2022-2023学年北京市西城区第十五中学九年级数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，则阴影区域的面积为(　　)

A． B． C． D．
2．如图，在菱形中，，且连接则（ ）

A． B．
C． D．
3．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是( )

A．20° B．30° C．45° D．60°
4．在一个不透明的袋子里装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计袋中的白球大约有( )个
A．10 B．15 C．20 D．25
5．已知2x＝3y（x≠0，y≠0），则下面结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其主视图是( )

A． B． C． D．
7．点在反比例函数的图像上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．若方程（m﹣1）x2﹣4x＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　）
A．m≠1 B．m＝1 C．m≠0 D．m≥1
9．如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4），顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数(x>0)的图象经过顶点B，则k的值为

A．12 B．20 C．24 D．32
10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＜0＜b）的图像与x轴只有一个交点，下列结论：①x＜0时，y随x增大而增大；②a＋b＋c＜0；③关于x的方程ax2＋bx＋c＋2＝0有两个不相等的实数根．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．从数﹣2，﹣，0，4中任取一个数记为m，再从余下的三个数中，任取一个数记为n，若k＝mn，则正比例函数y＝kx的图象经过第三、第一象限的概率是_____．
12．如图，直线分别交轴，轴于点A和点B,点C是反比例函数的图象上位于直线下方的一点，CD∥轴交AB于点D,CE∥轴交AB于点E,,则的值为______

13．如图，从一块矩形铁片中间截去一个小矩形，使剩下部分四周的宽度都等于，且小矩形的面积是原来矩形面积的一半，则的值为_________．

14．已知一组数据：4，2，5，0，1．这组数据的中位数是_____．
15．某工厂的产品每50件装为一箱，现质检部门对100箱产品进行质量检查，每箱中的次品数见表：
次品数
0
1
2
3
4
5
箱数
50
14
20
10
4
2
该工厂规定：一箱产品的次品数达到或超过6%，则判定该箱为质量不合格的 产品箱.若在这100箱中随机抽取一箱，抽到质量不合格的产品箱概率为_______
16．用半径为6cm，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为_______cm．
17．甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为5，6，7的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽取的两张牌牌面数字的积为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌牌面数字的积为偶数，则乙获胜.这个游戏________.(填“公平”或“不公平”)
18．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，若∠OBA＝55°，则∠ACB＝_____．

三、解答题(共66分)
19．（10分）如图所示，一透明的敞口正方体容器ABCD﹣A'B'C'D'装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，液面刚好过棱CD，并与棱BB'交于点Q．此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸见下图所示请解决下列问题：

（1）CQ与BE的位置关系是　 ，BQ的长是　 dm：
（2）求液体的体积；（提示：直棱柱体积＝底面积×高）
（3）若容器底部的倾斜角∠CBE＝α，求α的度数．（参考数据：sin49°＝cos41°＝，tan37°＝）
20．（6分）（l）计算：；
（2）解方程.
21．（6分）某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出件，每件获利元．为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价元，则平均每天可多售出件，要想平均每天在销售这种童装上获利元，那么每件童装应降价多少元？
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为.

（1）画出，使与关于点成中心对称，并写出点的对应点的坐标_____________；
（2）以原点为位似中心，位似比为1：2，在轴的左侧，画出将放大后的，并写出点的对应点的坐标___________________；
（3）___________________.
23．（8分）如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了米木栏．

（1）若米，所围成的矩形菜园的面积为平方米，求所利用旧墙的长；
（2）若米，求矩形菜园面积的最大值．
24．（8分）城市规划期间，欲拆除一电线杆AB，已知距电线杆AB水平距离14m的D处有一大坝，背水坡CD的坡度i=2：1，坝高CF为2m，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽为2m的人行道．
试问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？请说明理由（在地面上，以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域．）（≈1.732，≈1.414）

