湖南省长沙市岳麓区长郡梅溪湖中学2022年九年级数学第一学期期末学业水平测试试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将沿直线翻折后，设点的对应点为点，双曲线经过点，则的值为（ ）

A．8 B．6 C． D．
2．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论不正确的是（ ）

A．当时，它是矩形 B．当时，它是菱形
C．当时，它是菱形 D．当时，它是正方形
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，AB＝5，则BC的长为（ ）
A．5sin25° B．5tan65° C．5cos25° D．5tan25°
4．一个盒子里装有若干个红球和白球，每个球除颜色以外都相同．5位同学进行摸球游戏，每位同学摸10次（摸出1球后放回，摇匀后再继续摸），其中摸到红球数依次为8，5，9，7，6，则估计盒中红球和白球的个数是（　　）
A．红球比白球多 B．白球比红球多 C．红球，白球一样多 D．无法估计
5．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=3：4，则△ABC与△DEF的周长比为
A．3：4 B．4：3
C．：2 D．2：
6．下列说法，错误的是（ ）
A．为了解一种灯泡的使用寿命，宜采用普查的方法
B．一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数是8
C．方差反映了一组数据与其平均数的偏离程度
D．对于简单随机样本，可以用样本的方差去估计总体的方差
7．如图，在△ABC中，EF∥BC，，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（ ）

A．9 B．10 C．12 D．13
8．如图是我们学过的反比例函数图象，它的表达式可能是（ ）

A． B． C． D．
9．在双曲线的每一分支上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（　　）
A．2 B．3 C．0 D．1
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝m有实数根的条件是（　　）

A．m≥﹣4 B．m≥0 C．m≥5 D．m≥6
11．如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度BC＝10m，∠B＝36°，D为底边BC的中点，则上弦AB的长约为（　　）（结果保留小数点后一位sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）

A．3.6m B．6.2m C．8.5m D．12.4m
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=5，AC=4，则cosB的值(   )

A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，用长的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积是___________．(中间横框所占的面积忽略不计)

14．已知关于的方程的一个解为，则m=_______．
15．阅读对话，解答问题：

分别用、表示小冬从小丽、小兵袋子中抽出的卡片上标有的数字，则在（，）的所有取值中使关于的一元二次方程有实数根的概率为_________．
16．如图，菱形的顶点C的坐标为，顶点A在x轴的正半轴上.反比例函数的图象经过顶点B，则k的值为__．

17．如图，网格中的四个格点组成菱形ABCD，则tan∠DBC的值为___________ .

18．将正整数按照图示方式排列，请写出“2020”在第_____行左起第_____个数．

三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G，F两点．
(1)求证：AB与⊙O相切；
(2)若AB＝4，求线段GF的长．

20．（8分）如图1，已知中，，，，它在平面直角坐标系中位置如图所示，点在轴的负半轴上（点在点的右侧），顶点在第二象限，将沿所在的直线翻折，点落在点位置

（1）若点坐标为时，求点的坐标；
（2）若点和点在同一个反比例函数的图象上，求点坐标；
（3）如图2，将四边形向左平移，平移后的四边形记作四边形，过点的反比例函数的图象与的延长线交于点，则在平移过程中，是否存在这样的，使得以点为顶点的三角形是直角三角形且点在同一条直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
21．（8分）若二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点是（2，1）且经过点（1，﹣2），求此二次函数解析式．
22．（10分）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
（1）如图1，在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，当∠BCD=40°时，证明：CD为△ABC的完美分割线.

（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以AC为底边的等腰三角形，求∠ACB的度数.
（3）如图2，在△ABC中，AC=2，BC=2，CD是△ABC的完美分割线，△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求CD的长.

23．（10分）如图为正方形网格，每个小正方形的边长均为1，各个小正方形的顶点叫做格点，请在下面的网格中按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上．
（1）在图中画一个以为一边的菱形，且菱形的面积等于1．
（2）在图中画一个以为对角线的正方形，并直接写出正方形的面积．

24．（10分）如图，某数学兴趣小组的同学利用标杆测量旗杆的高度：将一根米高的标杆竖直放在某一位置，有一名同学站在处与标杆底端、旗杆底端成一条直线，此时他看到标杆顶端与旗杆顶端重合，另外一名同学测得站立的同学离标杆米，离旗杆米．如果站立的同学的眼睛距地面米，过点作于点，交于点，求旗杆的高度．

25．（12分）如图，AB是⊙O的直径， BC交⊙O于点D，E是的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB =2∠EAB．

（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若，，求BF的长．
26．如图，直线与双曲线在第一象限内交于两点，已知.

