)
思路点拨 因售出价=进货价×（1+利润率），故还需设出进货价，利用售出价不变，辅助建立方程．

【例5】 有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等),如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草．设每头牛每天吃草的量是相等的,问：
(1) 如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草?
(2) 要使牧草永远吃不完,至多放牧几头牛？
（全国通讯赛试题）
思路点拨 需要考虑草每天的增长量、每头牛每天的吃草量及牧场原有的草量之间的关系，故需增设一些辅助未知数，便于把这些关系表示出来．

注： 应用数学知识和方法解决实际问题是学习数学的重要目的之一．而列方程解应用题对初一同学来说是一个困难所在,学习列方程解应用题应注重两个方面：(1）促使综合型思维向分析型思维的转轨．从各个侧面分析列方程的来龙去脉,突破小学形成的固有的综合思维模式（从已知出发列综合算式求未知数，形成分析思维模式． （2）善于把应用题中的生活语言转换成数学语言．应留心生活，多看报刊杂志电视,注意生活常识的积累．有些应用题，它所涉及到的量比较多，量与量之间的关系也不明显，需增设一些表知敷辅助建立方程，辅助表知数的引入，在已知条件与所求结论之间架起了一座“桥梁”,对这种辅助未知量，并不能或不需求出，可以在解题中相消或相约，这就是我们常说的“设而不求"．

学力训练
1．一个6位数的3倍等于，则这个6位数等于 ．
2．有人问一位老师：他教的班有多少学生，老师说:“一半学生在学数学,四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在念外语，还剩不足六位学生正在操场踢足球．”则这个“特长班”共有学生 人．
3．一轮船从甲地到乙地顺流行驶需4小时,从乙地到甲地逆流行驶需6小时，有一木筏由甲地漂流至乙地,需 小时．
（ “希望杯"邀请赛试题)
4．某种产品是由A种原料x千克、B种原料y千克混合而成,其中A种原料每千克50元，B种原料每千克40元，后来调价，A种原料价格上涨l0%，B种原料价格减少15％，经核算产品价格可保持不变,则的值是（ ）．
A． B． C． D．
5．从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等,则切下的一块重量是（ ）．
A．5千克 B．6千克 C．7千克 D．8千克
6．某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0。8元收费；如果超过60立方米,超过部分按每立方米1。2元收费，已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么,4月份这位用户应交煤气费( )．
A．60元 B．66元 C．75元 D．78元 （全国初中数学联赛试题)
7．某企业生产一种产品,每件成本价是400元，销售价为510元,本季度销售了m件．为进一步扩大市场，该企业决定在降低销售价的同时降低生产成本，经过市场调研，预测下季度这种产品每件销售价降低4％，销售量将提高lo％，要使销售利润(销售利润＝销售价一成本价）保持不变，该产品每件的成本价应降低多少元?
（陕西省中考题）
8．如图,几块大小不等的正方形纸片A、B、……,I，无重叠地铺满了一块长方形．已知正方形纸片E的边长为7，求其余务正方形的边长．
9．某人购买钢笔和圆珠笔各若干支,钢笔的价格是圆珠笔价格的2倍，付款时，发现所买两种笔的数量颠倒了,因此，比计划支出增加了50%,则此人原计划购买钢笔与圆珠笔数量的比为 ．
10．电影胶片绕在盘上，空盘的盘心直径为60毫米．现有厚度为0。15毫米的胶片，它紧绕在盘上共有600圈,那么这盘胶片的总长度约为 米(π≈3.14）．
（江苏省竞赛题）
11．为使某项工程提前20天完成任务，需将原定工作效率提高25％，则原计划完成这项工程需要 天．
12．完成某项工程，甲、乙合做要2天，乙、丙合做要4天，丙、甲合做要2。4天,则甲单独完成此项工程需要的天数是( )．
A．2.8 B．3 C．6 D． 12
13．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 立方米的，按每立方米m元水费收费；用水超过10立方米的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m，则该职工这个月实际用水为( ）立方米．
A．13 B．14 C．18 D．26
(广西省中考题)
14．某种商品若按标价的八折出售，可获利20％，若按原标价出售，可获利（ )．
A．25％ B．40％ C．50％ D．66.7％
15．某水库共有6个相同的泄洪闸,在无上游洪水注入的情况下，打开一个水闸泄洪使水库水位以a米／时匀速下降．某汛期上游的洪水在未开泄洪闸的情况下使水库水位以b米／时匀速上升，当水库水位超警戒线^米时开始泄洪．
（1）如果打开n个水闸泄洪x小时，写出表示此时相对于警戒线的水面高度的代数式;
(2）经考察测算,如果只打开一个泄洪闸，则需30个小时水位才能降至警戒线；如果同时打开两个泄洪闸，则需10个小时水位才能降至警戒线．问该水库能否在3个小时内使水位降至警戒线?
（连云港市中考题)
16．一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用．已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变,且甲、乙两车单独运这批货物分别用2a次、a次船运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时,甲车共运了180吨,若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270吨．问：
(1)乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍?
(2)现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时,货主应付车主运费各多少元？(按每运1吨运费20元计算)
(天津市中考题）
17．某同学想用5个边长不等的正方形，拼成如图所示的正方形，请问该同学的想法能实现吗?如果能实现，试求这5个正方形的边长；如果不能,请说明理由．
( “希望杯”邀请赛试题)
18．山脚下有一池塘，山泉以固定的流量(即单位时间里流人池中的水量相同)不停地向池塘内流淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完，若用两台A型抽水机则20分钟正好把池塘中的水抽完，问若用三台A型抽水机同时抽，则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完？ (江苏省竞赛题)

参考答案