25．（10分）用配方法解方程：x2﹣8x+1=0
26．（10分）某学校自主开发了A书法、B阅读，C绘画，D器乐四门选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．
（1）若学生小玲计划选修两门课程，请写出她所有可能的选法；
（2）若学生小强和小明各计划选修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】根据直角三角形的性质得到AC＝2，BC＝2，∠B＝60，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90，∠A＝30，AB＝4，
∴BC＝AB＝2，AC＝，∠B＝60，
∴阴影部分的面积＝S△ACB−S扇形BCD＝×2×2-=，
故选：C．
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算，含30角的直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键
2、D
【分析】菱形ABCD属于平行四边形，所以BCAD，根据两直线平行同旁内角互补，可得∠BAD与∠ABC互补，已知∠BAD=120°，∠ABC的度数即可知，且∠BCE=90°，CE=BC可推BCE为等腰直角三角形，其中∠CBE=45°，∠ABE=∠ABC-∠CBE，故∠ABE的度数可得．
【详解】解：∵在菱形ABCD中，BCAD，
∴∠BAD+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补），且∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
又∵CEAD，且BCAD，∴CEBC，可得∠BCE=90°，
又∵CE=BC，∴BCE为等腰直角三角形，∠CBE=45°，
∴∠ABE=∠ABC-∠CBE=60°-45°=15°，
故选：D．
【点睛】
本题主要考察了平行线的性质及菱形的性质求角度，掌握平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补；菱形中，四条边的线段长度一样，根据以上的性质定理，从边长的关系推得三角形的形状，进而求得角度．
3、B
【分析】根据内角和定理求得∠BAC=60°，由中垂线性质知DA=DB，即∠DAB=∠B=30°，从而得出答案．
【详解】在△ABC中，∵∠B=30°，∠C=90°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°，
由作图可知MN为AB的中垂线，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=30°，
∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°，
故选B．
【点睛】
本题主要考查作图-基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．
4、C
【分析】由摸到红球的频率稳定在0.2附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．
【详解】设白球个数为x个，
∵摸到红色球的频率稳定在0.2左右，
∴口袋中得到红色球的概率为0.2，
∴，
解得：x=20，
经检验x=20是原方程的根，
故白球的个数为20个．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．
5、D
【分析】根据比例的性质，把等积式写成比例式即可得出结论．
【详解】A.由内项之积等于外项之积，得x：3=y：2，即，故该选项不符合题意，
B.由内项之积等于外项之积，得x：3=y：2，即，故该选项不符合题意，
C.由内项之积等于外项之积，得x：y＝3：2，即，故该选项不符合题意，
D.由内项之积等于外项之积，得2：y＝3：x，即，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查比例的性质，熟练掌握比例内项之积等于外项之积的性质是解题关键．
6、C
【解析】分析：
根据“俯视图”的定义进行分析判断即可.
详解：
由几何体的形状可知，俯视图有3列，从左往右小正方形的个数是1，1，1.
故选B．
点睛：弄清“俯视图”的含义是正确解答这类题的关键.
7、B
【解析】把点M代入反比例函数中，即可解得K的值.
【详解】解：∵点在反比例函数的图像上，
∴，解得k=3.
【点睛】
本题考查了用待定系数法求函数解析式，正确代入求解是解题的关键.
8、A
【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程可得m−1≠0，再解即可．
【详解】解：由题意得：m﹣1≠0，
解得：m≠1，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
9、D
【详解】如图，过点C作CD⊥x轴于点D，

∵点C的坐标为（3，4），∴OD=3，CD=4.
∴根据勾股定理，得：OC=5.
∵四边形OABC是菱形，∴点B的坐标为（8，4）.
∵点B在反比例函数(x>0)的图象上，
∴.
故选D.
10、C
【分析】①根据对称轴及增减性进行判断；
②根据函数在x=1处的函数值判断；
③利用抛物线与直线y=-2有两个交点进行判断．
【详解】解：∵a＜0＜b，∴二次函数的对称轴为x=>0，在y轴右边，且开口向下，
∴x＜0时，y随x增大而增大；
故①正确；
根据二次函数的系数，可得图像大致如下，
由于对称轴x=的值未知，
∴当x=1时，y=a+b+c的值无法判断，
故②不正确；

由图像可知，y=＝ax2＋bx＋c≤0，
∴二次函数与直线y=-2有两个不同的交点，
∴方程ax2＋bx＋c=-2有两个不相等的实数根.
故③正确.
故选C.
【点睛】
本题考查了二次函数的图像的性质，二次函数的图像与系数的关系，二次函数与方程的关系，借助图像解决问题是关键.

