2022年山西大附中九年级数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，将一个大平行四边形在一角剪去一个小平行四边形，如果用直尺画一条直线将其剩余部分分割成面积相等的两部分，这样的不同的直线一共可以画出（ ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
2．在同一平面直角坐标系中，函数y=x﹣1与函数的图象可能是
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠ACB的平分线CE交于点O，下列说法正确的是（ ）

A．点O是△ABC的内切圆的圆心
B．CE⊥AB
C．△ABC的内切圆经过D，E两点
D．AO＝CO
4．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为（   ）

A．35° B．45° C．55° D．65°
5．下列函数的图象，不经过原点的是（　　）
A． B．y＝2x2 C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．
6．某个几何体的三视图如图所示，该几何体是( )

A． B． C． D．
7．如图,在△ABC中,∠A=45°,∠C=90°,点D在线段AC上,∠BDC=60°,AD=1,则BD等于( )

A． B．+1 C．-1 D．
8．关于x的一元二次方程ax2﹣4x+1＝0有实数根，则整数a的最大值是（　　）
A．1 B．﹣4 C．3 D．4
9．若|a+3|+|b﹣2|=0，则ab的值为（　　）
A．﹣6 B．﹣9 C．9 D．6
10．抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（　　）
A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
11．已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ）

A． B． C． D．
12．在平面直角坐标系中，点A(0,2)、B(a,a+2)、C(b,0)（a>0,b>0），若AB=且∠ACB最大时，b的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是__________．
14．如图，在中，，，，点是上的任意一点，作于点，于点，连结，则的最小值为________．

15．已知关于的方程的一个根为6，则实数的值为__________．
16．如图，半圆O的直径AB=18，C为半圆O上一动点，∠CAB=а，点G为△ABC的重心．则GO的长为__________．

17．如图，⊙O的半径为2，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，对角线CE、DF相交于点M，则△MEF的面积是_____．

18．从﹣2，﹣1，1，2四个数中，随机抽取两个数相乘，积为大于﹣4小于2的概率是_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，直线l经过点A（不经过点B或点C），点C关于直线l的对称点为点D，连接BD，CD．

（1）如图1，
①求证：点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上；
②直接写出∠BDC的度数（用含α的式子表示）为 ；
（2）如图2，当α=60°时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AE=BD；
（3）如图3，当α=90°时，记直线l与CD的交点为F，连接BF．将直线l绕点A旋转的过程中，在什么情况下线段BF的长取得最大值？若AC=2a，试写出此时BF的值．
20．（8分）解分式方程：
（1）．
（2）．
21．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是线段AB上一点（0＜AD＜AB）．过点B作BE⊥CD，垂足为E．将线段CE绕点C逆时针旋转90°，得到线段CF，连接AF，EF．设∠BCE的度数为α．

（1）①依题意补全图形．
②若α＝60°，则∠CAF＝_____°；＝_____；
（2）用含α的式子表示EF与AB之间的数量关系，并证明．
22．（10分）（1）解方程．
（2）计算：．
23．（10分）如图，平面直角坐标系xOy中点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（3，3），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E．
（1）求点E的坐标；
（2）求抛物线的函数解析式；
（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连接ON、BN，当四边形ABNO的面积最大时，求点N的坐标并求出四边形ABNO面积的最大值．

24．（10分）阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：
莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则.
如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．
下面是该定理的证明过程（部分）：
延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.
∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)，
∴△MDI∽△ANI，
∴，
∴①，
如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF，
∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°，
∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，
∴∠DBE=∠IFA，
∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)，
∴△AIF∽△EDB，
∴，∴②，
任务：(1)观察发现：， (用含R，d的代数式表示)；
(2)请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；
(3)请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；
(4)应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为 cm.

25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（，3），B（，2），C（0，）．

（1）以y轴为对称轴，把△ABC沿y轴翻折，画出翻折后的△；
（2）在（1）的基础上，
①以点C为旋转中心，把△顺时针旋转90°，画出旋转后的△；
②点的坐标为 ，在旋转过程中点经过的路径的长度为_____（结果保留π）．
26．己知:如图，抛物线与坐标轴分别交于点， 点是线段上方抛物线上的一个动点，
(1)求抛物线解析式:
(2)当点运动到什么位置时，的面积最大?

