八年级数学第二十二章一元二次方程.doc

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第二十二章　一元二次方程

　　一、知识结构

　　二、学习一元二次方程这章内容作用．
　　一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中代数中占有重要的地位，在学习一元二次方程及有关的知识之前,我们已经掌握了实数与代数式的运算、一元一次方程、分式方程和一次方程组，掌握了这些内容，为学习一元二次方程奠定了基础，而且通过一元二次方程的学习,又对以前学过的数学知识加以巩固，同时一元二次方程也为今后学习指数方程、对数方程、函数等等打下基础，掌握了一元二次方程之后，对学习其它学科知识也有重要的意义．

　　三、知识要点:
　　1．关于一元二次方程：
　　①元的个数是一个，方程是整式方程；
　　②含有未知数的最高次项的次数是二次;
　　③若方程有实数根,则解的个数一定是两个．

　　2．关于配方法解一元二次方程:
　　①首先将二次项系数变为1；
　　②方程两边各加上一次项系数一半的平方,这是配方法的关键的一步，方程左边配成完全平方式，当右边是非负实数时，用开平方法即可求得方程的解．

　　3．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式:
　　x=(b2—4ac0)

　　4．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)根的判别式：Δ=b2－4ac，其作用如下：
　　(1)=b2-4ac〉0方程有两个不相等的实数根
　　（2)=b2-4ac=0方程有两个相等的实数根
　　(3)=b2—4ac<0方程没有实数根　

　　5．列方程解应用题：（列举几种类型仅供参考）
　　①有关数字问题；　　　　 　　②有关增长率问题；
　　③有关几何图形面积问题；　　 ④有关溶液、浓度、求容器体积问题；
　　⑤有关行程问题、工作量问题．

　　四、实践与探索：
　　设x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根,x1+x2=-，x1 x2=，其作用如下:
　　①能运用它由已知方程的一个根，求出另一个根及未知数的系数；
　　②可以利用它求出两根的平方和、立方和、两根倒数和的平方等等；
　　③利用x1+x2和x1·x2的关系可以解特殊的二元二次方程组；
　　④利用根与系数关系判定两根的符号及方程各项系数的符号；
　　⑤利用根与系数的关系,可以造出新的一元二次方程　　 文档为个人收集整理，来源于网络
ax2+bx+c=a(x－x1）(x－x2)
　　五、本章主要数学思想、方法．
　　在数学中，使一种研究对象在一定条件下转化为另一种研究对象的思想称为转化的思想,有未知向已知的转化,复杂问题向简单问题的转化,实际问题向数学问题的转化，数与形的转化，一般与特殊的转化，不同的数学问题之间的转化等等．解决一些数学问题实质就是一个不断转化的过程．这样一些数学思想与数学方法与解题技巧在本章教学中有较多的体现．为了实现这些转化引入了许多数学方法．如本章中的降次法、换元法、配方法等．这里特别要指出的是，怎样转换？转换的结果如何？从而概括总结出一般规律，在学习这些重要方法时可以充分领略数学思想的风采，突出数学思想，提高数学素质，提高数学能力。

　　1．换元法:换元的思想方法是一种科学的思想方法，对于培养我们从整体着眼、兼顾全局的思维方式、丰富联想、由此及彼的思考习惯等这些良好的思维品质的形成都是十分重要和有意义的．

　　2．配方法:配方法是中学数学中一种重要的数学方法.

　　六、例题及分析：
　　例1、判断下列方程哪些是一元二次方程：
　　（1）3x2+4x—2=0;（2)x2—2x+3=6x-1；(3)7—x3=x+x2 ；（4)x2—2xy-4=0；（5）3x2=5—;(6）2-x2+y2=x+m
　　（7）6x2+3x=-3x（3-2x）；（8)3（x+1)+3=3x（2x+5)

　　注：解答这个例题时,要紧紧抓住一元二次方程的定义进行思考，（整理成一般形式后）一元二次方程定义包含了三个内容：
　　①方程中只含有一个未知数；
　　②这个未知数的最高次数为2;
　　③方程是所含未知数的整式方程．

　　以上三个条件同时具备的方程一定是一元二次方程，其余均不是一元二次方程,因为方程(3）未知数的次数是3；方程(4）、（6）中都含有两个或两个以上的未知数；方程（7）化简成标准式后，方程不含二次项，（5）不是整式方程．