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【解析】从数﹣2，﹣，1，4中任取1个数记为m，再从余下，3个数中，任取一个数记为n．
根据题意画图如下：

共有12种情况，由题意可知正比例函数y=kx的图象经过第三、第一象限，即可得到k=mn＞1．由树状图可知符合mn＞1的情况共有2种，因此正比例函数y=kx的图象经过第三、第一象限的概率是．
故答案为．
12、
【分析】过作于，过作于， 由CD∥轴,CE∥轴，得 利用三角形相似的性质求解 建立方程求解，结合的几何意义可得答案．
【详解】．
解：过作于，过作于，
CD∥轴,CE∥轴，

直线分别交轴，轴于点A和点B,点，
把代入得：

同理：把代入得：

，

同理：

故答案为；．

【点睛】
本题考查的是反比例函数的系数的几何意义，同时考查了一次函数的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
13、1
【分析】本题中小长方形的长为（80−2x）cm，宽为（60−2x）cm，根据“小长方形的面积是原来长方形面积的一半”可列出方程（80−2x）（60−2x）＝×80×60，解方程从而求解．
【详解】因为小长方形的长为（80−2x）cm，宽为（60−2x）cm，则其面积为（80−2x）（60−2x）cm2
根据题意得：（80−2x）（60−2x）＝×80×60
整理得：x2−70x＋600＝0
解之得：x1＝1，x2＝60
因x＝60不合题意，应舍去
所以x＝1．
故答案为：1.
【点睛】
此题解答时应结合图形，分析出小长方形的长与宽，利用一元二次方程求解，另外应判断解出的解是否符合题意，进而确定取舍．
14、1
【分析】要求中位数，按从小到大的顺序排列后，找出最中间的一个数(或最中间的两个数的平均数)即可．
【详解】解：从小到大排列此数据为：0，2，1，4，5，第1位是1，则这组数据的中位数是1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了中位数的定义，解决本题的关键是熟练掌握中位数的概念及中位数的确定方法.
15、
【分析】由表格中的数据可知算出抽到质量不合格的产品箱频率后，利用频率估计概率即可求得答案.
【详解】解：∵一箱产品的次品数达到或超过6%，则判定该箱为质量不合格的 产品箱.
∴质量不合格的产品应满足次品数量达到：
∴抽到质量不合格的产品箱频率为：
所以100箱中随机抽取一箱，抽到质量不合格的产品箱概率：
故答案为：.
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，由此可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.用频率估计概率的近似值，随着实验次数的增多，值越来越精确.
16、1．
【详解】解：设圆锥的底面圆半径为r，
根据题意得1πr=，
解得r=1，
即圆锥的底面圆半径为1cm．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查圆锥的计算，掌握公式正确计算是解题关键．
17、不公平．
【分析】先根据题意画出树状图，然后根据概率公式求解即可．
【详解】画出树状图如下：

共有9种情况，积为奇数有4种情况
所以，P（积为奇数）=
即甲获胜的概率是，乙获胜的概率是
所以这个游戏不公平.
【点睛】
解题的关键是熟练掌握概率的求法：概率=所求情况数与总情况数的比值.
18、35°
【分析】先利用等腰三角形的性质得∠OAB＝∠OBA＝55°，再根据三角形内角和定理，计算出∠AOB＝70°，然后根据圆周角定理求解．
【详解】∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝55°，
∴∠AOB＝180°﹣55°×2＝70°，
∴∠ACB＝∠AOB＝35°．
故答案为：35°．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键.

三、解答题(共66分)
19、（1）平行，3；（2）V液＝24（dm3）；（3）α＝37°．
【分析】（1）如图可直接得到CQ与BE的位置关系，再由勾股定理求BQ的长；
（2）根据三视图得到直三棱柱的边长，再由直棱柱体积＝底面积×高，即可求得；
（3）根据两直线平行内错角相等和三角函数值，即可求得.
【详解】（1）CQ∥BE，BQ＝＝3dm．
（2）V液＝×3×4×4＝24（dm3）．
（3）∵CQ∥BE，
∴∠CBE＝∠BCQ，
∵在Rt△BCQ中，tan∠BCQ＝＝，
∴∠BCQ＝37°，
∴α＝∠BCQ＝37°．
【点睛】
本题考查直线的位置关系、勾股定理、根据三视图计算几何体的体积，以及根据三角函数求角度问题，属于综合基础题.
20、（1）；（2）
【分析】（1）原式利用平方差公式和单项式乘以多项式把括号展开，再合并同类项即可得到答案；
（2）方程变形后分解因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.
【详解】（1），
=
=；
（2）