求的值及直线的解析式；
根据函数图象，直接写出不等式的解集.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】作轴于，轴于，设．依据直线的解析式即可得到点和点的坐标，进而得出，，再根据勾股定理即可得到，进而得出，即可得到的值．
【详解】解：作轴于，轴于，如图，设，

当时，，则，
当时，，解得，则，
∵沿直线翻折后，点的对应点为点，
∴，，
在中，，①
在中，，②
①-②得，把代入①得，解得，
∴，
∴，
∴．故选A．
【点睛】
此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于掌握反比例函数（为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
2、D
【解析】根据已知及各个四边形的判定对各个选项进行分析从而得到最后答案．
【详解】A. 正确，对角线相等的平行四边形是矩形；
B. 正确，对角线垂直的平行四边形是菱形；
C. 正确，有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；
D. 不正确，有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
故选D
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，矩形的判定，正方形的判定，解题关键在于掌握判定法则
3、C
【分析】在Rt△ABC中，由AB及∠B的值，可求出BC的长．
【详解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，AB＝5，
∴BC＝AB•cos∠B＝5cos25°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的问题，掌握解直角三角形及其应用是解题的关键．
4、A
【解析】根据题意可得5位同学摸到红球的频率为，由此可得盒子里的红球比白球多．故选A．
5、C
【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方，周长的比等于相似比解答.
【详解】解：∵△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=3：4，
∴△ABC与△DEF的相似比为：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为：2.
故选C
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比．
6、A
【分析】利用抽样调查、普查的特点和试用的范围和众数、方差的意义即可做出判断.
【详解】A．灯泡数量很庞大，了解它的使用寿命不宜采用普查的方法，应该采用抽查的方法，所以A错误；
B.众数是一组数据中出现次数最多的数值，所以8，8，7，10，6，8，9的众数是8正确；C. 方差反映了一组数据与其平均数的偏离程度，正确；
D. 对于简单随机样本，可以用样本的方差去估计总体的方差，正确；
故选A.
【点睛】
本题考查的是调查、众数、方差的意义，能够熟练掌握这些知识是解题的关键.
7、A
【分析】由在△ABC中，EF∥BC，即可判定△AEF∽△ABC，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
【详解】∵，
∴．
又∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC．
∴．
∴1S△AEF=S△ABC．
又∵S四边形BCFE=8，
∴1（S△ABC﹣8）=S△ABC，
解得：S△ABC=1．
故选A．
8、B
【分析】根据反比例函数图象可知，经过第一三象限，，从而得出答案．
【详解】解：A、为二次函数表达式，故A选项错误；
B、为反比例函数表达式，且，经过第一三象限，符合图象，故B选项正确；
C、为反比例函数表达式，且，经过第二四象限，不符合图象，故C选项错误；
D、为一次函数表达式，故D选项错误．
故答案为B．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象的识别，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
9、C
【分析】根据反比例函数的性质：当k-1＜0时，在每一个象限内，函数值y随着自变量x的增大而增大作答．
【详解】∵在双曲线的每一条分支上，y都随x的增大而增大，
∴k-1＜0，
∴k＜1，
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．
10、A
【解析】利用函数图象，当m≥﹣1时，直线y＝m与二次函数y＝ax2+bx+c有公共点，从而可判断方程ax2+bx+c＝m有实数根的条件．
【详解】∵抛物线的顶点坐标为（6，﹣1），
即x＝6时，二次函数有最小值为﹣1，
∴当m≥﹣1时，直线y＝m与二次函数y＝ax2+bx+c有公共点，
∴方程ax2+bx+c＝m有实数根的条件是m≥﹣1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
11、B
【分析】先根据等腰三角形的性质得出BD＝BC＝5m，AD⊥BC，再由cosB＝，∠B＝36°知AB＝，代入计算可得．
【详解】∵△ABC是等腰三角形，且BD＝CD，
∴BD＝BC＝5m，AD⊥BC，
在Rt△ABD中，∵cosB＝，∠B＝36°，
∴AB＝＝≈6.2（m），故选：B．
【点睛】
本题考查解直接三角形的应用，解题的关键是根据等腰三角形的性质构造出直角三角形Rt△ABD，再利用三角函数求解.
12、B
【分析】先由勾股定理求得BC的长，再由锐角三角函数的定义求出cosB即可；
【详解】由题意得BC=
则cosB=；
故答案为：B.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握勾股定理，锐角三角函数的定义是解题的关键.