　　解：这一组八个题中只有方程（1)，（2),（8)是一元二次方程．

　　例2、关于x的方程(m+3）x2—mx+1=0是不是一元二次方程？

　　解：当m+3≠0，即m≠-3时，（m+3)x2-mx+1=0是关于x的一元二次方程．
　　当m=-3时，原方程变为3x+1=0,是一元一次方程．

　　注：“关于x的二次方程（m+3）x2—mx+1=0与关于x的方程（m+3)x2-mx+1=0”是不同的,应特别引起注意．前者根据一元二次方程定义，可以肯定二次项系数m+3≠0，即m≠—3，而后者必须分m+3=0与m+3≠0二种情况加以讨论．

　　例3、(1)用开平方法解方程（3x-1）2=9　　　
　　解：（3x-1）2=9　　3x—1=3
　　x1=，x2=—

　　(2)用配方法解方程3x2－1=6x　　　　
　　解:3x2—6x—1=0　　　　　　3(x2—2x）=1
　　3(x2—2x＋1）—3=1　　　　 3（x2-2x+1)=4
　　3（x—1)2=4　　　　　　 　（x-1）2=
　　x1=1+， x2=1-

　　(3)用公式法解方程2x2+5x－3=0
　　解：2x2+5x-3=0
　　a＝2，b＝5,c＝—3
　　x===
　　x1=,　x2=—3

　　（4)用因式分解法解方程x2＋7x＋12=0
　　解：x2+7x+12=0
　　(x＋3）（x＋4）=0，
　　x1=—3，x2=-4

　　例4、解关于x的方程
　　x2＋mx＋2=mx2＋3x（m≠1)

　　解:x2－mx2＋mx-3x＋2=0
　　（1－m）x2＋（m-3）x＋2=0
　　∵m≠1,∴1—m≠0,∴原方程为一元二次方程
　　∵b2-4ac＝(m-3）2—4（1-m)·2＝（m＋1）2≥0
　　x==
　　x1=， x2=1

　　例5、已知a、b、c是三角形的三边，求证：方程b2x2＋(b2＋c2－a2）x＋c2＝0没有实数根．

　　注:因为a、b、c是三角形的三边，a、b、c均为正值，x2项的系数b2≠0,所以原方程为一元二次方程．欲证方程无实根，只须证△＜0，在证明的过程中还要注意应用三角形中三边间的关系为论证的依据．

　　证明：∵a、b、c为三角形的三条边长
　　∴a＞0，b＞0，c＞0
　　∴b2≠0
　　∴方程为一元二次方程
　　△＝（b2＋c2－a2)2－4b2c2
　　＝（b2＋c2－a2－2bc）(b2＋c2－a2＋2bc)
　　＝［（b－c)2－a2］［（b＋c）2－a2]
　　＝（b－c－a）(b－c＋a)(b＋c－a）（b＋c＋a)
　　∵a、b、c为三角形的三边
　　∴b－c＋a＞0,b＋c－a＞0,b＋c＋a＞0而b－c－a＜0
　　∴△＜0
　　∴方程b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0没有实数根．

　　例6、求证方程(m－1）x2＋3mx＋m＋1＝0 （m≠1）,必有两个不相等的实数根．

　　分析:欲证明此方程必有两个不相等的实数根,只需证明不论m取任何实数，都有△＞0即可．

　　证明：∵m≠1
　　∴m－1≠0
　　∴此方程是关于x的一元二次方程
　　△＝（3m)2－4（m－1）（m＋1)
　　＝9m2－4m2＋4
　　＝5m2＋4
　　∵不论m取任何不为1的实数都有5m2≥0
　　∴5m2＋4＞0
　　即△＝5m2＋4＞0
　　∴方程必有两个不相等的实数根

　　例7、解关于x的方程3x（a2x—a3n+1)+an（ax-a3n）=0（a＞0且a≠1）．

　　解：由原方程得:3a2x2+（an+1-3a3n+1)x-a4n=0．利用十字相乘因式分解得 文档为个人收集整理，来源于网络
（3ax+an）（ax-a3n）=0（a＞0且a≠1）．
　　所以原方程的解为x1= —x2=a3n-1

　　注：首先要把原方程化成标准形式．再根据题目具体情况采用一元二次方程求根的四种基本方法:①直接开平方法；②因式分解法；③配方法;④公式法中的某一种方法求解,而用因式分解法求解是最常用的方法，比其他方法计算量小．