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】利用平行四边形的性质分割平行四边形即可．
【详解】解：如图所示，这样的不同的直线一共可以画出三条，

故答案为：1．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的中心对称性．
2、C
【解析】试题分析：一次函数的图象有四种情况：
①当，时，函数的图象经过第一、二、三象限；
②当，时，函数的图象经过第一、三、四象限；
③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；
④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．
因此，∵函数y=x﹣1的，，∴它的图象经过第一、三、四象限．
根据反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．
∵反比例函数的系数，∴图象两个分支分别位于第一、三象限．
综上所述，符合上述条件的选项是C．故选C．
3、A
【分析】由∠BAC的平分线AD与∠ACB的平分线CE交于点O，得出点O是△ABC的内心即可．
【详解】解：∵△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠ACB的平分线CE交于点O，
∴点O是△ABC的内切圆的圆心；
故选：A．
【点睛】
本题主要考察三角形的内切圆与内心，解题关键是熟练掌握三角形的内切圆性质.
4、C
【解析】分析：由同弧所对的圆周角相等可知∠B=∠ADC=35°；而由圆周角的推论不难得知∠ACB=90°，则由∠CAB=90°-∠B即可求得.
详解：∵∠ADC=35°，∠ADC与∠B所对的弧相同，
∴∠B=∠ADC=35°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠B=55°，
故选C．
点睛：本题考查了同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角等知识.
5、D
【分析】根据函数图象上的点的坐标特征可以知道，经过原点的函数图象，点（0，0）一定在函数的解析式上；反之，点（0，0）一定不在函数的解析式上．
【详解】解：A、当x＝0时，y＝0，即该函数图象一定经过原点（0，0）．故本选项错误；
B、当x＝0时，y＝0，即该函数图象一定经过原点（0，0）．故本选项错误；
C、当x＝0时，y＝0，即该函数图象一定经过原点（0，0）．故本选项错误；
D、当x＝0时，原方程无解，即该函数图象一定不经过原点（0，0）．故本选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了函数的图象,熟悉正比例函数,二次函数和反比例函数图象的特点是解题关键.
6、D
【解析】根据几何体的三视图判断即可．
【详解】由三视图可知：该几何体为圆锥．
故选D．
【点睛】
考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是具有较强的空间想象能力，难度不大．
7、B
【分析】设BC=x，根据锐角三角函数分别用x表示出AC和CD，然后利用AC－CD=AD列方程即可求出BC，再根据锐角三角函数即可求出BD.
【详解】解：设BC=x
∵在△ABC中,∠A=45°,∠C=90°,
∴AC=BC=x
在Rt△BCD中，CD=
∵AC－CD=AD，AD=1
∴
解得：
即BC=
在Rt△BCD中，BD=
故选：B.
【点睛】
此题考查的是解直角三角形的应用，掌握用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.
8、D
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【详解】由题意可知：△＝16﹣4a≥0且a≠0，
∴a≤4且a≠0，
所以a的最大值为4，
故选：D．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法.
9、C
【解析】根据非负数的性质可得a+3=1，b﹣2=1，解得a=﹣3，b=2，所以ab=（﹣3）2=9，故选C．
点睛：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为1时，这几个非负数都为1．
10、D
【解析】分析：抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．
详解：抛物线y=x2顶点为（0，0），抛物线y=（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x﹣2）2﹣1的图象．
故选D．
点睛：本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．
11、B
【解析】根据左视图的定义: 由物体左边向右做正投影得到的视图(不可见的用虚线),判断即可.
【详解】解:根据左视图的定义可知: 该几何体的左视图为:
故选:B.
【点睛】
此题考查的是判断一个几何体的左视图,掌握左视图的定义: 由物体左边向右做正投影得到的视图(不可见的用虚线),是解决此题的关键.
12、B
【分析】根据圆周角大于对应的圆外角可得当的外接圆与轴相切时，有最大值，此时圆心F的横坐标与C点的横坐标相同，并且在经过AB中点且与直线AB垂直的直线上，根据FB=FC列出关于b的方程求解即可.
【详解】解：∵AB=，A(0,2)、B(a,a+2)
∴，
解得a=4或a=-4（因为a>0，舍去）
∴B(4,6)，
设直线AB的解析式为y=kx+2，
将B(4,6)代入可得k=1，所以y=x+2，
利用圆周角大于对应的圆外角得当的外接圆与轴相切时，有最大值.
如下图，G为AB中点，，

设过点G且垂直于AB的直线，
将代入可得，所以.
设圆心，由，可知，解得（已舍去负值）.
故选：B.
【点睛】
本题考查圆的综合题，一次函数的应用和已知两点坐标，用勾股定理求两点距离.能结合圆的切线和圆周角定理构建图形找到C点的位置是解决此题的关键.