二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】设窗的高度为xm，宽为m，根据矩形面积公式列出二次函数求函数值的最大值即可．
【详解】解：设窗的高度为xm，宽为．
所以，即，
当x=2m时，S最大值为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查二次函数的应用．能熟练将二次函数化为顶点式，并据此求出函数的最值是解决此题的关键．
14、0
【分析】把代入原方程得到关于的一元一次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：把代入原方程得：

故答案为：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解的含义，掌握方程的解的含义是解题的关键．
15、．
【解析】试题分析：用列表法易得（a，b）所有情况,看使关于x的一元二次方程x3-ax+3b=3有实数根的情况占总情况的多少即可．
试题解析：（a，b）对应的表格为：

∵方程x3-ax+3b=3有实数根，
∴△=a3-8b≥3．
∴使a3-8b≥3的（a，b）有（3，3），（4，3），（4，3），
∴p（△≥3）=．
考点：3．列表法与树状图法；3．根的判别式．
16、1
【分析】根据点C的坐标以及菱形的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出k的值．
【详解】∵C（3，4），
∴OC==5，
∴CB=OC=5，
则点B的横坐标为3+5=8，
故B的坐标为：（8，4），
将点B的坐标代入y=得，
4=，
解得：k=1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了菱形的性质以及利用待定系数法求反比例函数解析式，解答本题的关键是根据菱形的性质求出点B的坐标．
17、3
【解析】试题分析：如图，连接AC与BD相交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO=BD，CO=AC，由勾股定理得，AC==，BD==，所以，BO==，CO==，所以，tan∠DBC===3．故答案为3．

考点：3．菱形的性质；3．解直角三角形；3．网格型．
18、61 1
【分析】根据图形中的数字，可以写出前n行的数字之和，然后即可计算出2020在多少行左起第几个数字，本题得以解决．
【详解】解：由图可知，
第一行1个数，
第二行2个数，
第三行3个数，
…，
则第n行n个数，
故前n个数字的个数为：1+2+3+…+n＝，
∵当n＝63时，前63行共有＝2016个数字，2020﹣2016＝1，
∴2020在第61行左起第1个数，
故答案为：61，1．
【点睛】
本题考查了数字类规律探究，从已有数字确定其变化规律是解题的关键.

三、解答题（共78分）
19、（1）见解析；（2）2.
【解析】试题分析：（1）过点O作OM⊥AB，垂足是M.
证明OM等于圆的半径即可；
（2）过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF，
由垂径定理得出NG＝NF＝GF.证出四边形OMBN是矩形，在利用三角函数求得OM和的长，则和即可求得，在中利用勾股定理求得，即可得出的长．
试题解析：如图，

∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC，∴∠ADO＝∠AMO＝90°.
∵△ABC是等边三角形，AO⊥BC，
∴∠DAO＝∠MAO，∴OM＝OD.
∴AB与⊙O相切；
如图，过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF，
则NG＝NF＝GF.∵O是BC的中点，
∴OB＝2.
在Rt△OBM中，∠MBO＝60°，
∴∠BOM＝30°，∴BM＝BO＝1，
∴OM＝.
∵BE⊥AB，∴四边形OMBN是矩形，
∴ON＝BM＝1.∵OF＝OM＝，
由勾股定理得NF＝＝，
∴GF＝2NF＝2.
20、（1）；（2）；（3）存在，或
【分析】（1）过点作轴于点，利用三角函数值可得出，再根据翻折的性质可得出，，再解，得出，，最后结合点C的坐标即可得出答案；
（2）设点坐标为（），则点的坐标是，利用（1）得出的结果作为已知条件，可得出点D的坐标为，再结合反比例函数求解即可；
（3）首先存在这样的k值，分和两种情况讨论分析即可．
【详解】解：（1）如图，过点作轴于点
∵，
∴
∴
由题意可知，.
∴.
∴
在中，，
∴，.
∵点坐标为，
∴.
∴点的坐标是

（2）设点坐标为（），则点的坐标是，
由（1）可知：点的坐标是
∵点和点在同一个反比例函数的图象上，
∴.解得.
∴点坐标为
（3）存在这样的，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形
解：①当时.
如图所示，连接，，，与相交于点.
则，，.
∴∽
∴
∴
又∵，
∴∽.
∴，，
∴.
∴，
设（），则，
∵，在同一反比例函数图象上，
∴.解得：.
∴
∴