∴，
解得，.
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的解法，正确掌握解题方法是解题的关键，同时还考查了实数和混合运算.
21、应该降价元．
【解析】设每件童装应降价x元，那么就多卖出2x件，根据每天可售出20件，每件获利40元．为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，可列方程求解．
【详解】设每件童装应降价元，
由题意得：，
解得：或．
因为减少库存，所以应该降价元．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，关键找到降价和卖的件数的关系，根据利润列方程求解．
22、（1）画图见解析，；（2）画图见解析，；（3）.
【分析】（1）先作出A、B、C三点关于原点对称的点A1、B1、C1，再顺次连接即可；利用关于原点对称的点的坐标特点即可得出点A1的坐标；
（2）利用位似图形的性质分别作出A、B、C三点的对应点A2、B2、C2，再顺次连接即可；利用位似图形的性质即可得出点A2的坐标；
（3）先根据勾股定理的逆定理判断△ABC的形状，进一步即可求出的度数，再根据位似图形的性质和特殊角的三角函数值解答即可.
【详解】解：（1）如图，即为所求，，故答案为：；
（2）如图即为所求，，故答案为：；
（3）∵，∴，∴∠ACB=90°，AC=BC，∴∠BAC=45°，
∴.
故答案为：.

【点睛】
本题考查了中心对称图形的作图、位似作图、等腰直角三角形的判定和性质以及特殊角的三角函数值等知识，属于基本题型，熟练掌握上述知识是解答的关键.
23、（1）的长为；（2）当时，矩形菜园面积的最大值为．
【分析】（1）设AB=xm，则BC=（100-2x）m，列方程求解即可；
（2）设AB=xm，由题意得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】（1）设AB=，则BC，
根据题意得，解得，，
当时，，不合题意舍去；
当时，，
答：AD的长为；
（2）设AD=，
∴
则时，的最大值为；
答：当时，矩形菜园面积的最大值为．
【点睛】
本题考查了一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确列式并明确二次函数的相关性质，是解题的关键．
24、不必封上人行道
【分析】过C点作CG⊥AB交AB于G.
求需不需要将人行道封上实际上就是比较AB与BE的长短，已知BD，DF的长度, 那么AB的长度也就求出来了，现在只需要知道BE的长度即可，有BF的长，ED的长，缺少的是DF的长，根据“背水坡CD的坡度i＝1: 2，坝高CF为2m” DF是很容易求出的，这样有了CG的长，在△ACG中求出AG的长度，这样就求出AB的长度，有了BE的长，就可以判断出是不是需要封上人行道了.
【详解】
过C点作CG⊥AB交AB于G.
在Rt△CDF中，水坡CD的坡度i=2：1，即tan∠CDF=2，
∵CF=2，∴DF=1.
∴BF=BD＋DF=12+1=13.
∴CG=13，
在Rt△ACG中，∵∠ACG=30°，
∴AG=CG·tan30°=13×=7.5 m
∴AB＝AG＋BG=7.5+2=9.5m，
BE＝12m，
AB＜BE，
∴不必封上人行道.
【点睛】
本题考查俯角、仰角的定义,要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形.
25、，．
【解析】试题分析：本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
试题解析：∵x2﹣8x+1=0，
∴x2﹣8x=﹣1，
∴x2﹣8x+16=﹣1+16，
∴（x﹣4）2=15，
解得，．
考点：解一元二次方程-配方法．
26、（1）共有6种等可能的结果数，它们是：AB、AC、AD、BC、BD、CD；（2）他们两人恰好选修同一门课程的概率为．
【解析】（1）利用直接列举得到所有6种等可能的结果数；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出他们两人恰好选修同一门课程的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）共有6种等可能的结果数，它们是：AB、AC、AD、BC、BD、CD；
（2）画树状图为：

共有16种等可能的结果数，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为4，
所以他们两人恰好选修同一门课程的概率＝＝．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．