　　例8、如果关于x的方程mx2—2（m+2）x+m+5=0没有实数根，那么关于x的方程（m-5）x2—2（m+2）x+m=0的实根有几个？

　　解：当m=0时，原方程变为-4x+5=0有实根．当m≠0时，依题意要求Δ=［-2(m+2）]2—4m(m+5）=4(m2+4m+4—m2—5m）=4(4—m)＜0，即mx2-2（m+2)x+m+5=0无实根,故要求m＞4．
　　当m=5时,方程(m—5)x2-2（m+2）x+m=0变为：
-2(5+2）x+5=0．
　　该方程有一个实数根 x=
　　当m＞4且m≠5时，
　　Δ′=［—2（m+2)]2-4(m-5）m
　　＝4（m2+4m+4-m2+5m)
　　=4(9m+4）＞0．
　　此时该二次方程有两个不相等的实数根．

　　注:关于x的方程(m—5）x2-2（m+2）x+m=0并不一定是一元二次方程，要分m=5和m≠5两种情况来讨论,不可混为一谈．

　　例9、解某一元二次方程，甲抄错一次项,得根为—2和-3，乙抄错常数项,得根为6和-1，那么正确的方程应是____．

　　解：设正确的方程为x2+px＋q=0．根据题意知：
（—2）×(—3）=q且6＋（—1）=—p．
　　所以正确的方程应是x2—5x+6=0．

　　注：解题思路要灵活，要理解题意的本质,甲抄错一次项，那么常数项没抄错，韦达定理仍然成立,对于乙来讲，也同样如此．

　　例10、解方程x2-2｜x|-1=0．

　　解:原方程化为 |x｜2—2|x|-1=0，
　　所以 =1+，或=1-
　　因为0， 所以=1—应舍去
　　由=1+，得x1=1+,x2=-1-

　　例11、一个两位数,十位数与个位数字之和是5，把这个数的个位数与十位数字对调后,所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数．

　　分析:数与数字之间的关系是:
　　两位数＝(十位数字×10）+个位数字
　　解题的关键是正确地写出原来的两位数和对调后的两位数．

　　解：设原两位数的十位数字为x,则个位数字为5—x
　　根据题意,得[10x+（5-x)］［10(5-x)+x]＝736．
　　整理后，得x2-5x+6＝0．
　　解这个方程，得x1＝2，x2＝3．
　　当x＝2时,5—x＝3，两位数为23；
　　当x＝3时,5-x＝2，两位数为32．

　　答：原来的两位数是23或32．

　　例12、一个长方形,它的长比宽的2倍还多1厘米，它的宽与另一正方形的边长相同，且这个长方形的面积比正方形的面积多72平方厘米,求此长方形与正方形的面积各是多少？

　　解：设长方形的宽为x厘米,则长为（2x+1）厘米．
　　根据题意，得（2x+1）x-x2＝72．
　　整理后，得x2+x-72＝0．
　　解这个方程，得x1＝8，x2＝—9．
　　因为长方形的宽不能是负数，所以x＝-9不符合题意舍去．
　　当x＝8时，2x+1＝17．
　　所以（2x+1）x＝17×8＝136，x2＝64．

　　答：长方形面积是136平方厘米，正方形面积是64平方厘米．

　　例13、已知三个连续奇数的平方和为371，求这三个奇数．

　　分析：对于数字计算问题，首先要知道奇数特点，就是每相邻两个奇数相差2，因此设中间一个奇数为x,则另外两上奇数就是x-2和x+2．

　　解：设三个连续奇数中间的一个为x，则另外两个分别为x—2和x+2
　　根据题意，得（x—2）2+x2+(x+2)2＝371
　　化简整理方程，得x2—121＝0
　　∴x1=-11，x2＝11
　　当x＝—11时，x—2＝-13,x+2＝-9
　　当x＝11时，x-2＝9,x+2＝13
　　∴三个连续奇数分别是-13，-11，-9，或9，11，13．

　　例14、有一个直角三角形三边的长为三个连续整数，求三边的长．

　　分析：解答此题，须明确连续整数的意义,即相邻两个整数的差是1，另外直角三角形三边的关系满足勾股定理．

　　解：设较小的整数为x，则其余两个数分别是x+1和x+2．
　　根据题意，得x2+(x+1)2＝(x+2)2
　　化简方程，得x2-2x-3＝0
　　解这个方程,得x1＝—1(不合题意，舍去） x2＝3
　　∵x＝3
　　∴x+1＝4，x+2＝5
　　∴三个连续整数为3，4，5