②当时.如图所示，连接，，，
∵，
∴.
在中，
∵，，
∴.
在中，
∵，
∴.
∴
设（），则
∵，在同一反比例函数图象上，
∴.
解得：，
∴
∴

【点睛】
本题是一道关于反比例函数的综合题目，具有一定的难度，涉及到的知识点有特殊角的三角函数值，翻折的性质，相似三角形的判定定理以及性质，反比例函数的性质等，充分考查了学生综合分析问题的能力．
21、
【分析】用顶点式表达式，把点（1，-2）代入表达式求得a即可．
【详解】解：用顶点式表达式：y=a（x﹣2）2+1，把点（1，﹣2）代入表达式，解得：a=﹣3，
∴函数表达式为：y=﹣3（x﹣2）2+1=﹣3x2+12x﹣1．
【点睛】
考查的是求函数表达式，本题用顶点式表达式较为简便．
22、（1）证明见解析；（2）∠ACB=96°；（3）CD的长为-1.
【分析】（1）根据三角形内角和定理可求出∠ACB=80°，进而可得∠ACD=40°，即可证明AD=CD，由∠BCD=∠A=40°，∠B为公共角可证明三角形BCD∽△BAC，即可得结论；
（2）根据等腰三角形的性质可得∠ACD=∠A=48°，根据相似三角形的性质可得∠BCD=∠A=48°，进而可得∠ACB的度数；
（3）由相似三角形的性质可得∠BCD=∠A，由AC=BC=2可得∠A=∠B，即可证明∠BCD=∠B，可得BD=CD，根据相似三角形的性质列方程求出CD的长即可.
【详解】（1）∵∠A=40°，∠B=60°，
∴∠ACB=180°-40°-60°=80°，
∵∠BCD=40°，
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=40°，
∴∠ACD=∠A，
∴AD=CD，即△ACD是等腰三角形，
∵∠BCD=∠A=40°，∠B为公共角，
∴△BCD∽△BAC，
∴CD为△ABC的完美分割线.
（2）∵△ACD是以AC为底边的等腰三角形，
∴AD=CD，
∴∠ACD=∠A=48°，
∵CD是△ABC的完美分割线，
∴△BCD∽△BAC，
∴∠BCD=∠A=48°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.
（3）∵△ACD是以CD为底边的等腰三角形，
∴AD=AC=2，
∵CD是△ABC的完美分割线，
∴△BCD∽△BAC，
∴∠BCD=∠A，，
∵AC=BC=2，
∴∠A=∠B，
∴∠BCD=∠B，
∴BD=CD，
∴，即，
解得：CD=-1或CD=--1（舍去），
∴CD的长为-1.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，正确理解完美分割线的定义并熟练掌握相似三角形的性质是解题关键.
23、（1）图见解析；（2）图见解析，2．
【分析】（1）根据菱形面积公式可得，底边AB的高为4，结合AD=5即可得到点D的坐标，同理得到点C的坐标，连接A，C，D即可．
（2）作线段EF的中线与网格交于G、H，且，依次连接E、G、F、H即可，利用正方形面积公式即可求得正方形的面积．
【详解】解：（1）根据菱形面积公式可得，底边AB的高为4，结合AD=5即可得到点D的坐标，同理得到点C的坐标，连接A，C，D.如图所示.
（2）作线段EF的中线与网格交于G、H，且，依次连接E、G、F、H即可，如图所示.
正方形面积为2.

【点睛】
本题考查了网格作图的问题，掌握菱形的性质以及面积公式、正方形的性质以及面积公式、勾股定理是解题的关键．
24、旗杆的高度为15.6米．
【分析】过点E作EH⊥AB于点H，交CD于点G得出，利用形似三角形的对应边成比例求出AH的长，进而求出AB的长．
【详解】过点作于点，交于点．
由题意可得，四边形都是矩形，．
．
∴．
由题意可得：
，
（米）．
∴，
（米），
（米）．
答：旗杆的高度为米．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的应用，根据相似三角形判定得出△ECG∽△EAH是解题关键．
25、（1）证明见解析；（2）．
【分析】(1)连接AD，如图，根据圆周角定理，再根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；
(2)作F做FH⊥AB于点H,利用余弦定义，再根据三角函数定义求解即可
【详解】(1)证明:如图，连接AD．

∵ E是中点，
∴．
∴ ∠DAE=∠EAB．
∵ ∠C =2∠EAB，
∴∠C =∠BAD.
∵ AB是⊙O的直径.
∴ ∠ADB=∠ADC=90°．
∴ ∠C+∠CAD=90°．
∴ ∠BAD+∠CAD=90°．
即 BA⊥AC
∴ AC是⊙O的切线．
(2)解：如图②，过点F做FH⊥AB于点H．

∵ AD⊥BD，∠DAE=∠EAB，
∴ FH=FD，且FH∥AC．
在Rt△ADC中，
∵，，
∴ CD=1．
同理，在Rt△BAC中，可求得BC= ．
∴BD= ．
设 DF=x，则FH=x，BF=-x．
∵ FH∥AC，
∴ ∠BFH=∠C．
∴．
即．
解得x=2．
∴BF=．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用和切线的判定,经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.连接半径在证明垂直即可
26、（1），；（2）或.
【分析】 ⑴ 将点 A（1，m）B(2，1)代入y2得出k2，m；再将A,B坐标代入y1中，求出即可；
⑵ 直接根据函数图像写出答案即可.
【详解】解：点在双曲线上，

双曲线的解析式为
在双曲线上，
，

直线过两点，
，解得，
直线的解析式为.
根据函数图象可知，不等式的解集为或.
【点睛】
此题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，已知一个交点坐标先求出反比例函数的解析式是解题的关键.