二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】根据根判别式可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【详解】由于关于一元二次方程没有实数根，
∵，，，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程为常数)的根的判别式．当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根．
14、
【分析】连接，根据矩形的性质可知：，当最小时，则最小，根据垂线段最短可知当时，则最小，再根据三角形的面积为定值即可求出的长．
【详解】中，，，，
，
连接，
于点，于点，
四边形是矩形，
，
当最小时，则最小，根据垂线段最短可知当时，则最小，
．

故答案为：．
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用、矩形的判定和性质以及直角三角形的面积的不同求法，题目难度不大，设计很新颖，解题的关键是求的最小值转化为其相等线段的最小值．
15、1
【分析】将一元二次方程的根代入即可求出k的值．
【详解】解：∵关于的方程的一个根为6
∴
解得：k=1
故答案为：1．
【点睛】
此题考查的是已知一元二次方程的根，求方程中的参数，掌握方程的解的定义是解决此题的关键．
16、3
【分析】根据三角形重心的概念直接求解即可.
【详解】如图，连接OC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90，
∵点O是直径AB的中点，重心G在半径OC，
∴.
故答案为：3.

【点睛】
本题考查了三角形重心的概念及性质、直径所对圆周角为直角、斜边上的中线等于斜边的一半，熟记并灵活运用三角形重心的性质是解题的关键.
17、2﹣
【分析】设OE交DF于N，由正八边形的性质得出DE＝FE，∠EOF＝＝45°，，由垂径定理得出∠OEF＝∠OFE＝∠OED，OE⊥DF，得出△ONF是等腰直角三角形，因此ON＝FN＝OF＝，∠OFM＝45°，得出EN＝OE﹣OM＝2﹣，证出△EMN是等腰直角三角形，得出MN＝EN，得出MF＝OE＝2，由三角形面积公式即可得出结果．
【详解】解：设OE交DF于N，如图所示：
∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，
∴DE＝FE，∠EOF＝＝45°，，
∴∠OEF＝∠OFE＝∠OED，OE⊥DF，
∴△ONF是等腰直角三角形，
∴ON＝FN＝OF＝，∠OFM＝45°，
∴EN＝OE﹣OM＝2﹣，∠OEF＝∠OFE＝∠OED＝67.5°，
∴∠CED＝∠DFE＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠MEN＝45°，
∴△EMN是等腰直角三角形，
∴MN＝EN，
∴MF＝MN+FN＝ON+EN＝OE＝2，
∴△MEF的面积＝MF×EN＝×2×（2﹣）＝2﹣；
故答案为：2﹣．

【点睛】
本题考查的是圆的综合，难度系数较高，解题关键是根据正八边形的性质得出每个角的度数.
18、
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到积为大于-4小于2的结果数，根据概率公式计算可得．
【详解】列表如下：

-2
-1
1
2
-2

2
-2
-4
-1
2

-1
-2
1
-2
-1

2
2
-4
-2
2

由表可知，共有12种等可能结果，其中积为大于-4小于2的有6种结果，
∴积为大于-4小于2的概率为=，
故答案为．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

三、解答题（共78分）
19、（1）①详见解析；②α；（2）详见解析；（3）当B、O、F三点共线时BF最长，(+)a
【分析】（1）①由线段垂直平分线的性质可得AD=AC=AB，即可证点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上；
②由等腰三角形的性质可得∠BAC=2∠BDC，可求∠BDC的度数；
（2）连接CE，由题意可证△ABC，△DCE是等边三角形，可得AC=BC，∠DCE=60°=∠ACB，CD=CE，根据“SAS”可证△BCD≌△ACE，可得AE=BD；
（3）取AC的中点O，连接OB，OF，BF，由三角形的三边关系可得，当点O，点B，点F三点共线时，BF最长，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求，，即可求得BF
【详解】（1）①连接AD，如图1．