　　答：直角三角形边长分别是3，4，5．

　　注:此题也可设最大整数为x,则其余两个整数分别为x-2和x-1；或者设中间的一个整数为x,则其余两个整数分别为x-1和x+1 ．

　　七、练习及答案

　　一、选择题
　　1．方程x2=x的解[　 ］
　　A．0　　 B．1　　 C．0或1　　 D．0或—1

　　2．关于x的一元二次方程（m－1）x2＋x＋（m2＋2m－3)=0有一个根是零，则m的值为[　 ]
　　A．1　　 B．—3　　 C．1或-3　　 D．-1或3

　　3．如果一元二次方程x2＋mx＋n=0的两个根是0和—2，则m＋n等于[　 ]
　　A．2　　 B．4　　 C．—2　　 D．—4

　　4．如果方程2x2—x—3m=0与2x2＋3x＋m＝0有一个根相同，则m一定等于[　 ］
　　A．0　　 B．1　　 C．2　　 D．0或1

　　5．若c是实数，且x2-3x+c=0的一个根的相反数是x2＋3x－c＝0的一个根，则x2－3x＋c=0的解是[　 ]
　　A．1，2　　 B．-1，—2　　 C．0，3　　 D．0，-3

　　二、填空题
　　1．方程x（x—4）＝4的根是______．

　　2．方程（3x－1）2=（2x－3）2的根是______．

　　3．关于t的方程t2－7mt－18m2=0的根是____．

　　4．关于y的方程y(y＋b－1）=b的根是______．

　　5．方程9（x+2）2=16的根是______．

　　6．方程（m2－3）x2－（m＋1）x＋1=0，当m______时是一元二次方程，其判别式△=_______，当m=_______时是一元一次方程．

　　7．已知方程(2a－b)x2＋（2b－c）x＋2c－a＝0有一个根是1，则a＋b+c=_______．

　　8．若二次方程k（x－1）2＋x=2无实数根，则k的最大整数值是______．

　　三、解答题
　　1．用配方法解方程2x2＋7x－4=0

　　2．用适当的方法解下列方程
　　（1)4(x＋3）2=25（x－2)2 ；（2）（x-2）(x—3)=1；（3）3x2—7x—6=0

　　3．解方程:（2x+1）2＋3（2x+1）＋2＝0

　　4．解关于x的方程（a－b）x2＋（b－c)x＋（c－a)=0（a≠b）

　　5．不解方程，判别下列方程根的情况：
　　（1）x2＋5x—1=0;（2）9x2－6x＋1=0;（3）2x2＋1=—x

　　6．已知两数和为7,积为-6，求两数．

　　四、思考题：
　　a为何值时，方程8x2＋（a＋1）x＋（a－8）＝0
　　(1）两根异号　（2）两根均为负根 　　(3）有一根为1
　　（4）有一根为0 （5)两根互为相反数　 (6)两根互为倒数　

　　答案：
　　一、
　　1。C （x2-x=0 得 x=0 或 x=1）　　

　　2。B （首先方程为一元二次方程，所以m—10,得 m1，又将0带入得到m2+2m-3=0,得到m=—3 或 m=1（舍）)

　　3.A

　　4。D （法一，首先方程有实根，所以两方程的判别式均应大于或等于零，解得－m,可设此根为x0，则将其带入两方程相2x02—x0-3m=2x02+3x0+m，解得x0=-m,再将x0=—m带入,得到m=0 或 m=1，最后需要检验，都符合。
　　法二,本题为选择题,可采用特殊方法带入法，即将所选答案带入，哪个答案符合即可,但仍需注意m的范围）

　　5。C (方法同上,可设一根为x0，则其相反数为-x0，带入求解）

　　二、
　　1．X=2 　　2.x1=-2, x2= 　　3．9m，－2m

　　4．1，－b （可采用公式法,也可采用直接因式分解） 　　5．X1=-，x2=—

　　6.m，13+2m—3m2， m= 　　7。0

　　8．－1 （首先将方程整理为有关x的二次方程的标准形式为kx2+（1—2k)x+k-2=0， 又因为二次方程无实数根，所以判别式小于零，解得k的范围,最后注意本题是求k的最大整数）

　　三、
　　1．X1=0。5， x2=—4　　 2.(1)，； （2)； （3）3，-

　　3. X1=-1,x2=— 　　4。 X1=1，x2= （因为ab，所以方程为一元二次方程，可采用直接因式分解或求根公式）

　　5．(1）两个不等实根 （2）两个相等的实根 （3）无实根 　　6。

　　四、思考题 ：
　　首先＝（a+1)2—4·8(a-8）=a2-30a+257=（a—15）2+32＞0，所以方程有两个相异实根。所以
　　(1) a〈8　 （两根异号即两根之积小于零，解不等式）,　　
　　（2） a>8，　（两根均为负根需要两根之和小于零且两根之积大于零）
　　（3) a=-0.5（将1代入，求解）
　　(4) a=8
　　（5） a=－1 （两根之和为零)
　　(6） a=16　（两根之积为1）本文为互联网收集，请勿用作商业用途