∵点C与点D关于直线l对称，
∴AC = AD．
∵AB= AC，
∴AB= AC = AD．
∴点B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上．
②∵AD=AB=AC，
∴∠ADB=∠ABD，∠ADC=∠ACD，
∵∠BAM=∠ADB+∠ABD，∠MAC=∠ADC+∠ACD，
∴∠BAM=2∠ADB，∠MAC=2∠ADC，
∴∠BAC=∠BAM+∠MAC=2∠ADB+2∠ADC=2∠BDC=α
∴∠BDC=α
故答案为：α．
（2连接CE，如图2．

∵∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
∵∠BDC=α，
∴∠BDC=30°，
∵BD⊥DE，
∴∠CDE=60°，
∵点C关于直线l的对称点为点D，
∴DE=CE，且∠CDE=60°
∴△CDE是等边三角形，
∴CD=CE=DE，∠DCE=60°=∠ACB，
∴∠BCD=∠ACE，且AC=BC，CD=CE，
∴△BCD≌△ACE（SAS）
∴BD=AE，
（3）如图3，取AC的中点O，连接OB，OF，BF，
，
F是以AC为直径的圆上一点，设AC中点为O，
∵在△BOF中，BO+OF≥BF，
当B、O、F三点共线时BF最长；
如图，过点O作OH⊥BC，

∵∠BAC=90°，AB=AC=2a，
∴，∠ACB=45°，且OH⊥BC，
∴∠COH=∠HCO=45°，
∴OH=HC，
∴，
∵点O是AC中点，AC=2a，
∴，
∴，
∴BH=3a，
∴，
∵点C关于直线l的对称点为点D，
∴∠AFC=90°，
∵点O是AC中点，
∴，
∴，
∴当B、O、F三点共线时BF最长；最大值为(+)a．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
20、（1）；（2）无解
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）两边同时乘以去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
检验：时，，
是原方程的解；
（2）两边同时乘以去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
检验：时，，
是原方程的增根，
故原方程无解．
【点睛】
本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
21、（1）①补图见解析；②30，；（2）EF＝ABcosα；证明见解析．
【分析】（1）①利用旋转直接画出图形，
②先求出∠CBE＝30°，再判断出△ACF≌△BCE，得出∠CAF＝30°，再利用等腰直角三角形的性质计算即可得出结论；
（2）先判断出△ACF≌△BCE，得出∠CAF＝α，再同（1）②的方法即可得出结论．
【详解】（1）①将线段CE绕点C逆时针旋转90°，得到线段CF，连接AF，EF，如图1；

②∵BE⊥CD，∠CEB＝90°，
∵α＝60°，
∴∠CBE＝30°，
在Rt△ABC中，AC＝BC，
∴AC＝AB，
∵∠FCA＝90°﹣∠ACE，∠ECB＝90°﹣∠ACE，
∴∠FCA＝∠ECB＝α．
在△ACF和△BCE中，
AC＝BC，∠FCA＝∠ECB，FC＝EC，
∴△ACF≌△BCE（SAS），
∴∠AFC＝∠BEC＝90°，∠CAF＝∠CBE＝30°，
∴CF＝AC，
由旋转知，CF＝CE，∠ECF＝90°，
∴EF＝CF＝AC＝×AB＝AB，
∴＝，
故答案为30，；
（2）EF＝ABcosα．
证明：∵∠FCA＝90°﹣∠ACE，∠ECB＝90°﹣∠ACE，
∴∠FCA＝∠ECB＝α．
同（1）②的方法知，△ACF≌△BCE，
∴∠AFC＝∠BEC＝90°，
∴在Rt△AFC中，cos∠FCA＝．
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°．
∵∠ECF＝90°，CE＝CF，
∴∠CFE＝∠CEF＝45°．
在△FCE和△ACB中，
∠FCE＝∠ACB＝90°，
∠CFE＝∠CAB＝45°，
∴△FCE∽△ACB，
∴＝cos∠FCA＝cosα，
即EF＝ABcosα．
【点睛】
此题是相似形综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，判断出△ACF≌△BCE是解本题的关键．
22、（1），；（2）．
【分析】（1）根据题意直接运用公式法解一元二次方程即可；
（2）根据题意运用幂的运算以及特殊锐角三角函数进行计算即可.
【详解】解：（1）由题意可知，
，.
（2）

．
【点睛】
本题考查解一元二次方程以及实数的运算，熟练掌握实数运算法则以及解一元二次方程的解法是解本题的关键．
23、（1）E点坐标为(0, )；（2） ；（3）四边形ABNO面积的最大值为，此时N点坐标为(， )．
【分析】（1）先利用待定系数法求直线AB的解析式，与y轴的交点即为点E；
（2）利用待定系数法抛物线的函数解析式；
（3）先设N(m，m2−m)(0＜m＜3)，则G（m，m），根据面积和表示四边形ABNO的面积，利用二次函数的最大值可得结论．
【详解】（1）设直线AB的解析式为y=mx+n，
把A（-1，1），B（3，3）代入得，解得，
所以直线AB的解析式为y＝x+，
当x=0时，y＝×0+＝，
所以E点坐标为(0，)；
（2）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
把A（-1，1），B（3，3），O（0，0）代入得，解得，
所以抛物线解析式为y＝x2−x；
（3）如图，作NG∥y轴交OB于G，OB的解析式为y=x，

设N(m，m2−m)(0＜m＜3)，则G（m，m），
GN＝m−(m2−m)＝−m2+m，
S△AOB=S△AOE+S△BOE=××1+××3=3，
S△BON＝S△ONG+SBNG＝•3•(−m2+m)＝−m2+m
所以S四边形ABNO＝S△BON+S△AOB＝−m2+m+3＝− (m−)2+
当m＝时，四边形ABNO面积的最大值，最大值为，此时N点坐标为(，)．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数和一次函数的性质；理解坐标与图形性质，利用面积的和差计算不规则图形的面积．
24、 (1)R-d；(2)BD=ID，理由见解析；(3)见解析；(4).
【解析】(1)直接观察可得；
(2)由三角形内心的性质可得∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI，由圆周角定理可得∠DBC=∠CAD，再根据三角形外角的性质即可求得∠BID=∠DBI，继而可证得BD=ID；
(3)应用(1)(2)结论即可；
(4)直接代入结论进行计算即可．
【详解】(1)∵O、I、N三点共线，
∴OI+IN＝ON，
∴IN＝ON﹣OI＝R﹣d，
故答案为：R﹣d；
(2)BD=ID，理由如下：
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI，
∵∠DBC=∠CAD，∠BID=∠BAD+∠ABI，∠DBI=∠DBC+∠CBI，
∴∠BID=∠DBI，
∴BD=ID；
(3)由(2)知：BD=ID，
又，，
∴DE·IF=IM·IN，
∴，
∴
∴；
(4)由(3)知：，
把R=5，r=2代入得：，
∵d>0，
∴，
故答案为：.
【点睛】
本题是圆综合题，主要考查了三角形外接圆、外心和内切圆、内心，圆周角性质，角平分线定义，三角形外角性质等，综合性较强，熟练掌握相关知识是解题的关键.
25、（1）画图见解析；（2）①画图见解析；② （4，-2），.
【分析】（1）根据轴称图形的性质作出图形即可；
（2）①根据旋转的性质作出图形即可；
②在坐标系中直接读取数值即可，第二空根据弧长计算公式进行计算即可.
【详解】解：（1）如图所示：△为所求；
（2）①如图所示，△为所求；
②由图可知点的坐标为（4，-2）；
∵= =5
在旋转过程中点经过的路径的长度为： =.
故答案为：（4，-2），.
【点睛】
本题考查了轴对称和旋转作图，以及弧长计算公式的应用.掌握弧长计算公式是解题的关键.
26、（1）；（2）点运动到坐标为，面积最大.
【分析】（1）用待定系数法即可求抛物线解析式．
（2）设点P横坐标为t，过点P作PF∥y轴交AB于点F，求直线AB解析式，即能用t表示点F坐标，进而表示PF的长．把△PAB分成△PAF与△PBF求面积和，即得到△PAB面积与t的函数关系，配方即得到t为何值时，△PAB面积最大，进而求得此时点P坐标．
【详解】解: (1) 抛物线过点,
,
解这个方程组，得,
抛物线解析式为.
(2)如图1，过点作轴于点,交于点.

时，,
.
直线解析式为.
点在线段上方抛物线上，
设.
.
.

=

点运动到坐标为，面积最大.
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，利用二次函数求三角形面积的最大值，关键在于把原三角形分割成有一边平行于y轴的两个三角形面积之和.